北斗卫星星载原子钟的短期钟差预报模型参数选取分析

崔立鲁， 曾广川， 许文超， 江雪梨， 杜 石

(1.成都大学 建筑与土木工程学院， 四川 成都 610106；2.武汉大学 测绘学院， 湖北 武汉 430079；3.长安大学 地质工程与测绘学院， 陕西 西安 710054)

0 引 言

高精度的卫星星历和钟差数据是实现精密单点定位(Precise point positioning,PPP)的2个必要条件[1].目前采用的精密星历和钟差文件一般是由国际GNSS服务组织(International GNSS service,IGS)提供的，其中精密钟差文件虽然精度已经到达了0.1 ns，但仍不能满足实时精密定位的要求.鉴于对高精度实时动态定位服务的需求越来越多，找到一种能够提供高精度实时预报卫星钟差的算法就显得十分必要[2-4].

目前，北斗卫星导航系统(Beidou navigation satellite system,BDS)采用的是国产的铷原子钟，其与卫星全球定位系统(Global positioning system,GPS)所使用的原子钟不同，因此，加强对BDS星载原子钟预报模型的研究是卫星导航定位领域的一个研究重点.对此，本研究探讨了多项式模式(Polynomial model,PM)和灰色模型(Grey model,GM)2种钟差预报模型的基本原理，同时，利用由IGS组织提供的精密星历数据来验证模型参数的最优选择，并将设置了最优参数的2种预报模型的结果进行比较和分析，得到卫星钟差短期预报的最优算法.

1 预报模型

1.1 多项式模型PM

PM模型主要分为1阶模型、2阶模型和高阶模型.本研究以2阶模型为例，说明PM模型的数学原理，其表达式为，

(1)

x=a0+a1Δt+0.5a2Δt2

(2)

将式(2)用矩阵形式表达，以4个已知数据为例，

L=AX

(3)

求解式(3)，即可得到待定参数的数值.

由上述基本原理可知，影响PM模型的因素主要是PM模型的阶数和参与拟合模型的已知点个数.但该算法随着阶数的增加，其数学模型也变得更加复杂，计算效率也大为降低.

1.2 灰色模型GM

假设BDS卫星某一段钟差序列为，

x(0)={x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(k),…，x(0)(n)}

且该序列中所有数据均非负，对应的时间序列为{xt}(t=1,2,…，n).对该钟差序列进行累加，得到一个新的序列为，

x(1)={x(1)(1)，x(1)(2),…，x(1)(k)，…，x(1)(n)}

(4)

L=AX

(5)

式中，

根据最小二乘原理可得待求参数X的估值为，

X=(ATA)-1ATL

(6)

在初始条件x(1)(1)=x(0)(1)的约束下，式(4)的解为，

(7)

经过累减还原，可得原始序列为，

(8)

由上述模型原理可知，GM模型至少需要4个以上的已知数据才可以建立预报模型，而影响该预报模型的除了原始钟差序列的观测误差外，主要是参与建模的已知点数量.相关研究表明，该算法有效地减少了预报模型的计算量，提高了计算效率[7-9].

2 实验分析

本研究的实验数据来源于IGS提供的2013年1月1日的SP3格式BDS精密星历文件，采样间隔为5 min，共计288个历元，卫星编号为C01.为了检验PM模型和GM模型的参数选取对钟差预报精度的影响，本研究设计了4个实验方案，其中PM模型是关于阶数和已知点数量的，而GM模型是关于已知点数量的，最后将2种预测模型进行了比较.

2.1 已知点数量对PM预报模型精度的影响

为了更好地反映已知点数量对PM模型预报精度的影响，本研究采用2阶PM模型，参与计算的已知点数量分别设置为5、7、9与11个.通过PM模型计算得到的预报值减去精密星历文件中的钟差已知值得到相应的残差值，并对残差值进行数值统计和分析，结果见图1和表1.

图1 不同已知点数量的PM模型预报精度

由图1可知，已知点数量为5、9与11点的预报精度要明显低于7点，同时随着预报历元的增加，预报误差随之增大，这是因为随着历元的增加，预报历元距已知数据也越来越远，预报误差也不断累积.

由表1的数据可知，7点法的最大值为-0.008 920，最小值为-0.035 394，平均值为-0.023 156，均方根为0.024 514，远低于其他3种算法的统计指标.

由上述分析结果可知，参与计算的已知点个数为7时，PM模型的预报精度最高，因此本研究选择参与计算的已知点个数为7.

2.2 多项式阶数对PM预报模型精度的影响

本研究将已知点数量设置为7，多项式阶数分别设为1、2与3，数据处理方法同上，结果见图2和表2.

图2 不同阶数的PM模型预报精度

由图2可知，3阶PM模型预报精度显著低于1阶和2阶，而1阶和2阶PM模型的残差十分接近，从图2中无法直观进行比较.由表2数据可知，1阶PM模型的最大值为-0.047 480，最小值为-0.048 926，平均值为-0.048 192，均方根为0.048 194；而2阶的最大值为-0.008 920，最小值为-0.035 394，平均值为-0.023 156，均方根为0.024 514.从各项精度指标来看，2阶PM模型的预测精度要略高于1阶，因此本研究选择PM模型的阶数为2.

2.3 已知点数量对GM预报模型精度的影响

本研究分别选取已知点数量为4、5、7、9及11，数据处理方法同上，结果见图3和表3.

由图3可知，所有预测误差都随着历元数量的增加而增大，这与2.1中实验方案的结论是一致的.参与计算的已知点数量越多，预测误差越小.

由表3数据可知，4点和5点的残差精度比较接近，而从5点开始各项精度指标随着已知点数量的增加，均有显著的提升.而各项精度指标中，11点的值是最小的，其最大值为0.010 496，最小值为-0.001 745，平均值为0.003 795，均方根为0.005 311.而表3所得结果与图3中的结论是一致的.因此，本研究选择GM模型参与计算的已知点数量为11.

2.4 2种预报模型的比较

根据上述3个实验的结果，

本研究分别采用已知点数量为11的GM模型和已知点数量为7且阶数为2的PM模型对同一组BDS钟差进行预报并比较两者的精度，结果见图4和表4.

图3 不同已知点数量的GM模型预报精度

图4 2种模型的预报精度

从图4可知，GM模型和PM模型的变化趋势保持一致，而GM模型的预测误差要低于PM模型.从表4的数据可见，虽然GM模型的最大值大于PM模型，但是其最小值、平均值和均方根值均远小于PM模型，由此可知，在短期钟差预报方面GM模型的预报精度要优于PM模型.

为了验证上述结论的可靠性和公平性，本研究将7点GM模型和7点2阶PM模型进行比较，结果见图5和表5.

从图5和表5可知，GM模型的预报残差精度指标均优于PM模型，与图4和表4得到的结论是一致的. 总体上来说，GM模型预测精度要高于PM模型，因此本研究建议在进行钟差短期预报中采用GM模型.

图5 2种模型的预报精度

3 结 语

本研究分析了常用的2种卫星钟差预报模型，针对卫星钟差模型的参数选取对预报精度的影响，设计了3个不同的实验，分别验证已知点数量和阶数对PM模型预测精度的影响以及已知点数量对GM模型预测精度的影响.实验结果表明，采用7点2阶PM模型和11点GM模型进行钟差短期预报，其预测精度是最优的.同时，为了比较2种预报模型的精度，本研究将2种预报模型结果进行了对比，仿真分析结果也表明GM模型的预测精度要优于PM模型.