借助a2+b2≥2ab求几何最值

刘兴寿

摘 要：利用a2+b2≥2ab求几何最值，一是要明确此不等式取等号的条件;二是要明确a，b中所含变量的取值范围.

关键词：几何最值;a2+b2≥2ab;不等式

利用a2+b2≥2ab求几何最值，就是要将相关问题用数形结合法将其转化为代数问题，并借此不等式取等号的条件，达到求最小或最大值的目的.现说明如下.

例1 如图1，四边形ABCD是一个绿地公园的用地示意图，其中AD//BC，∠B=90°，AD=2km，AB=3km，CD=5km.现计划分别在BC和CD上设计公园的入口M和出口N，并且修一条笔直的道路MN（路宽不计），使得MN将四边形ABCD分成面积相等的两部分，并且MN的长度最短，你认为满足条件的MN是否存在？若存在，请求出此时MN的长度，并求出入口M和出口N与点C之间的距离;若不存在，请说明理由.

解析 设入口M和出口N如图2所示，并过点D作DE⊥BC于点E，过点N作NF⊥BC于点F.

因为AD//BC，∠B=90°，所以四边形ABED为矩形，DE//NF.

又因为AD=2，AB=3，CD=5，所以DE=3，BE=2.由勾股定理得CE=4.

所以S四边形ABCD=S矩形ABED+SΔDEC=2×3+12×3×4=12.

设NF=x（0

所以12CM·x=6，则CM=12x.

由DE//NF得 NFDE=CFCE=NCCD.

即CF=43x，NC=5x3.

则FM=12x-4x3.

所以MN2=FM2+NF2=x2+（12x-4x3）2=25x29+144x2-32.

当且仅当5x3=12x，即x=6 55<3时，有MN2≥2×5x3×12x-32=8.

所以MN的最小值为2 2km，CM=NC=2 5km.

说明 这里利用a2+b2≥2ab（當且仅当a=b时取等号）来求最小值.

例2 如图3，已知AB为⊙O的直径，且AB=10，点P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，过点O向PA，PB作垂线，垂足分别为点E，F，则OE+OF的最大值为.

解析 因为AB为⊙O的直径，OE⊥AP于点E，OF⊥BP于点F，所以∠APB=90°.

点E，F分别为AP，BP的中点，则OE=12BP，OF=12AP，AP2+BP2=AB2=100.

即OE2+OF2=25.

因为OE+OF=（OE+OF）2

=OE2+OF2+2OE·OF

≤2OE2+2OF2（当且仅当OE=OF时取等号）.

当OE=OF时，则有AP=BP，所以△APB是等腰直角三角形.

所以OE+OF≤2OE2+2OF2=5 2.

所以OE+OF的最大值为5 2.

说明 这里利用2ab≤a2+b2（当且仅当a=b时取等号）来求最大值.

例3 如图4，菱形ABCD的边长为6，对角线AC=6 3，点E，F在AC上，且EF=2，求DE+BF的最小值.

解析 因为菱形ABCD的边长为6，对角线AC=6 3，设两对角线的交点为O，如图5所示，则BD⊥AC，OA=3 3.

由勾股定理得OD=3.

设OF=x，当点E，F在BD同侧（不妨设点E距离点O远）时，则x≥0.

所以DE2=（x+2）2+9，BF2=x2+9.

所以DE+BF=（x+2）2+9+x2+9≥13+3.

当点E，F在BD异侧时，则0≤x≤2.

所以DE2=（2-x）2+9，BF2=x2+9.

所以DE+BF≥2 DE·BF（当且仅当DE=BF时取等号）.

当DE=BF时，有（2-x）2+9=x2+9.

所以x=1.

所以DE+BF≥2 [（2-x）2+9]·x2+9=2 10.

由于13+3>2 10，所以DE+BF的最小值为2 10.

说明 这里用分类法与利用a+b≥2 ab（当且仅当a=b时取等号）来求最小值.

运用a2+b2≥2ab求几何最值，一是要明确当a=b时取等号;二是要明确a，b中所含变量的取值范围.

参考文献：

[1]武泽涛. 中考试题研究·数学：配陕西地区使用[M].西安：陕西科学技术出版社，2018.

（收稿日期：2019-09-01）