以不变应万变
———复数创新题根源探索

2020-01-06 09:04江苏省宿豫中学陆敬渠

中学生数理化(高中版.高考数学) 2019年12期

■江苏省宿豫中学陆敬渠

纵观历年高考数学试题，涉及复数的内容年年都有，主要以考查复数的四则运算为主，考查复数的概念、复数的几何意义。考查的方向有两个：一是复数的概念及运算，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念，以及复数模的运算；二是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置，复数与方程的综合问题等。分值在5 分左右，属于中低档题。但是许多学生在复习时，由于不注重方法，往往事倍功半，其实稍作研究可知，绝大部分试题均可以利用课本中例题、习题、引申题的结论快速求解。

一、考查复数的有关概念

【母题来源一】(人教A 版选修2-2 第104页练习题1)说出下列复数的实部和虚部：

解析因为该复数的实部和虚部互为相反数，则故选A。

【创新应用2】已知0＜a＜2，复数z 的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是( )。

解析：由题意可得z=a+i，则|z|=|a

评注：解决复数概念问题的方法及注意事项：(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b。(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数。

二、考查复数的几何意义

【母题来源二】(人教A 版选修2-2 第106页习题A 组第5题(节选))实数m 取什么值时，复平面内表示复数(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i的点位于第四象限?

这里的每一道菜，都是美食与京城文化的结合，从各路民间小吃到宫廷小吃；从传统小吃到京派改良的各式家常特色，应有尽有。除了吃进嘴里的美味，还有吃进脑海的饮食文化，从京八件、京城四大抓，到京味儿压桌四凉菜，真是一边饱胃口一边涨知识呀！

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析：复数1+2i，其共轭复数为1-2i，在复平面上所对应的点为(1，-2)，位于第四象限。故选D。

【创新应用4】已知z=m2-1+mi在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是( )。

A.(-1，1) B.(-1，0)

C.(-∞，1) D.(0，1)

解析：因为z=m2-1+mi在复平面内对应的点是(m2-1，m)，且该点在第二象限，所以解得0＜m＜1，所以实数m的取值范围是(0，1)。故选D。

评注：复数几何意义问题的解题策略：(1)复数z、复平面上的点Z 及向量相互联系，即(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观。

三、考查复数的运算

【母题来源三】(人教A 版选修2-2 第116页复习参考题B 组第1 题)把复数z 的共轭复数记作

A.i B.-1+i

C.-1-i D.-i

解析：由已知可得=-1+i，则z=-1-i。故选C。

评注：复数代数形式运算问题的解题策略：在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可；复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可；除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式。

四、考查常见结论的应用

【母题来源四】(人教A 版选修2-2 第116页复习参考题B 组第2 题)(1)试求i1，i2，i3，i4，i5，i6，i7，i8的值；

(2)由(1)推测in(n∈N*)的值有什么规律? 并把这个规律用式子表示出来。

A.1 B.-1 C.i D.-i

解析：由-i，知z100+z50+1=(-i)50+(-i)25+1=-i，故选D。

【创新应用7】已知复数z 的模为2，则|z-i|的最大值为( )。

解析：因为|z-i|≤|z|+|i|=3，即|z-i|的最大值3。故选D。

评注：一些常见的结论：(1)(1±i)2==i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N*)；(3)i4n+(5)z 为纯虚数为纯虚数。

五、复数与其他知识的综合考查

【母题来源五】(人教A 版选修2-2 第116页复习参考题B 组第3 题)已知复数z1=m+(4-m2)i(m ∈R)，z2=2cos θ+(λ+3sinθ)i(λ，θ∈R)，并且z1=z2，求λ 的取值范围。

解析：因为是纯虚数，所以且，所以α 为第二象限角，则cos α故答案为