一种深空天文测角导航中的星历误差抑制方法

宁晓琳，晁 雯，杨雨青

(北京航空航天大学仪器科学与光电工程学院，北京 100191)

0 引 言

天文导航是一种全自主，误差不随时间积累的深空探测器导航技术[1]。天文导航方法按量测量的不同可分为测角导航[2]、测速导航[3]、测距导航[4]三种，其中，天文测角导航是通过观测天体间的角度信息进行导航，目前已经成功应用于水手号[5]，海盗号[6]，伽利略号[7]，深空1号[8]，深度撞击号[9]等深空探测器上。

目标天体的星历误差对天文测角导航的精度有很大的影响。以火星探测器为例，文献[10]指出，在日心坐标系中，火星和火卫一的星历误差都会影响天文测角的导航精度。但在火星质心坐标系中，只有火卫一星历误差对导航精度有影响，而火星星历误差对导航精度的影响很小。在火星质心坐标系中，1 km的火卫一的星历误差会引起约4 km的位置误差。文献[11-12]指出，1950年火卫一的星历误差约为1 km，从1950年递推至2050年会增加8 km。因此，如何抑制火星质心坐标系下火卫一星历误差对探测器导航精度的影响成为一个亟需解决的问题。

针对天文导航中星历误差的抑制问题，许多学者进行了深入的研究，也取得了很多研究成果。文献[13]提出一种以时间差分脉冲到达时间(Time of arrival, TOA)作为量测量的脉冲星导航方法，该方法测量探测器相邻时刻TOA的差值，以减小脉冲星星历误差等引起的系统偏差。文献[14]提出一种差分X射线脉冲星辅助天文导航的方法，该方法利用探测器相邻时刻的TOA差值和火卫一、火卫二及其背景恒星的星光角距作为量测量，有效抑制了脉冲星星历误差和星载时钟误差。文献[15]提出一种X射线脉冲星/星光多普勒组合导航方法，以两个探测器之间的TOA差值、相对位置以及在恒星方向上的相对速度关系为量测量，消除由脉冲星星历误差引起的系统误差且不受太阳径向固有运动的影响。以上所研究的都是采用时间差分方法抑制脉冲星导航中星历误差的影响。

综上，提出一种基于星光角距/时间差分星光角距的深空探测器天文测角导航中的目标天体星历误差抑制方法。以火星探测器为例，分析了火卫一星历误差对导航精度的影响，建立了火卫一时间差分星光角距的量测模型。通过将火星星光角距和火卫一星光角距相结合，发挥了两种量测的优势。仿真结果表明该方法可以有效抑制火卫一的星历误差对导航结果的影响。同时，本文还对影响导航精度的导航恒星个数、火星敏感器精度、火卫一敏感器精度、星历误差的大小和滤波周期进行了分析。

1 天文测角导航的基本原理

深空探测器的天文测角导航是在探测器轨道动力学方程和天体间角度信息的基础上，利用滤波技术估计探测器的位置和速度[16-17]。文中以火星探测器为例，给出了探测器天文测角导航的状态模型和量测模型。

1.1 天文测角导航状态模型

火星探测器的运动方程可以看作以火星为中心天体的二体模型，在火星质心坐标系下为：

(1)

式中：rmp和vmp是探测器相对火星的位置矢量和速度矢量；μm是火星的引力常数；w1是过程噪声。

设状态量为Xk=[rmpvmp]T，则火星质心坐标系下的状态模型可以写作：

Xk=f(Xk-1,T)

(2)

1.2 天文测角导航量测模型

以火星和火卫一及其背景恒星间的星光角距作为天文测角导航的量测量，其量测模型为：

(3)

式中：s1，s2表示火星质心坐标系下导航恒星的星光矢量；rpp是探测器相对火卫一的位置矢量；vθm，vθp是量测噪声。

Zk=h1(Xk)+Vk

(4)

2 星光角距/时间差分星光角距的天文导航方法

首先分析了火卫一星历误差对天文测角导航的影响，通过对时间差分星光角距量测方程的推导，从理论上说明时间差分可以消除天文测角导航中星光角距中的火卫一星历误差，并给出了时间差分星光角距和星光角距/时间差分星光角距天文测角导航的量测模型。

2.1 火卫一星历误差对天文测角导航的影响

图1 火卫一星历误差的影响Fig.1 The influence of Phobos ephemeris

(5)

由式(3)和式(6)可知，火卫一星历误差引起的星光角距量测模型误差Vθp为：

(7)

文献[18]以MRO探测器为例，分析了由火卫一星历误差引起的量测模型误差，发现Vθp为时变噪声，且最大可达40″，说明火卫一星历误差对量测模型有很大的影响。

2.2 时间差分星光角距的量测模型

为了抑制火卫一星历误差的影响，对式(3)等式左右同时求余弦，则有：

(8)

当存在火卫一星历误差δrp时，火卫一星历误差引起的星光角距余弦的量测模型误差为Vcθp，则有

(9)

由于δrp<

(10)

设基于时间差分星光角距的量测量为Δcθp(k)，量测噪声为Vcθ(k)，则基于时间差分星光角距的天文测角导航量测方程可以写作：

Δcθp(k)=cos(θp(k))-cos(θp(k-1))=

(11)

式中：

Vcθ(k)=vp(k)-vp(k-1)

(12)

当存在火卫一星历误差时，由式(6)、式(11)和式(12)得：

vp(k)-vp(k-1)≈

vp(k)-vp(k-1)=

vp(k)-vp(k-1)

(13)

令δVcθp表示时间差分后的火卫一星历误差引起的量测模型误差，则有：

(14)

其中，由于δrp，rpp在短时间内(ΔT≤60 s)基本不变，s2不变。因此，时间差分星光角距可以抑制火卫一星历误差对量测模型的影响。

综上所述，基于时间差分星光角距的天文测角导航量测方程可以表示为：

vp(k)-vp(k-1)=

h2(Xk)-h2(Xk-1)+Vcθ(k)

(15)

2.3 星光角距/时间差分星光角距的量测模型及噪声方差阵

时间差分星光角距导航方法存在以下两点问题：(1)经过时间差分后的量测量不仅与当前时刻的状态量还与上一时刻的状态量相关，这与传统卡尔曼滤波中k时刻的量测量只与当前时刻的状态量一一对应的情况不同；(2)时间差分方法只能提供相对位置信息，绝对位置信息缺失。针对这两个问题，本文采用一种根据状态模型以当前时刻状态量解算上一时刻状态量的方法，并将火卫一的时间差分星光角距与火星星光角距一起作为量测量。量测方程可以写作：

(16)

若k时刻以星光角距为观测量的量测误差方差阵为Rk，则以星光角距余弦为观测量时，其对应的量测误差方差阵为

(17)

以时间差分星光角距余弦为观测量时，其对应的量测误差方差阵为

E(vp(k)vp(k)T-vp(k)vp(k-1)T-

vp(k-1)vp(k)T+vp(k-1)vp(k-1)T)

(18)

3 仿真校验与分析

3.1 仿真条件

以2005年的MRO探测器的轨道为例进行仿真分析[19]，图2为MRO探测器在火星质心坐标系下的轨道图。仿真数据由STK (System tool kit)产生。其半长轴为3709.5 km，轨道倾角为95°，轨道偏心率为0.113°。火星，火卫一及其背景恒星的星历由DE421和Tycho星历产生。仿真时间为2005年8月13日至2005年8月14日，坐标系采用J2000.0火星质心坐标系。仿真中所使用的火卫一的星历误差与参考文献[18]相同，最大值为1 km。火星敏感器精度为0.01°，火卫一敏感器精度为6″，滤波周期为60 s。

图2 MRO探测器的轨道Fig.2 The orbit of MRO

3.2 仿真结果

利用无迹卡尔曼滤波(UKF)方法对以星光角距、时间差分星光角距和星光角距/时间差分星光角距作为观测量的天文测角导航方法进行了仿真分析和比较。其中，基于星光角距的天文测角导航的量测量为θm,θp，基于时间差分星光角距的天文测角导航的量测量为Δcθp，基于星光角距/时间差分星光角距的天文测角导航的量测量为θm,θp,Δcθp。

3.2.1三种天文测角导航方法的性能比较

1)基于星光角距的天文测角导航方法

图3和图4分别给出了没有火卫一星历误差和有火卫一星历误差时的以星光角距作为量测量的天文测角导航的位置误差和速度误差。由图3和图4可知，当没有火卫一的星历误差时，探测器的位置和速度的估计精度较高。当有火卫一的星历误差时，位置误差和速度误差明显增大，位置误差约为没有星历误差的1.7倍。火卫一的星历误差对最终的导航精度有较大影响。

图3 没有星历误差时基于星光角距的天文测角导航结果Fig.3 Estimation error of celestial navigation using starlight angle without ephemeris error

图4 有星历误差时基于星光角距的天文测角导航结果Fig.4 Estimation error of celestial navigation using starlight angle with ephemeris error

2)基于时间差分星光角距的天文测角导航方法

图5给出了没有火卫一星历误差和有星历误差的情况下时间差分天文测角的导航结果，由于二者结果基本一致，故省去对比图。由于时间差分技术抑制了火卫一的星历误差，因此火卫一的星历误差对时间差分天文测角导航几乎没有影响。但从图中可以看出误差收敛性较差，且与图3和图4相比，精度较低，原因是时间差分星光角距只能提供相对位置信息，不能提供绝对位置信息，因此导航精度有限。

图5 基于时间差分星光角距的天文测角导航结果Fig.5 Estimation error of celestial navigation using time differential starlight angle

3)基于星光角距/时间差分星光角距的天文测角导航方法

图6和图7给出了没有火卫一星历误差和有火卫一星历误差时天文测角/时间差分天文测角的导航结果。由图6和图7可知，探测器的位置和速度都得到了较好的估计。但当有火卫一的星历误差时，位置误差和速度误差较大一些，约为没有火卫一星历误差时的1.5倍。

图6 没有星历误差时基于星光角距/时间差分星光角距的天文测角导航结果Fig.6 Estimation error of celestial navigation using starlight angle/time differential starlight angle without ephemeris error

图7 有星历误差时基于星光角距/时间差分星光角距的天文测角导航结果Fig.7 Estimation error of celestial navigation using starlight angle/time differential starlight angle with ephemeris error

表1给出了三种方法在8组不同的量测噪声下滤波收敛后的蒙特卡罗仿真平均结果。仿真结果的统计时间段为2005年8月13日12:00至2005年8月14日00:00。由表1可知，当有星历误差时，基于星光角距/时间差分星光角距的天文测角导航方法的位置误差是传统天文测角导航方法的64%，是时间差分星光角距导航方法的58%。说明新方法可有效抑制火卫一星历误差的影响。

表1 火卫一星历误差对天文测角导航方法精度影响结果Table 1 The results of ephemeris error of Phobos on the accuracy of the celestial navigation

3.2.2影响因素分析

本节对有火卫一星历误差时基于星光角距/时间差分星光角距的天文测角导航方法的影响因素，包括导航恒星个数、火星敏感器精度、火卫一敏感器精度、星历误差大小和滤波周期分别进行了分析。

1)导航恒星个数对导航结果的影响

图8和表2给出了在3.1所述的仿真条件下，导航恒星个数为1,2,3,4时在8组不同的量测噪声下滤波收敛后的蒙特卡罗仿真平均结果。由图8和表2可知，导航恒星个数小于等于3时，观测恒星个数越多，导航精度越高。但当恒星个数大于3个时，增加导航恒星个数，位置速度滤波协方差降低缓慢，对导航精度提高有限。

图8 导航恒星个数对基于星光角距/时间差分星光角距的天文测角的影响Fig.8 Impact of star number

表2 导航恒星个数对导航结果的影响Table 2 Estimation error of using different star number

2)火星敏感器精度对导航结果的影响

图9给出了在3.1所述的仿真条件下，只改变火星敏感器精度时的导航结果。表3统计了火星敏感器精度分别为24″，30″，36″时在8组不同的量测噪声下滤波收敛后的蒙特卡罗仿真平均结果。由图9和表3可知，火星敏感器精度对导航结果有一定影响，敏感器精度越高，导航精度越高。火星敏感器精度每增加6″，位置误差降低约50 m，位置速度误差协方差近似线性减小。

3)火卫一敏感器精度对导航结果的影响

图10给出了在3.1所述的仿真条件下，只改变火卫一敏感器精度时的导航结果。表4统计了火卫一敏感器精度分别为3″，6″，9″时在8组不同的量测噪声下滤波收敛后的蒙特卡罗仿真平均结果。由图10和表4可知，火卫一敏感器精度对导航结果影响较小。随着敏感器精度的提高，导航性能仅有微小提升，位置速度误差协方差几乎不变。

图9 火星敏感器精度对基于星光角距/时间差分星光角距的天文测角的影响Fig.9 Impact of Mars sensor accuracy

表3 火星敏感器精度对导航结果的影响Table 3 Estimation error of using different accuracy of Mars sensor

图10 火卫一敏感器精度对基于星光角距/时间差分星光角距的天文测角的影响Fig.10 Impact of Phobos sensor accuracy

表4 火卫一敏感器精度对导航结果的影响

图11 星历误差大小对基于星光角距/时间差分星光角距的天文测角的影响Fig.11 Impact of ephemeris error magnitude

4)星历误差大小对导航结果的影响

图11给出了在第3.1节所述的仿真条件下，只改变星历误差大小时的导航结果。表5统计了星历误差最大值为1 km,4 km,8 km时，新方法与传统天文测角导航方法在8组不同的量测噪声下滤波收敛后的蒙特卡罗仿真平均结果的对比。由图11和表5可知，星历误差大小对导航结果有较大影响。星历误差越大，导航精度越低，位置速度误差协方差近似线性增大，但相对传统基于星光角距的天文测角导航方法，新方法仍有较好的估计效果。

5)滤波周期对导航结果的影响

图12给出了在第3.1节所述的仿真条件下，只改变滤波周期时的导航结果。表6统计了滤波周期分别为60 s，120 s，180 s时在8组不同的量测噪声下滤波收敛后的蒙特卡罗仿真平均结果。由图12和表6可知，系统受滤波周期影响较明显，滤波周期越长导航精度越差，且位置速度滤波协方差近似线性增大。这是因为虽然滤波周期增大，时间差分引起的量测噪声影响减小，但滤波周期越长，系统状态模型的线性化误差越大，导致系统导航精度降低。

4 结 论

本文主要介绍了基于星光角距/时间差分星光角距的天文测角导航方法。首先建立了基于星光角距的天文测角导航的状态模型和量测模型，通过火卫一星历误差对天文测角导航精度的影响分析，表明火卫一星历误差对天文测角导航结果影响很大且可以通过时间差分技术抑制。然后，推导了时间差分星光角距量测方程，从理论上说明时间差分可以消除天文测角导航中星历误差。最后，建立了火卫一的时间差分星光角距的量测模型，并将其与火星星光角距一起作为量测量，实现了对火卫一星历误差的抑制。研究利用MRO探测器对基于星光角距/时间差分星光角距的天文测角导航方法进行了仿真校验，仿真结果表明基于星光角距/时间差分星光角距的方法可以有效抑制火卫一的星历误差，提高导航精度。除火星探测任务外，该方法还可应用于其它深空探测任务中。

表5 星历误差大小对导航结果的影响Table 5 Estimation error of using different magnitude of ephemeris error

图12 滤波周期对基于星光角距/时间差分星光角距的天文测角的影响Fig.12 Impact of filter period

表6 滤波周期对导航结果的影响Table 6 Estimation error of using different filter period