递推式xn+1=xn(xn-1)的性质探究

浙江省平阳中学 (325400) 何龙泉

递推式xn+1=xn(xn-1)由迭代xn+1=f(xn)和函数f(x)=x(x-1)构成.由f(x)=x得x*=0，x**=2，又f′(x)=2x-1，于是|f′(0)|=1，

|f′(2)|=3>1，故由不动点稳定性判定定理[1]：x0是函数f(x)的不动点，则当|f′(x0)|<1时，通过迭代an+1=f(an)(a1在x0附近)得到的数列{an}极限存在，并以x0为极限.此时，称x0为稳定的不动点；而当|f′(x)|>1时，数列{an}发散，称x0为不稳定的不动点.由此知：x**=2为不稳定的不动点，不动点x*=0的稳定性与首项x1有关，本文将对数列的性质作进一步的探讨.

一、数列{xn}的性质

具体地说，对于不同的x1，由递推式xn+1=xn(xn-1)得到的数列{xn}有以下性质：

(3)当x1<-1或x1>2时，{xn}是递增数列且发散.

(5)当x1∈(0，1)时，x2

二、性质的证明

在证明上述结论之前，我们先来证明两个易证结论.

图1

下面我们来证明上面数列{xn}的性质.

性质(1)和(2)显然成立的，证明略.

三、性质的应用

(1)求首项a1的取值范围；

(2)证明：对任意n∈N*，都有an+1>an.

解：(1)由已知a1>0，(ⅰ)若a1∈(0，1]，则a2≤0，不合题意；

(2)由(1)知an+1-an=an(an-2)>0，所以对任意n∈N*，都有an+1>an.

对于递推式xn+1=xn(xn-1)性质的探索只是对该类递推式探究的一个方面，这样的研究对于教学、命题都大有裨益.