具脉冲马尔可夫跳中立型时滞神经网络事件触发状态估计

王 霞， 钟守铭， 施开波

(1.电子科技大学 数学科学学院， 四川 成都 611731；2.成都大学 信息科学与工程学院， 四川 成都 610106)

0 引 言

近年来，基于神经网络在人工智能与机器学习等领域的广泛应用[1-2]， 学者们对神经网络进行了深入研究，并在时滞中立型、脉冲中立型、脉冲时滞中立型和马尔可夫跳时滞中立型神经网络等方面取得了丰富的成果[3-8].然而，目前， 针对脉冲马尔可夫跳时滞中立型神经网络[9]方面的研究仍少见报道.事实上， 如果在系统存在内部干扰时神经元仅有部分信息能传输出来， 那就有必要对持续的输出测量进行精确估计.此外，由于系统的传输宽带有限， 在采样数据时引入事件触发机制可以增大传输率， 因此， 时滞脉冲马尔可夫跳神经网络[12]、忆阻神经网络[13]和离散时间多重神经网络[14]等各种系统引入事件触发器都获得了很好的研究效果.但是至今很少有关于脉冲马尔可夫混合时滞中立型神经网络事件触发估计的研究报道.基于此，本研究分析了具脉冲马尔可夫跳中立型时滞神经网络的事件触发状态估计， 基于Lyapunov-Krasovskii泛函和脉冲理论，利用詹森不等式、倒凸不等式、自由权矩阵和区间分割等技术， 给出并证明了增广系统指数稳定的充分条件， 同时通过数值算例验证了所提出结论的有效性.

1 系统描述

记号为了简便，本研究中的Rn和Rm×n分别表示n维欧几里德空间和m×n维实矩阵，实对称矩阵Q>0表示Q是一个正定矩阵，I和O分别代表适当维数的单位矩阵和零矩阵，diag{…}代表块对角矩阵，在对称块矩阵中*表示相应的对称项，其中Sym(X)=X+XT，‖·‖代表矢量的欧几里德范数或者矩阵的谱范数，λmax(P)和λmin(P)分别表示矩阵P的最大特征值和最小特征值.

下面考虑带有混合时滞、脉冲和马尔可夫跳变参数的中立型神经网络系统，

(1)

式中，x(t)=(x1(t),x2(t),…，xn(t))T∈Rn是神经网络状态向量；y(t)∈Rm是测量输出；A(ρt)=diag{a1(ρt),a1(ρt),…，an(ρt)}为正定对角矩阵；

P{ρt+Δ(t)=s|ρt=}

(2)

下面引入事件触发机制，下一个触发时刻定义为，

σxT(tk-1+lr)Φx(tk-1+lr)}，

其中，θk-1(t)是当前状态x(tk-1+lr)与上一状态x(tk-1)的误差状态，k,l=1,2,…，r为采样周期，矩阵Φ>0和常数σ>0.定义，

由此可知，0≤τ(t)≤r,事件触发条件可描述为，

(3)

=C(ρt)x(tt-1),t∈[tk-1,tk)，k=1,2,….

(4)

A(ρt=)=A，K(ρt=)=Kt，

J(ρt=)=J，B0(ρt=)=B，

B1(ρt=)=B，B2(ρt=)=B，

B3(ρt=)=B.

(5)

(6)

N=(I0)，j=NTJ，

假定1离散时间时滞r(t)、分布时间时滞h(t)和中立时滞σ(t)分别满足以下条件，

其中ζ1、ζ2是实数，且ζ1≠ζ2.

定义1 若存在正常数ε和β>1，且满足关系式，‖ζ(t)‖≤βφe-εt，则系统称为指数稳定的，ε为其指数收敛率.其中，φ为系统的初始条件，且，

2 主要结果

本研究通过构造一个合适的Lyapunov-Krasovskii函数，首先假设反馈获得矩阵K是已知的，内部输入向量J=0,得到增广系统指数稳定的充分条件，其中定义如下符号：

ei=(0n×(i-1)n,In×n，0n×(34-i)n)T，i=1～34，

fT(Nζ(t-r1))fT(Nζ(t-r(t)))×

(7)

(8)

这里，

Ω=diag{Ω1,Ω2},Ωi=diag{-Ti,-3Ti}，i=1,2

χ1(t)=(ζT(t)fT(Nζ(t)))T

证明构造合适的Lyapunov-Krasovskii泛函，

其中，

v1(ζ(t),ρ(t),t)=e2εtζT(t)Pζ(t)

v2(ζ(t),ρ(t),t)

v3(ζ(t),ρ(t),t)

v4(ζ(t),ρ(t),t)

v5(ζ(t),ρ(t),t)

v6(ζ(t),ρ(t),t)

v7(ζ(t),ρ(t),t)

v8(ζ(t),ρ(t),t)

(9)

由式(3)可得，

=e2εtζT(t)Γ9ζ(t)≥0

(10)

从假定2可知，对于任意合适维数的正定对角矩阵Λ1和Λ2，神经元激活函数满足.

2e2εt[-ζT(t)F1Λ1ζ(t)+ζT(t)F2Λ1f(ζ(t))+

fT(ζ(t))F2Λ1ζ(t)-fT(ζ(t))Λ1f(ζ(t))]

=e2εtζT(t)Γ10ζ(t)>0

(11)

2e2εt[-ζT(t-r(t))F1Λ2ζ(t-r(t))+

ζT(t-r(t))F2Λ2f(ζ(t-r(t)))+

fT(ζ(t-r(t)))F2Λ2ζ(t-r(t))-

fT(ζ(t-r(t)))Λ1f(ζ(t-r(t)))]

=e2εtζT(t)Γ11ζ(t)>0

(12)

式中，

fT(ζ(t))=(fT(Nζ(t)) 0)T,

fT(ζ(t-r(t)))=(fT(Nζ(t-r(t))) 0)T.

对于增广系统和任意合适维的矩阵P，式(13)成立，

Wf(N(ζ(t)))+Wf(N(ζ(t-r(t))))+

=e2εtζT(t)Γ12ζ(t)

≥0

(13)

(t)‖2成立，最后可以得到，

故根据定义1知道增广系统是指数稳定的.

以下部分主要是为了得到增广系统指数稳定的充分条件，同时通过MATLAB线性矩阵不等式工具箱求解反馈获得矩阵K和设计的事件触发器矩阵Φ，其中，

(14)

(15)

这里，

其余的符号表示和证明过程均同于定理1.

3 数值算例

本研究将给出一个数值算例并用MATLAB线性矩阵不等式工具箱验证了定理2提出的结果的有效性，同时可解得反馈获得矩阵.在算例中，考虑含2个马尔可夫跳模态的二阶脉冲中立型时滞神经网络系统相关参数为：

C2=(0.7 0.3)，I=diag{1,1,1,1},

Hk=-0.4I，F=0.5I，F1=0.05I，F2=0.3I

表1 不同的μ值可取的最大时滞上界r2

当r2=1.817，且μ=1.2时，得到事件触发矩阵和反馈获得矩阵如下，

图1马尔可夫过程

4 结 语

本研究探讨了具脉冲和混合时滞的马尔可夫跳中立型神经网络的状态估计，采样时引入事件触发传输机制，并基于Lyapunov-Krasovskii泛函和脉冲理论，利用詹森不等式、倒凸不等式、自由权矩阵和区间分割等技术，给出了增广系统是指数稳定的充分条件.同时，通过数值算例验证了所提出方法的正确性.