对一道四面体体积最值题的探究

安徽省宁国中学 (邮编：242399)

图1

图2

图3

高三数学一轮复习进行得如火如荼，不知不觉已复习到立体几何．在习题课上，一道有关四面体体积的最值题让笔者在评讲时遇到了极为少见的尴尬，课堂一度“冷场”！幸亏有聪明的学生“施救”，“拨开云雾重见天日”，才不至于让真理掩埋在笔者的无知或不负责任之中．课后笔者唏嘘不已，从心底真切感受到教学真得需要研究，否则肯定要误人子弟！

题目(《步步高大一轮复习讲义》配套《课时作业》(理科)第308页第16题[1])如图1，在△ABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体P-BCD的体积的最大值是．

参考答案 设PD=DA=x,在△ABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°，所以AC=

1 课堂实录

1.1 探究1(结论1)

(首先在黑板上展示题目，给时间让学生思考．)

教师：谁来谈谈你是怎么认识这个问题的？

(平时一直是心直口快的聂同学首当其冲，他举手了．)

学生1：我认为这其实是一个折叠问题，相当于把一个顶角∠ABC为120°,底角为30°的等腰三角形的一个底角∠A折起(其中折痕BD过顶点B)，这样形成一个四面体，求这个四面体体积的最大值．

教师：很好，了解了我们要解决的问题是什么，才有研究目标．那到底应该怎样求这个最大值呢？研究方向是什么？

学生2：我觉得应该将问题转化为一个函数问题，求函数的最大值．可是我不知道应该以什么为自变量较好？

教师：那你看看是什么引起了四面体体积的变化？请大家动手剪一个符合条件的等腰三角形纸片，亲自沿不同的位置折叠看看．

(班上同学马上忙碌起来．很快有了结果．还是刚才发言的李同学．)

学生2：我知道了，位置的不同其实就是折痕BD的不同，而点B固定，引起折痕BD变化的是点D,当点D从点A向点C移动时，折痕随之变化，折痕BD的长度应该是先变小后变大，所以我猜所求四面体体积可能是当点D为线段AC中点时最大．

教师：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，一动手就找到了问题的根源．数学上一些重大的发现就是从猜想开始的，同学2的猜想对吗？从理论上能证明吗？到底以什么为自变量较好？

否则，若以折痕BD的长为自变量，也能由正弦定理或余弦定理求其它线段的长或底面面积，则可能要麻烦一点．

教师：分析有道理，四面体底面面积表示出来了，那么高应该如何表示呢？

(此时课堂变得异常安静，个个陷入沉思之中！过了一会儿，还是没人举手，笔者只好直接把答案中的结论告诉学生)

(笔者讲完后，课堂依然没有太多声音，大家都露出疑惑的眼神．笔者也感觉有点不对劲．显然像答案这样简单的“给出”学生不能接受．再次让学生用手中的三角形纸片折叠看看……)

1.2 探究2(结论2)

学生4：显然只有当面PBD⊥面BDC时，高才可能取最大值．通过折叠发现，只有点D为线段AC中点时才有PD⊥面BCD,否则PD和面BCD斜交，当点D过了中点继续移动，显然四面体的底面△BCD的面积变小，但是斜线段PD变长，因此高可能变大，两者之积不一定变小呀？

(学生4的提问可能代表了绝大多数同学的疑惑，笔者课前也没有仔细研究这道题，他的提问也把笔者问蒙了，笔者一时感到很尴尬，思考片刻，终于有了突破．)

(当笔者讲完才感到松了一口气，总算化解了课堂上的尴尬局面，觉得答案给得太简单、模糊，自己的解释才是最到位的．这时课堂才有了一些声音，笔者也准备告一段落，进入下一题．不料班上有名的数学王子何同学举手了，笔者也觉得有点吃惊，难道还有什么问题吗？不会吧？)

1.3 探究3(结论3)

学生5：我觉得线段AD的长x与线面角θ应该有关．如图2所示，因为令∠PDO=θ,则∠BDC=θ,因为它们分别是∠BDP、∠BDA的补角，而∠BDP=∠BDA(看成折叠问题时它们其实为同一个角)．

(他的话让大家十分吃惊，不由自主地为他响起了掌声．他的这个发现极为关键．)

教师：了不起！我还真没有发现这个结论．那同学们再看看它们到底有什么关系？四面体的体积到底该如何求解？

教师：太厉害了！原来线段AD的长x与线面角θ确实有具体的函数关系，然后利用消元思想，将四面体的体积转化为以线面角θ为自变量的函数，运用导数工具解决问题，一气呵成！

(学生6感到很得意，有不少同学向他投去赞许的目光，同时课堂上仍然显得不是很安静，仍有一些讨论的声音，不一会儿又有人举手了)

1.4 探究4(结论4)

教师：真是一波三折，终于大功告成！我们班真是人才济济啊！我和你们在一起，也学到了很多，真是教学相长啊！

(由于意外“插曲”，本节课没有完成预定教学任务，但是笔者觉得很值得．)

2 教学感悟

对于立体几何的学习，笔者觉得既要学好坐标法，也要学好综合法．有些图形不好建系，那只有用综合法；有些图形虽然好建系，但是运算复杂，不如用综合法来得快．因此，我们不能忽视综合法．像本题用坐标法就比较麻烦．对于立体几何的学习，还要重视平面几何知识的学习，因为空间问题通常转化为平面问题来解决．有部分同学就是因为平面几何知识不过关而严重影响了立体几何的学习．对于立体几何的学习，要重视基础，吃透教材上的定理、性质，同时学会应用它们解决问题．教师在教学中要注重提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养．扎扎实实练好基本功，以不变应万变．

解题，需要研究．通过解题研究挖掘题目背后蕴藏的数学观点、数学思想，透过现象认识本质．解题研究既是高中数学教师必备素养与能力，也是教学研究的重要组成部分．解题研究的最终目的是为了学生的学，帮助学生走出题海，提高效率，减轻学生负担．这件事给了笔者很大触动，笔者在想，如果不是课堂上有学生“搭救”，笔者不就误人子弟了吗？看来，当老师不是一件容易的事，更不是一件随意的事，看到答案对的就误以为对的那是不负责任的行为，很容易犯错．要当好老师，确实需要不断学习、研究、思考．上海市七宝中学的文卫星老师讲得很对，“一个人在事业上能走多远，取决于他的学习能力和是否能持之以恒．笔者学习的主要渠道是阅读书报杂志、向同行学习并争取与之切磋交流、与学生交流反思．”笔者觉得自己应该以文老师为榜样，加强学习与研究[2].

叶澜教授曾说：“课堂是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的因素，而不是一切都必须遵循固定路线而没有激情行程”[3].陶哲轩在《解题·成长·快乐》序言中引用古希腊哲学家普罗克洛斯的话：“这，就是数学：她提醒你灵魂有不可见的形态；她赋予自己的发现以生命；她唤醒悟性,澄清思维；她照亮了我们内心的思想；她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知……”[4].笔者以此与各位同仁共勉！在数学中让我们永远带着探寻的目光审视眼前的一切，一定会有惊喜出现！