让学生的数学核心素养“落地生根”——以两道数学试题的解题教学为例

江苏师范大学附属实验学校 (邮编：221011)

数学学科核心素养的内涵包括数学核心知识、核心能力、核心品质，主要由数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等六个方面组成，它们既有独立性，又相互交融，形成一个有机整体[1]．数学核心素养基于数学知识技能，但高于具体的数学知识技能[2]．笔者认为在数学解题教学的过程中，不仅要帮助学生解疑释难，揭示数学本质，更要促使学生的数学核心素养快速地“落地生根”，保证学生的终身可持续发展．本文尝试结合两道试题的教学片段谈谈如何在数学解题教学中培养学生的数学核心素养，不妥之处，敬请赐教．

1 试题呈现

图1

试题1一走廊拐角处的横截面如图1所示，已知内壁FG和外壁BC都是半径为1 m的四分之一圆弧，AB、DC分别与圆弧BC相切于点B、C两点，EF∥AB,GH∥CD,且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1 m．

(1)若水平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在外壁CD和AB上，且木棒与内壁圆弧相切于点P，设∠CMN=θ(rad),试用θ表示木棒MN的长度f(θ)；

(2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．

1.1 标准答案

图2

解(1)如图2，设圆弧FG所在的圆的圆心为点Q，过Q点作CD垂线，垂足为点T，且交MN或其延长线于点S，连接PQ，再过N点作TQ的垂线，垂足为点W．

因为NM与圆弧FG切于点P，所以PQ⊥NM,在Rt△SPQ中，

因为PQ=1,∠PQS=θ,

①若点S在线段TG上，则TS=QT-QS,

2 解题困惑

此题是我校高三年级近期数学质量检测的第17题，它是由苏教版高中《数学4》(必修)第51页“探究与拓展第19题”改编而来．本题背景熟悉、方法常规、区分度较好，主要考查学生运用三角函数知识建立数学模型，运用导数法、换元法等解决数学模型；着重考查学生的数据分析、运算求解、逻辑推理等能力．据考试结果反馈知，本题的难度系数约为0.17，这大大出乎广大教师的意料，因为数学实际应用题是江苏省高考数学的一大“特色菜”，每年必考，从学生进入高中以来，教师就耳提面命地讲解处理实际应用题的步骤与方法．为了弄清学生的错因，笔者与学生进行了详细的交流，了解他们解答此题的情况，统计、归纳出学生的解题困惑主要有以下四点：

困惑一:虽然背景熟悉，但由于θ与木棒NM的长度f(θ)“距离”较远，不好建立f(θ)的函数模型；

困惑二:读懂题意，并建立f(θ)的函数模型，但由于缺少分类讨论的“意识”，漏掉对第②种情况的讨论；

困惑三:建立了f(θ)的函数模型，在求f(θ)的最小值时，若运用求导法，则运算量较大，容易导致运算出错，还有没有更好的运算方法？

困惑四:该题的结论是求木棒长度的“最大值”，但函数f(θ)只有最小值，无最大值，这是为什么？难道题目出错了？

3 培养学生的数学核心素养

从学生的解题困惑可以看出，建立数学模型是解决实际应用题至关重要的一个环节，数学建模需要学生具备把一个非数学问题向数学问题连续的转化能力，有些学生由于数学抽象、数学建模能力薄弱，无法完成最终的转化；其次，学生对构建的数学模型找不准好的运算方向，或者运算能力不扎实，导致功亏一篑；最后，学生对建模结果的实际意义理解模糊，是因为缺乏一定的直观想象、合情推理等能力．简而言之，学生的困惑是由学生数学核心素养的“缺失”造成的．为此，笔者认为教师应在帮助学生解答困惑的基础上，对症下药，提升学生相应的数学核心素养．

3.1 科学抽象概括，培养学生的“数学建模”素养

数学建模是针对或参照某种事物系统的特征或数量依存关系，采用数学语言，概括地或近似地表述出的一种数学结构．数学建模是一个数学抽象——数学概括的过程，是一个从原型到模型再到原型的认识过程[3]．本题的数学模型是从图形与图形，数量与数量的关系中抽象出两个变量θ与f(θ)的一般规律与内在联系，并用数学符号或数学术语给予表征．

教学片段1(解答困惑一与困惑二)

教师：请大家用数学术语表达“木棒与内壁圆弧相切于点P”．

学生：直线MN与圆弧FG切于点P．

教师：由第⑴问的结论可知，θ是自变量，f(θ)是函数值；那自变量θ的范围是什么？

教师：要求出木棒MN的长度f(θ)的解析式，就必须把木棒长度MN与角θ放在某个三角形内，有没有这样的三角形呢？若没有，怎么办？

学生：图形中没有这样的三角形，通过作辅助线构造这样的三角形．

教师：教育家刘佛年指出,“只要在学习中，有一点新意思、新思想、新观念、新设计、新意图、新做法、新方法，就可称得上创造，我们要把创造的范围看得广一些，不要看得太神秘．”因此，添加辅助线就能体现出大家的一种创新能力．大家如何添加辅助线呢？

图3

学生：设圆弧FG所在的圆的圆心为Q，过点Q作CD垂线，垂足为点T，交线段NM于点S，并连接PQ，再设直线NZ交直线GQ于点W．

学生：因为线段NM在运动时与圆弧FG相切的，所以点S也可能在线段NM的延长线上，MN=NS-MS，通过分析可知，建立的数学模型不变(以下过程略)．

3.2 甄别算理算法，培养学生的“数学运算”素养

数学运算是指在明析运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象、掌握运算法则、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等[4]．我们认为数学运算包括算法和算理．算法指运算的方法；算理指运算的道理．好的算理与算法都能规避繁琐的计算.

教学片段2(解答困惑三)

教师：建模成功后，大家最先想到运用什么方法求函数f(θ)的最值？

学生：运用导数法．解题过程如下：

因为f′(θ)=

当这位学生在大家的帮助下得出正确的解答后，教师及时引导学生反思解题出错的缘由．有的学生把余弦函数求导公式记错；有的学生把商的求导法则记错，误以为商的导数等于导数的商；有的学生在正确运用商的求导法则后，没有把商的导数写成几个因式乘积形式，在令f′(θ)=0时，无法求出导函数的零点，即原函数的极值点；还有少数学生盲目地对导函数进行二次求导等；甚至有的学生被“咄咄逼人”的繁琐运算吓倒，不敢越雷池一步．这些都是由于学生基础知识不扎实、运算功底不深厚、运算方向不准确、运算品质不优良所造成的(学生频频点头表示认可)．

教师接着追问：除了求导法，有没有更好的方法求函数的最小值？教师的话音刚落，有位思维敏捷的学生给出了如标准答案中的换元法．通过比较，大家一致认为换元法比求导法更好，求导法容易想到，但运算量较大；换元法别有一番风味，但大家往往不易“想到”．本题求最值的两种方法孰优孰劣，不言自明．

3.3 运用合情推理，培养学生的“逻辑推理”素养

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推理出一个命题的思维过程[4]．主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．

教学片段3(解答困惑四)

教师：大家对第二问的结论有什么疑问吗？

教师：按照你的理解是——把第(2)问改为“木棒水平通过走廊拐角时求木棒长度的最小值”？那最小值是多少？

学生：那最小值是0 m？若最小值为0 m，那一定能“安全”通过！学生戏言道．

教师：若大家还没有理解，可以举些特例加以解释，若木棒长度为1 m，能不能安全通过？为什么？

教师：能不能从实际意义的角度加以阐述？

学生：因为木棒MN与内壁圆弧GH相切且能通过走廊拐角时，“每个瞬间”木棒的长度MN都大于1 m，所以能通过．

教师：若木棒长度为4 m，能不能安全通过？

至此，大家都恍然大悟，收获成功的喜悦溢于言表．合情推理是一种具有创造性的推理．它不但能帮助人们发现问题、提出问题，还可以帮助人们理解问题、解决问题．由于受思维定势的影响，人们往往“钟情于”严谨的演绎推理，却把灵动的合情推理丢在“遗忘的角落”，这对于合情推理是多么不公平啊！听了教师的一席话，大家忍俊不禁，收获颇多．学生在寓教于乐、寓学于乐的学习氛围中内化知识，完善结构．

3.4 变式训练，检验学生的数学核心素养

通过试题1的教学，学生的所有困惑云飞烟灭，心旷神怡，但意犹未尽．史宁中教授指出：“数学抽象、逻辑推理、数学模型是高中阶段的数学核心素养中最重要的三个要素．”因此，为了顺应学生思维发展的需求，强化数学核心素养中最重要的三个要素，笔者又为学生提供如下的变式训练，旨在检验学生的数学核心素养是否真地“落地生根”．

图4

(1)记游泳池及其附属设施的占地面积为f(θ),求f(θ)的表达式；

(2)求符合园林局要求的θ的余弦值．

试题2刚呈现，就有学生回答，此题与试题1相比较，

容易多了，解答如下：

第二步：数学模型运算，检验学生的“数学运算”素养

因为f′(θ)=R2(2cos2θ-2sin2θ-cosθ)=R2(4cos2θ-cosθ-2),令f′(θ)=0,解之得

第三步：运用合情推理，检验学生的“逻辑推理”素养

正当大家以为大功告成时，有位细心的女生突然提出质疑：园林局要求绿化面积的最小值，而按照上述的解答思路，求出的是绿化面积的最大值，这是怎么回事？一石激起千层浪，原本平静的课堂，瞬间人声鼎沸，大家议论纷纷，仁者见仁，智者见智．有的说既然运算没有问题，那就是题设出错了；有的说可能在判断极值时出错……经过取特殊角加以验证，最后大家确认题设正确，是我们的逻辑推理出现了错误．理由如下表：

θ(0,θ0)θ0(θ0,π3)cosθ(1+338,1)1+338(12,1+338)f′(θ)+0—f(θ)递增极大值递减

4 结束语

数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的[1]．因此，数学教师要以学生的学习新知为契机，以学生的应用知识为抓手，以学生的探究研究为手段，全面培养学生的数学核心素养，促使学生的数学核心素养“落地生根”．