高中数学解题常用的思想方法及应用

祝小童

摘  要：高中数学的解题思想方法与小学、初中有了本质的不同。在小学、初中阶段学习数学，往往是模仿老师的解题思路和方法，学生尝试解决类似的问题，即由例及类，根据一道例题，对于有限的类型问题也都能迎刃而解。但在高中阶段，对于海量的数学知识和数学题目，这种方法便很难实行。究竟应如何进行高中的数学解题呢？笔者将从高中数学解题思想方法的角度上做一个尝试。

关键词：高中数学  解题技巧  思想方法  应用

中图分类号：G63                              文献标识码：A                    文章编号：1672-3791（2020）11（c）-0076-04

The Common Thought Method and Application of High School Mathematics Problem Solving

ZHU Xiaotong

（Jilin Normal University， Changchun， Jilin Province， 130000 China）

Abstract： The high school mathematics problem solving thought method and primary school， junior high school has the essential difference. Studying mathematics in primary and junior high schools， students often imitate the teachers' thinking and methods of solving problems， and try to solve similar problems， that is， by example and class. According to an example， they are able to solve limited types of problems. However， in high school， it is difficult to implement this method for massive mathematical knowledge and problems. How to solve the math problem in high school？ The author will make an attempt from the Angle of the thought method of solving high school mathematics problems.

Key Words： High school mathematics; Problem-solving skills; Thinking method; Application

美籍數学家乔治·波利亚曾说：“完美的思想方法犹如北极星，能使人们找到正确的道路”。他认为中学数学教育的根本宗旨是要教会年轻人思考。在解题的过程中灵活地应用数学的思想方法，能够加深学生对问题的理解，使其教学综合素养与独立思考能力得到提升，创新思维能力得到加强。学生可以体会到任何数学问题的解决过程，都是分析与方法选用的结果，从而改善对数学学习的畏惧情绪。笔者主要阐述了高中数学解题中8种常用的思想方法，并加以举例。

1  化归与转化思想

转化是将比较复杂、陌生、不易解决的问题转化为比较简单、熟悉又能够容易解决的问题，即化陌生为熟悉。因此，转化是思维的进程，构造是实现转化的一个手段。不断地转化和构造，就成为解决数学问题的主线。

例：如果一条直线和圆两者之间没有公共点，求实数m的取值范围。

解：根据已知的条件化简，运用转化思想中的简单化原则得到，当无公共点时得出，也就是，因此，实数m的取值范围为。

2  函数与方程思想

函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数特征，从变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路。方程的思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，通过解方程（组）或不等式（组）解决问题[1]。

例：的3个内角的大小构成等差数列，且，又已知，对应的边z上的高等于，求的三边长x、y、z的大小以及的大小。

解：由题可知：，可联想到中的恒等式：

因此，。又因为构成等差数列，则，所以，即是方程的两个根，由，解得，则。

由此得出，。

3  数形结合思想

数形结合是根据数与形的互化来解决数学问题的一种重要思想。以形助数，以数解形，使复杂问题简单化，抽象问题具体化[2]。从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽解题思路。

例：已知在坐标系中由两个图形：一个是椭圆，其方程为;另一个是以（0，0）为圆心，以为半径的圆。已知椭圆的短轴长为2，离心率是。

求：（1）求椭圆和圆的方程。

（2）若一条直线与椭圆相交于M、N两点，与圆交于两点。且，求的最大面积。

解：（1）由题可知：b=1，，因此=1，即，。故椭圆方程为，圆的方程为。

（2）如图1所示，作交于H，连接OP，在中，利用勾股定理可求。由图可得，当直线与x轴平行时，三角形面积最大。此时，图中5个点的y值均为，将其带入中可求M、N的横坐标分别为，故。因此三角形最大面积为。

4  分类与整合思想

当我们遇到问题没办法解决，这时便需要分类讨论。这是一种策略和方法，为了化解和缓解矛盾，需要分成不同的类型探讨;再把一个问题中各个解决的部分基本合并，提炼得出整体结论的思想方法[3]。分类与整合思想的主要问题是“分”，解题过程是“合—分—合”。

例 已知函数。

（1）求的单调区间。

（2）求在区间[0，1]上的最小值。

解：（1）因为，可得的递减区间为;递增区间为。

（2）①当k≤1时，函数在[0，1]上递增，所以;

②当1

③当k≥2，函数在[0，1]上递减，所以。

综述，当k≤1时，;当1

5  特殊与一般思想

矛盾的普遍性存在于特殊性之中，多数的数学问题都是对特殊情况的分析总结出一般的结论[4]。因为特殊问题简单直观，容易认识和把握，所以特殊与一般思想在数学中也是十分重要的方法，是学习和研究数学必须掌握的数学解题理论。

例：是否存在一个等差数列，使得对任何自然数n，等式都成立，并证明你的结论。

解：将n=1，2，3分别带入等式可得：

解得，则d=3。

故存在一个等差数列，当n=1，2，3时，等式成立。

接下来，利用数学归纳法证明存在一个等差数列，对于大于3的自然数，等式都成立。

综述，存在一个等差数列，使得对任何自然数n，等式都成立。

6  正难则反思想

正难则反的思想方法是一种间接的解决数学问题的方法。在解决一个数学问题时，如果从正面入手比较困难或者过程繁杂时，可采用从反面考虑，通过转变思维方向来解决问题。

例：已知集合，

。若，求实数m的取值范围。

由知式（1）在区间[0，2]上至少有一个实数解。

设（1）式的两个根为，由，得m≤-1或m≥3。

讨论：当m≥3时，由知都是负数，不符合题意;当m≤-1时，由知互为倒数，故必有一个在区间[0，1]内，从而式（1）在区间[0，2]上至少有一个实数解。

综述，方程组在[0，2]上无解时，实数m的取值范围为。因此，该题所求实数m的取值范围为。

7  有限与无限的思想

有限与无限的思想揭示了变量与常量，有限与无限的对立统一的关系。随着高中新课程改革的深入，有限与无限的思想在高中数学解题中的应用越来越被重视[5]。数学中的很多问题看似是有限问题，但在解决的过程中往往又需转化为无限问题才能更好地解决，即通过对无限问题的探究来解决有限的问题。

例：利用定积分的定义求直线和曲线围成的图形的面积。

解：因为在[1，2]上连续，所以在[1，2]上可积，该题求直线和曲线围成的图形的面积，其数学本质就是求在[1，2]上的定积分，即求极限，不论在[1，2]区间如何分法，取何值，S都存在.为便于计算，将[1，2]区间n等分，分点，每个小区间长度，取每个小区间的右端点作为，即，于是有：

8  或然与必然的思想

或然性是对不确定的随机性结果的统计找出规律性，必然性是解决一类不确定问题的重要的思想方法[6]。概率知识在高考中倍受关注，它研究的过程是在“偶然”中寻找“必然”，然后再用“必然”的规律去解决“偶然”的问题。

例：一个盒子装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数：

（1）现从盒子中任取2张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率。

（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望。

解：（1）记事件A为“任取2张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数为奇函数”，由题可知。

（2）可取1，2，3。

故的分布列为：

因此，的数学期望为。

9  结语

数学思想是从众多的问题中所总结出来的概括性内容，是将抽象的数学知识转变为具体性认识的重要方式。因此，作为教师来说，要在教学的过程中引导学生去了解和掌握数学思想，帮助学生去领悟數学思想方法，掌握解决数学问题的能力才是关键。作为学生来说，在高中阶段也要按照类似的思路去学习数学，就能够学得既轻松又愉快，达到事半功倍的效果。

参考文献

[1] 朱磊磊.对高中数学函数与方程思想的实践研究[J].数理化学习：高中版，2018（12）：16-18.

[2] 郝丽丽.高中生对数形结合思想理解及运用现状的研究[D].华东师范大学，2019.

[3] 石成效.高中数学专题复习与研究中用分类讨论的思想解题[J].语数外学习：高中版，2015（6）：44-46.

[4] 沈小亮.巧用“特殊与一般”提升思维能力[J].新课程（中），2019（6）：102-106.

[5] 刘芬，毛家达，任明耀.高中数学教学中注重渗透思想方法[J].文化创新比较研究，2018，2（29）：180-182.

[6] 董磊.“概率”概念教学中渗透或然与必然思想方法的案例分析[J].中学数学教学参考，2020（11）：62-65.