鉴古知今，追本溯源———探索简易逻辑母源题

■江苏省宿豫中学 孙 艳

正确的思想一定是来自于正确的逻辑，能够清晰高效地思考，能与人顺畅地沟通，逻辑学的功劳不可磨灭。逻辑之艺术非天外来客，它是人们生活中行动与思考的核心所在。数学就是逻辑的代名词，而中学时代的简易逻辑是逻辑最初的模样。在高考的舞台上，简易逻辑也有一席之地，虽然考试难度并不大，但是给予一定的关注是非常有必要的。

简易逻辑的高考命题每年都有新变化，但若认真研究就会发现还是有规律可循。正所谓万变不离其宗，可以说高考考题都是可以找见它的母源题的。若是掌握这些母源题，无论高考考题如何变化，都可以以不变应万变，在高考中创造出辉煌的成绩。

【母源题一】(人教A 版选修1-1第11页例3)下列各题中，哪些p 是q 的充要条件?

(1)p：b=0；q：函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数。

(2)p：x＞0，y＞0；q：xy＞0。

(3)p：a＞b；q：a+c＞b+c。

【创新应用1】已知命题p：“关于x 的方程x2-4x+a=0有实根”，若¬p 为真命题的充分不必要条件为a＞3m+1，则实数m的取值范围是( )。

A.(1，+∞) B.[1，+∞)

C.(-∞，1) D.(-∞，1]

解析：对于命题p：方程x2-4x+a=0有实根，得Δ=16-4a≥0，则a≤4，所以¬p成立时a＞4。又a＞3m+1是¬p 为真命题的充分不必要条件，所以3m+1＞4，m ＞1，即实数m 的取值范围是(1，+∞)。

【创新应用2】设命题p：(4x-3)2≤1；命题q：x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0。若¬p是¬q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是____。

解析：设A={x|(4x-3)2≤1}，B=¬p 是¬q 的必要不充分条件，可知p 是q的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，所以即故实数a 的取值范围是

评注：该类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与命题(特别是含有逻辑联结词的复合命题)真假的判断、充分条件与必要条件的判断，以及全称命题、特称命题等联系紧密。

充分、必要条件的三种判断方法：

(1)定义法。直接判断“若p，则q”、“若q，则p”的真假。例如“p⇒q”为真，则p 是q的充分条件。

(2)等价法。利用p⇒q 与¬q⇒¬p，q⇔p 与¬p⇒¬q，p⇔q 与¬q⇔¬p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法。

(3)集合法。若A ⊆B，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若B⊆A，则A是B 的必要条件；若A=B，则A 是B 的充要条件；若A 是B 的真子集，则A 是B 的充分不必要条件；若B 是A 的真子集，则A 是B 的必要不充分条件。

【母源题二】(人教A 版选修1-1第23页例2(节选))判断下列特称命题的真假：

解析：因为命题“∃x0∈R，-2x+m≤0”是假命题，所以∀x∈R，x2-2x+m＞0为真命题，根据一元二次不等式解的讨论，可知Δ=4-4m ＜0，解得m ＞1，故答案为(1，+∞)。

评注：解决与简易逻辑问题有关的参数问题，需要明确逻辑联接词的含义，以及全称量词、特称量词包含的数学理论。

【母源题三】(人教A 版选修1-1第17页例4)写出下列命题的否定，并判断它们的真假：

(1)p：y=sin x 是周期函数；

(2)p：3＜2；

(3)p：空集是集合A 的子集。

【创新应用4】(2019 年高考全国Ⅲ卷文11题)记不等式组表示的平面区域为D。命题p：∃(x，y)∈D，2x+y≥9；命题q：∀(x，y)∈D，2x+y≤12。下面给出了四个命题：①p∨q；②¬p∨q；③p∧¬q；④¬p∧¬q。在这四个命题中，所有真命题的编号是( )。

A.①③ B.①②

C.②③ D.③④

解析：根据题中的不等式组，可作出可行域，如图1 中阴影部分所示。记直线l1：y=-2x+9，l2：y=-2x+12，由图可知，∃(x，y)∈D，2x+y≥9，∃(x，y)∈D，2x+y＞12，所以p 为真命题，q 为 假 命 题，则¬p 为假命题，¬q 为真命题，从而p∨q 为真命题，¬p∨q为假命题，p∧¬q 为真命题，¬p∧¬q 为假命题，则所有真命题的编号是①③。故选A。

图1

评注：本题将线性规划、不等式与命题判断综合到一起，解题关键在于充分利用数形结合法进行判断命题真假。进而通过命题p、命题q 的真假，确定命题p∨q，p∧q，¬p的真假。命题p∨q，p∧q，¬p 的真假判断如表1：

表1

【母源题四】(人教A 版选修1-1第7页探究(节选))以“若x2-3x+2=0，则x=2”为原命题，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断这些命题的真假。

【创新应用5】命题：“已知实数a，b，若|a|+|b|=0，则a=b。”则该命题的否命题是____，命题的否定是____。

解析：根据否命题与命题的否定的意义可知，否命题为：“已知实数a，b，若|a|+|b|≠0，则a≠b”；命题的否定为：“已知实数a，b，若|a|+|b|=0，则a≠b”。

评注：命题的否定和否命题是两个容易混淆的概念，前者只否定结论，后者的条件和结论都要进行否定。特别地，在否定条件或结论时，应把“且”改成“或”、“或”改成“且”。

有关简易逻辑的母源题就探寻到这里，文虽至此，但是研究的脚步不会停止。因为有这么一种现象总是让人非常揪心，在高中学生中常看到一些平时非常用功，但是学习成绩不太好的学生。若用心研究这类学生，不难发现他们具有相同的特点，就是大多数都不知道自己的薄弱点，虽然有大量的练习，然而并没有针对自己的薄弱之处练习，大量的精力花在不需要的地方。这就如同老师在网络上下载了大量电子版本的资料，却因为精品不多，导致题目是越来越多，反而成为一种负担，这样既苦了自己，也苦了学生。

为了化解上述难题，对学生而言，需要明确目标，进行有针对性的练习，才能提高复习质量。这就需要有人帮助学生找到他们知识体系中的不足，引导他们将精力投入到学习薄弱的环节，所以探索出数学“母源题”，并利用“母源题”搞好数学复习工作。这样可以避免无的放矢、机械训练、重复操练，从而跳出“题海”。