基于协方差矩阵重构的稳健自适应波束形成算法综述

叶中付 朱星宇

（中国科学技术大学信息科学技术学院，合肥，230027）

引 言

自适应波束形成(Adaptive beamforming)是阵列信号处理的一个重要分支，其广泛用于雷达、声呐、通信、探测、语音信号处理以及医学工程等领域[1-4]。自适应波束形成本质上是一种空域滤波技术，它基于一定的准则来设计获得波束形成器的权矢量，使得波束主瓣对准期望信号方向，同时最大可能地抑制其他方向的干扰信号和背景噪声。当阵列结构和接收数据的协方差矩阵准确已知时，Capon波束形成器被证明理论最优[5]。然而当存在模型失配误差时，例如方向误差、传感器位置误差、幅相误差等，这些将会导致Capon波束形成器的性能严重下降。此外在实际应用中，接收信号的理论协方差矩阵未知，一般使用样本协方差矩阵代替，当样本快拍数较小时，也会导致波束形成器的性能下降。Capon波束形成器可以保证对期望信号方向的无失真接收前提下最小化输出功率，因此Capon波束形成器与MVDR(Minimum variance distortionless response)波束形成器等价[6]。针对于非理想情况下的自适应波束形成算法性能下降问题，一系列稳健自适应波束形成算法相继被提出。这包括对角加载(Diagonal loading,DL)算法[7-11]、特征子空间(Eigenspace)算法[12-15]、不确定集算法(Uncertainty set,US)算法[16-18]、最差情况性能最优(Worst-case performance optimization,WPO)算法[19-20]和协方差矩阵重构算法(Covariance matrix reconstruction,CMR)算法等[21-29]。对角加载算法是在样本协方差矩阵上加上一个对角阵，可以认为是通过增加噪声功率来提高波束形成器的稳健性；但是合适的对角加载量很难选择，加载参数过小时对性能改善很小，加载量过大时会减弱对干扰信号的抑制。特征子空间算法通过对样本协方差矩阵进行特征分解来划分出不同的信号子空间，其中大特征值对应的特征矢量张成的空间认为是期望信号加干扰子空间，小特征值对应的特征矢量张成的空间认为是噪声子空间。而期望信号加干扰子空间也是由期望信号的导向矢量和干扰的导向矢量所张成的空间，故真实的期望信号导向矢量一定落在期望信号加干扰子空间内。所以可以将存在误差的期望信号导向矢量向期望信号加干扰子空间内进行投影来消除误差，从而提高波束形成器的稳健性。但是在低信噪比条件下，样本协方差矩阵的特征值大小非常接近，很难准确地区分出期望信号加干扰子空间和噪声子空间。不确定集算法主要是根据凸优化理论将期望信号导向矢量约束在一个可能的空间范围内来建立不确定集模型，通过优化算法在不确定集中找到真实的期望信号导向矢量。但是由于不确定集的大小很难选择，此类算法在各种误差条件下只能保证一定的稳健性。最差情况性能最优算法可以被认为是一类特殊的不确定集算法，它通过对不确定集中所有可能的导向矢量进行无失真响应约束，保证对期望信号的无失真接收同时最小化输出功率，进一步改善了波束形成器的稳健性。

在经过对稳健自适应波束形成算法的深入研究之后发现，影响波束形成器的性能的最大原因在于样本协方差矩阵中包含有期望信号成分。根据Capon波束形成器和MVDR波束形成器的对权矢量是等价的，可以通过重构干扰加噪声协方差矩阵来改善波束形成器的稳健性。文献[21]首先提出利用Capon功率谱在非期望信号角度区域内积分来重构出干扰加噪声协方差矩阵。重构出的协方差矩阵可以保证没有包含期望信号成分，同时利用重构出的协方差矩阵对期望信号导向矢量进行约束优化，该算法有效地提升了波束形成器的性能。文献[21]中的积分重构算法可以理解为是一种线性积分，它通过线性积分来消除阵列导向矢量的方向误差。在此基础上，文献[22]提出了一种体积分的协方差矩阵重构算法，该算法将阵列存在的误差约束在一个空间不确定集内同时确保所有的干扰导向矢量都落在该不确定集内，然后再利用Capon功率谱在干扰角度范围内积分，重构出干扰协方差矩阵。文献[22]相比于文献[21]将积分形式由线性积分扩展到体积积分，不仅消除了方向误差、还消除了幅相误差，但是在改善算法性能的同时增加了算法复杂度。文献[23]利用文献[24]中的方法从两个子空间矩阵中重构出期望信号协方差矩阵，从而获得期望信号的导向矢量。文献[25]利用阵列导向矢量的选择属性来采样出样本协方差矩阵中的信号功率来重构出干扰加噪声协方差矩阵。文献[26]将互素阵分解成两个子阵列来重构出噪声协方差矩阵。文献[27]提出了基于干扰导向矢量和功率估计的协方差矩阵重构算法，该算法首先利用Capon功率谱进行谱峰搜所来获得所有信号的导向矢量，然后利用文献[9]的算法对搜索出的导向矢量进行优化；接着再利用导向矢量之间的近似正交性来估计出干扰的功率从而重构出干扰协方差矩阵，该算法重构出的干扰协方差矩阵与理论上的干扰协方差矩阵有相同的表达形式，进一步消除了重构带来的误差、提升了算法的性能。文献[28]提出了基于残留噪声功率消除和干扰功率估计的协方差矩阵重构算法，它首先分析了Capon功率的表达式，发现在每一个谱峰处功率值是期望信号功率和残留噪声功率的叠加，在非信号角度区域内Capon功率谱代表的是残留噪声功率。接着该算法分析了残留噪声功率和实际噪声功率的关系，在消除残留噪声功率后估计出期望信号导向矢量和相应的子空间，然后利用子空间投影来估计出干扰信号的功率，最终重构出干扰加噪声协方差矩阵。文献[29]利用已知的阵列结构构造出投影矩阵，对接收到的数据快拍进行投影来重构出干扰协方差矩阵。

本文介绍了波束形成的信号模型及相关基础，对基于协方差矩阵重构的波束形成算法进行综述并总结。最后对波束形成的下一步研究方向进行了展望。

1 信号模型

考虑一个由M个全向阵元组成的均匀线性阵列，阵元间距为d。假设空间中有L个远场窄带信号sl(t),l=0,1,…,L-1入射到该阵列，其中只有一个期望信号s0(t)，其余L-1个信号均为干扰，所有信号之间互不相关。背景噪声为高斯白噪声，信号与噪声之间也互不相关。在t时刻阵列接收数据x可以表示为

式中：xs(t)=s0(t)a0为期望信号成分；为干扰信号成分；n(t)=为相互独立、功率同为的零均值平稳噪声；其中a(θ)=为阵列导向矢量，(·)T代表转置，λ为信号波长，θ为信号入射方向。波束形成器的输出为各个阵元接收到的信号加权求和

式中：w=[w0,w1,…,wM-1]T为波束形成器的权矢量；(·)H代表转置共轭转置。Capon波束形成器的权矢量在保证期望信号无失真接收同时最小化阵列输出功率的条件下求得

然而在实际中，不论是Ri+n还是R以及理论上的期望信号导向矢量均难以获得，故采用样本协方差矩阵R^和名义导向矢量aˉ0进行代替

2 基于协方差矩阵重构的稳健自适应波束形成算法

2.1 基于线性积分的协方差矩阵重构算法

根据文献[30]，Capon功率谱表示为

由于使用样本协方差矩阵和名义导向矢量代替理想的信号协方差矩阵和准确的期望信号导向矢量，式（7）改写为

文献[21]首先提出：使用Capon功率谱在期望信号角度区域内积分重构出干扰加噪声协方差矩阵，即

上述约束可理解为防止修正后的导向矢量aˉ0+e收敛到干扰信号的角度区域内，其中e=a^0-aˉ0是失配误差，a^0是待估计的期望信号导向矢量。根据矢量分解的性质，失配误差e可分解为两个相互正交的分量e∥和e⊥，其中e∥是平行于aˉ0的分量、e⊥是垂直于aˉ0的分量。并且平行分量e∥不会影响期望信号导向矢量的修正以及波束形成器的输出信噪比，因此只需求解出垂直分量e⊥，故上述优化问题可改写为

该优化问题是一个二次约束二次规划问题，可以通过凸优化工具包进行求解[31]，故得到修正后的期望信号导向矢量

结合通过线性积分重构得到的干扰加噪声协方差矩阵，可获得波束形成器的权矢量

2.2 基于体积分的协方差矩阵重构算法

文献[22]指出，入射信号在整个空间范围内来说是稀疏的，因此积分区域越大，会造成收集到的冗余信息越多，可利用测向算法分辨出只含有干扰信号的角度范围Θint，阵列的导向矢量不仅仅存在方向误差，还存在其他形式的误差。将干扰区域内的导向矢量约束在一个不确定集内，可有效地包括其他形式的误差

式中ε为常数，为了使得每一个干扰的导向矢量都能被约束在一个同样大小的球形不确定集中，ε应满足以下不等式

所有这样的球形不确定集可以合并成为一个大的圆环形不确定集

由于真实的干扰导向矢量一定位于不确定集Sa(θ∈Θint)中，一个直观的估计干扰协方差矩阵的方法是在整个不确定集Sa(θ∈Θint) 上对Capon功率谱进行积分运算，即

式中dν表示Sa(θ∈Θint)上的积分单元。然而，积分区域中含有许多共线的导向矢量，因此上述积分中含有太多的冗余信，故将式(17)的积分简化为

对于某一任意角度θi∈Θint，式(19)中r(θ)的积分可以通过离散取点求和求解

式中：N 为 ∂Sa(θ)上的采样点数,ain∈ ∂Sa(θi)为以 aˉ(θi)为球心、ε为半径的球面采样点。故式(18)可简化为

式中I表示角度区域Θint上的采样点数。对于噪声协方差矩阵，可认为样本协方差矩阵特征分解后获得的最小特征值即为噪声功率，那么重构出的干扰加噪声协方差矩阵可表示为

可以发现，当ε=0时，圆环收敛于一条aˉ(θ)所对应的空间曲线，此是相等的。因此该算法可以看做是文献[21]所提算法的推广。接着利用重构后的干扰加噪声协方差矩阵修正期望信号的导向矢量,主要思想与文献[21]类似，即

上述优化问题可以通过凸优化工具包进行求解，得到修正后的期望信号导向矢量a^0=aˉ0+e⊥，最后得到波束形成器的权矢量

2.3 基于干扰导向矢量和功率估计的协方差矩阵重构算法

文献[27]提出了一种基于干扰导向矢量和功率估计的协方差矩阵重构算法。利用Capon功率谱在整个空间内的功率分布，进行谱峰搜所便可以获得干扰的入射角度。假设通过搜索获得到的角度分别Q为搜索到的干扰信号的峰值个数。再根据已知的阵列结构信息，便可以获得相应的干扰导向矢量很显然，由于阵列结构存在误差、这些估计的干扰信号的导向矢量是不准确的，为了消除存在的误差，可以借鉴文献[9]中提出的方法。将这些估计的干扰信号导向矢量都约束在一个不确定集内，通过如下约束条件进行优化

式中δ为常数，代表不确定集的大小。上述优化问题的解可以写为

式中：aj和al代表从不同方向入射信号的导向矢量，并且当aj和al代表的入射方向相距很远时，可认为他们是相互正交的，即或者近似正交，即，所以式(28)等号右边仅存在其余项可以被忽略，式(28)即变为

因此,可以计算出第l个干扰的功率

将式(26)中估计出的干扰信号导向矢量代入式（30），并且将Rs+i近似为最终干扰的功率估计为

在估计出干扰导向矢量和功率后，便可重构出干扰加噪声协方差矩阵

文献[27]中关于期望导向矢量的估计方法也有别于文献[21,22]。根据已知的阵列结构，可以获得协方差矩阵为C的小特征值张成的子空间。显然，真实的期望信号导向矢量是与空间U相互正交的,或者aˉ0+e属于I-UUH张成的子空间。根据这个性质，可以对期望信号导向矢量设置如下约束

上述优化问题可以通过凸优化工具包进行求解，在获得估计后的期望信号导向矢量aˇ0=aˉ0+e⊥后，结合式(32)重构的干扰加噪声协方差矩阵，可获得波束形成的权矢量

2.4 基于残留噪声消除和干扰功率估计的协方差矩阵重构算法

文献[28]提出Capon功率谱的功率分布中有残留噪声存在。假如只有一个信号从角度θi1入射、功率为 σ2，那么协方差矩阵为代入式(7)得

当θ=θi1时，式（35）变为

式(36)表示，在每个谱峰处，其代表的功率值是入射的信号功率和残留的噪声功率之和，并且残留噪声的功率为实际噪声功率的1M。残留噪声的存在还可以从另外一个角度进行证明。假设只有高斯白噪声存在，没有入射信号，那么协方差矩阵变为代入式(7)，可得

式(37)证明残留噪声存在于整个空间内，因此可以推断，在每个信号谱峰处，其功率值都是入射的信号功率和残留噪声功率之和。残留噪声功率可以利用Capon功率谱在非信号区域进行估计

式中：Θn为非信号角度区域；θt是在Θn的采样点；T为采样点个数。根据式(36，37)，可获得实际的噪声功率和噪声协方差矩阵

为了得到准确的期望信号导向矢量，文献[28]在消除残留噪声成分后重构期望信号协方差矩阵，其最大特征值对应的特征矢量可认为是期望信号导向矢量。与之前的重构方法不同

B1代表着前J个大特征值代表的特征矢量，显然0是在B1张成的子空间内，并且与I-B1张成的子空间正交。因此对每一次接收到的数据快拍x(t)，可利用构造投影矩阵来消除期望信号成分

可以发现P为B1子空间的投影补矩阵，所以其不会改变导向矢量的模值大小。故可将PHP近似为，结合式(42,43),可得到

式（46）可以理解为，当获得干扰的导向矢量以及干扰协方差矩阵时，便可以求得干扰的功率。将Ai用 Capon 功率谱所到的谱峰对应的导向矢量代替[27]、Ri用式(44)中的替代，可得

3 仿真实验与结果

为了验证算法的有效性和稳健性，对文献[21,22,28]中的算法进行仿真分析。在实验仿真部分，考虑一个由M=10个全向阵元组成的均匀线阵，阵元之间的间距是d=λ 2，噪声为零均值的加性高斯白噪声。空间中存在两个来自θ1=-30°和θ2=40°干扰信号源，干噪比为30dB，同时期望信号位于θs=-5°。假设存在 -3°的估计误差，即相应的估计的角度分别为：θˉs=-5°，θ1=-33°和 θ2=37°。其中，期望信号的角度范围被认为是 Θs=[θˉs-8°,θˉs+8°]，干扰的角度范围是 Θ1=[θˉ1-8°,θˉ1+8°]，Θ2=[θˉ2-8°,θˉ2+8°]，Θi= Θ1∪ Θ2。期望信号、干扰信号、噪声之间均互不相关。当比较自适应波束形成算法的性能与快拍数之间的关系时，信噪比固定在20dB；当比较平均输出信干噪比与输入信噪比之间的关系时，快拍数固定为20。在给定条件下，所有的实验结果均由100次蒙特卡洛实验平均所得。在仿真实验中，将特征子空间(Eigenspace)算法[15]、最差情况性能最优(Worst-case performance optimization,WPO)算法[19]、基于功率谱采样(Spatial power spectrum sampling,SPSS)的协方差矩阵重构算法[25]作为对比算法。

在文献[15]中，参数ρ设置为ρ=0.9；文献[19]中的不确定集设置为ε=0.3M；文献[25]中 α0=0°并且 δ =arcsin(M/2)。文献[22]中ε设置为 ε=0.1；文献[28]中N被设为N=3。

3.1 方向误差条件下的自适应波束形成算法性能分析

在蒙特卡洛实验中，假设期望信号和干扰信号的波达方向误差服从[-4°,4°]上的均匀分布。图1比较了各个波束形成器的输出信干噪比随输入信噪比变化的曲线，可以看出文献[28]中的算法不管是在低输入信噪比还是在高输入信噪比的情况下，都能取得最高的输出信干噪比。图2则给出了阵列快拍数对波束形成器输出信干噪比的影响，可以看出去快拍数的变化对各个算法的输出信干噪比没有太大的影响，其中文献[22]和文献[28]之间性能差距很小。

3.2 幅相误差条件下的自适应波束形成算法性能分析

在本实验中，假设均匀线阵中的每个阵元的幅度和相位均存在一定的误差，并且分别服从的高斯分布，而且在每次蒙特卡洛实验中对每个快拍来说是恒定不变的。图3中的曲线表示了所提算法与各种对比算法的输出信干噪比与输入信噪比之间的关系曲线，可以看出在低信噪比的条件下，文献[15,19]中的算法比文献[21,22,25,28]的算法获得更高的输出信干噪比；而在高信噪比的条件下，文献[21,22,25,28]算法可以获得更好的性能。图4给出了各个算法的输出信干噪比与快拍数之间的变化曲线，进一步体现了文献[21,22,28]中所提算法的优越性，然而相比于理论上最优的输出信干噪比，仍存在一定的差距。

图1 角度误差情况下输出信干噪比相对于输入信干噪比的变化Fig.1 Output SINR versus the input SNR in case of look direction error

图2 角度误差情况下输出信干噪比相对于快拍数的变化Fig.2 Output SINR versus the number of snapshots in case of look direction error

图3 幅相误差情况下输出信干噪比相对于输入信干噪比的变化Fig.3 Output SINR versus the input SNR in case of amplitude and phase perturbations

图4 幅相误差情况下输出信干噪比相对于快拍数的变化Fig.4 Output SINR versus the number of snapshots in case of amplitude and phase perturbations

4 结束语

本文主要对4种基于协方差矩阵重构的稳健自适应波束形成算法进行综述。前两种基于线性积分和基于体积积分的协方差矩阵重构可认为是同一类算法。基于线性积分的协方差矩阵重构算法首先提出在非期望信号角度区域内利用Capon功率谱积分重构出干扰加噪声协方差矩阵；基于体积分的协方差矩阵重构算法将导向矢量约束在一个空间圆环内，然后在干扰角度区域内利用Capon功率谱积分重构出干扰协方差矩阵，将导向矢量存在的误差推广至更加一般的模型；当约束的空间圆环为零时，基于体积分的协方差矩阵重构和基于线积分的协方差矩阵重构为同一个算法。接着本文介绍了基于干扰导向矢量和功率估计的协方差矩阵重构算法，该算法利用Capon功率谱进行谱峰搜索得到干扰导向矢量，并通过优化来消除误差，然后利用导向矢量的近似正交性质来估计干扰功率，最后重构出干扰协方差矩阵。最后本文介绍了基于残留噪声消除和干扰功率估计的协方差矩阵重构算法，该算法首先证明Capon功率谱中包含有残留噪声，接着分析其数值变化；然后在消除残留噪声的影响后重构期望信号协方差矩阵来获得期望信号导向矢量；最后通过对数据快拍投影获得干扰功率来重构出干扰协方差矩阵。后两种算法可认为是一类算法，它们根据干扰加噪声协方差矩阵的理论形式进行重构，进一步提高了算法的性能。

波束形成作为阵列信号处理领域的一个重要分支，经过了几十年的研究，现如今已经取得了非常显著的成果。近年来稳健性更是成为波束形成中的研究热点，本文介绍的4种基于协方差矩阵重构的自适应波束形算法均能在误差情况下取的较好的性能。尽管如此，依然存在一些问题值得进一步研究:(1)目前大部分的波束算法都是针对均匀线阵下的远场窄带信号。然而在实际应用中，阵列接收宽带近场信号的场景越来越多。针对宽带信号，尤其是针对语音信号，此类算法是能还能适用。(2)本文介绍的4种算法中采用的都是均匀线阵，对于非均匀线阵、圆阵或者是矩形阵，能否将这些算法与阵列的特点相结合，提出更加一般性的稳健自适应波束形成算法。(3)总体来说基于积分重构协方差矩阵的算法均具有较高的计算复杂度，针对大规模天线阵列，很难应用于实际的系统。(4)当期望信号和干扰之间非常靠近时，此类算法是否还能够有效地将干扰抑制并保留期望信号。