几类典型的非匀速率曲线运动问题分析

毕桂英 王兵 吴广国 邹斌

[摘   要]曲线运动问题是高考和自主招生考试中的热点问题。文章用三种方法，详细分析了轻绳拉着小球在竖直平面中做圆周运动时重力瞬时功率的极值问题。文章还详细研究了地面上的平抛运动以及天体运动中的椭圆、抛物线和双曲线三种非匀速率二次曲线运动的轨道与能量问题。

[关键词]曲线运动;重力瞬时功率;轨道能量;轨道曲率半径

[中图分类号]    G633.7        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2020）29-0048-03

一、切向加速度和法向加速度问题

在中学物理曲线运动的学习中，只研究相对较为简单的圆周运动和平抛运动。研究圆周运动时，也主要研究匀速率圆周运动，而对于非匀速率圆周运动，通常只研究圆周的最高点和最低点两个状态或从功能关系角度来解决非匀速率圆周运动问题[1]。教材中处理匀速率圆周运动的公式[F向=mv2r]，在非匀速曲线运动中仍然成立，这里的r为做曲线运动物体在该点的曲率半径[2]。

如图1所示是长为r的不可伸长的细绳，一端系在钉子O上，另一端系着质量为m的小钢球，初始时刻在最高点给小钢球一个初速度[v0]，使小钢球在竖直平面内做完整的圆周运动，当小球所在位置绳与竖直方向的夹角为[θ]时，试分析小球在如图1所示的位置处的受力情况。

解析：以小球为研究对象进行受力分析，小球受到重力mg和绳的拉力F的作用，如图1所示。绳的拉力F与重力mg沿半径方向的分力之和，提供了小球做圆周运动的向心力，改变小球运动的速度方向。

而重力mg沿速度方向即圆周切线方向的分力提供了小球的切向加速度[aτ]。

切向加速度表示小钢球的速度大小变化的快慢。因切向加速度不为零，所以小球做非匀速率圆周运动。

二、重力瞬时功率问题

不可伸长的轻绳长为L，轻绳一端固定于O点，另一端系一小球，小球质量为m，现将小球拉至水平位置由静止释放，小球做圆周运动的一部分，如图2所示。在小球到达最低点B的过程中，试分析小球在这个过程中重力做功的瞬时功率的大小变化[3]。

1.借助数学工具Desmos软件

2. 利用一阶导数求函数最值

这种求解方法涉及导数，对参加物理竞赛的学生来说较为简单;但对普通高中生来说，还是用高中基本数学方法求解更容易理解。

3. 用三角函数求最值

三、平抛运动中，t时刻位置处的曲率半径问题

如图4所示，一物体做平抛运动，水平抛出的速度为[v0]，求物体经过任意时刻t所在位置处的曲率半径[ρ]。

四、天体运动的轨道与能量问题

1.椭圆轨道机械能与特殊点的曲率半径

如图5所示，假设质量为m的地球绕太阳（质量记为M）做椭圆曲线运动，该椭圆轨道半长轴和半短轴分别为a和b。试求：（1）在椭圆轨道的三个顶点A、B和C处地球m运动的线速度;（2）A点的曲率半径。

解析：（1）地球从A点运动到B点的过程，机械能守恒，故有：[12mv2A+-GMma-c=12mv2B+-GMma+c]

（2）采用自然坐標系，设A点的曲率半径为[ρA]，然后应用动力学（法向）方程有[GMm（a-c）2=mv2AρA]，将[vA]代入上式得[ρA=b2a]。

2.抛物线轨道

如图6所示，一质量为m的天体绕质量为M的天体运动，m恰好能摆脱M的引力束缚，天体m做抛物线运动，其轨迹方程为[y2=2px]，试求m在抛物线顶点处的曲率半径[ρ]是多少？

解析：因为天体m恰好摆脱M的引力束缚，即天体m到达无限远处时，动能恰好为零，所以系统的总能量[E=0]。

设m在顶点O处的速度为[v]，由机械能守恒定律得：

在O点处，M对m的万有引力提供了m在该处法向加速度，此时切向加速度为零，

3.双曲线轨道

设天体m在双曲线的正半支上运动，中心天体M位于焦点处，该双曲线的方程为[x2a2-y2b2=1]，焦距[c=a2+b2]，如图7所示，试求天体m在双曲线顶点处的曲率半径[ρ]。

[   参   考   文   献   ]

[1]  刘银奎.核心素养导向下的高中物理教学初探：以“曲线运动”教学为例[J].物理教学，2018（3）：18-21+31.

[2]  严导淦.论质点运动学的内禀方程及其应用[J].物理与工程，2014（6）：13-16.

[3]  许文波，李兴.从一道选择题说起：兼谈功率最大值的几种求法[J].湖南中学物理，2013（7）：58-59.

（责任编辑 易志毅）