基于冲失滤波器的蚜虫种群模型的Hopf分岔控制

王 欢，赵立纯,，刘敬娜

(1.辽宁师范大学 数学学院,辽宁 大连 116029,2.鞍山师范学院 数学与信息科学学院,辽宁 鞍山 114007)

Hopf分岔是指当分岔参数发生变化且经过分岔值时，从平衡状态产生孤立的周期运动的现象[1]，它作为动态分岔的一种，在神经网络、生物模型、机械工程、网络系统等得到了广泛应用.如周帅，肖敏等人[2]将Hopf分岔理论应用于神经网络，建立了一种非对称双环神经元网络模型，并选择单环的时滞和为分岔参数，利用Hopf分岔理论，得到了双环神经网络系统的稳定条件和分岔判据，为深入了解神经元网络的动态行为机理奠定基础；张丽娟，王福昌等人[3]应用Hopf分岔理论，对带有扩散和时滞效应的传染病模型进行分析，得出了系统产生Hopf分岔的条件以及扩散导致不稳定、时滞导致失稳的条件，为预测疾病的爆发提供了参考；蒋超，杨强等人[4]将Hopf分岔理论应用于机械工程中，建立了双质体振动机系统的动力学方程，对系统进行冲失滤波控制，并利用Hopf分岔定理，给出了Hopf分岔临界位置和线性增益之间的关系、非线性增益与极限环幅值的关系，为振动器械的设计与控制提供依据；Chol-ung Choe等人[5]将Hopf分岔理论应用于网络系统中，采用多尺度法和主稳定函数法，给出了网络中时滞耦合稳定轨道的判据，为维持网络系统稳定提供一定参考.

在蚜虫生态系统中，蚜虫及捕食性天敌种群呈消长动态规律，即随着天敌种群数量的增长，蚜虫数量随之下降，其后天敌数量随蚜虫的减少而降低，进而随着天敌种群数量减少，蚜虫种群数量上升[6].上述消长过程可能导致蚜虫种群数量超过危害作物的程度，如果此危害发生在灌浆期，可以通过改变Hopf分岔位置将消长过程移至灌浆期前或延迟到灌浆期后.针对此现象，本文基于具有时滞效应的蚜虫种群模型，建立相应的控制模型，根据Hopf分岔理论，设计控制器以避免蚜虫种群的爆发.

1 模型建立与分析

考虑以下蚜虫种群模型[7]

(1)

其中x为蚜虫种群密度，a是出生率减死亡率，b/2c是阈值密度.

考虑气候、自然天敌、蚜虫种群自身代谢等诸多因素对蚜虫种群数量的影响，魏雪莹等用以下时滞模型表示环境对蚜虫种群的调节作用：

(2)

其中a0(>0)为时滞参数，m为常量.

(3)

结合模型(2)和(3)，得

(4)

(5)

实际上，模型(5)中的r1刻画的是环境对蚜虫种群的影响程度，为此本文将其作为模型的主要参数，利用Hopf分岔理论，确定系统发生Hopf分岔的临界位置，具体过程如下:

(6)

模型(6)在O(0，0，0)处的Jacobian矩阵为

相应的特征方程为

f(λ)=|λE-J|=

特征根为

由模型发生Hopf分岔的条件，来确定模型(5)发生Hopf分岔的条件.

(ⅰ)特征方程特征根实部为零，根据此条件r1应满足如下式子:

(ⅱ)特征方程有一对虚特征根，根据此条件r1应满足如下式子:

(ⅲ)特征根实部对参数的导数不为零，根据此条件r1应满足如下式子:

综上所述，得定理1.

如果系统的Hopf分岔行为发生在农作物的灌浆期内，可能会危害农作物的生长，为此，通过设计控制器使Hopf分岔移到灌浆期前或延迟到灌浆期后.

2 控制器设计

对模型(5)，如果蚜虫种群的生存环境不能调节蚜虫种群密度时，可采用人工调节天敌数量的方法对其进行控制，相应表达式为

(7)

其中z是天敌种群的密度，α是其吸收率，d是其自然死亡率.

由(7)得

(8)

(9)

结合模型(5)和模型(9)得具有冲失滤波器的蚜虫种群控制模型

(10)

对模型(10)，仍对平衡点A*(x*，y*，w*)进行分析.为了研究线性控制对Hopf分岔位置的影响，对于模型(10)，设

u=p1(x-dw)，

(11)

对式(10)作变换x1=x-x*，y1=y-y*，w1=w-w*，得

(12)

模型(12)在O(0,0,0)处的Jacobian矩阵为

相应的特征方程为

f(λ)=|λE-J|=λ3+a1λ2+a2λ+a3=0，

其中

记Δ1=a1，Δ2=a1a2-a3.

根据文献[1]，满足以下条件时模型(10)产生Hopf分岔：

(ⅰ)满足Δ1=a1>0，根据此条件r1应满足

(13)

(ⅱ)满足Δ2=a1a2-a3=0，根据此条件r1应满足

(14)

其中A=3c(x*)2-2bx*+r1mx*-a.

(15)

综上所述，得定理2.

定理2对模型(10)，如果控制u=p1(x1-dw1)，满足式(13)，(14)，(15)，则模型仍存在Hopf分岔，但Hopf分岔临界位置发生改变.

注由式(14)知，可通过调节线性控制增益p1来确定Hopf分岔位置，其中，p1>0时可将Hopf分岔位置前移，p1<0时可将其后移，从而使蚜虫种群的最大值发生在农作物灌浆期之外，以减少对农作物的危害.

3 数值仿真

图1 模型(5)控制前后的相平面图