基本不等式的应用问题例谈

叶 珊

(福建省福安市第一中学 355000)

一、求解最值问题

作为函数最值求解的一大重要工具，基本不等式在利用时要注意相应的条件“一正、二定、三相等”.特别在配凑应用时，要注意条件成立的条件，否则容易出现错误.

点评利用基本不等式求解代数式的最值问题中，运用时往往需对代数式进行适当地变形(常用的变形技巧是：配方、拆添项、配凑因子和平方等)，创造应用基本不等式的条件，要注意应用条件“一正、二定、三相等”．

二、求解参数值问题

在解决一些参数值的求解问题时，经常借助基本不等式来处理，破解的关键是先通过猜测确定参数值，结合基本不等式的应用，利用基本不等式的等号成立时的条件来求解相应的参数值问题．

点评应用基本不等式解决一些问题时，往往要考虑等号成立时所满足的条件，此时也为求解相应的参数值提供条件．特别碰到一些已知相关的方程问题来破解对应参数值问题时，要注意结合关系式的展开，利用基本不等式的应用，再结合相关的不等式、方程等来确定相应的参数值问题．

三、处理恒等式问题

在处理相关的恒等式问题时，关键是进行合理分离参数，把相关原参数的取值范围问题化归为相应函数的最值问题，再利用基本不等式来处理与解决.特别注意：a>f(x)恒成立⟺a>[f(x)]max，a

例3若函数f(x)=32x-(k+1)3x+2，当x∈R时，f(x)>0恒成立，则k的取值范围是( ).

点评将不等式恒成立问题进行合理转化与化归，得以转化为参数恒成立问题，再利用关系式的变形与配凑，借助函数的基本性质与基本不等式来解决相关的函数问题，从而得以确定参数的取值范围.注意在此过程中，经常采用参数分离法来转化.

四、确定取值范围问题

利用基本不等式确定相应代数式的取值范围问题，关键是巧妙借助基本不等式的变式加以应用，从不同的角度确定相应代数式的最大值与最小值即可．

例4(2018届江苏省扬州中学高三第四次模拟·14)已知x，y均为非负实数，且x+y≤1，则4x2+4y2+(1-x-y)2的取值范围为____．

点评根据基本不等式的有效转化，通过不等式的确定2(x+y)2≤4(x2+y2)≤4(x+y)2，结合参数的引入，分别利用代数式的变换以及二次函数的配方，并结合二次函数的图象与性质来确定相应的最大值与最小值，利用两边夹定理加以综合，从而得以简单快捷破解．

五、证明不等式问题

作为基本不等式的一大应用，也经常用来证明一些相关的不等式问题.与综合法相结合，借助所证明不等式的结构特征，利用基本不等式来转化与处理．

点评利用基本不等式来证明对应的不等式时，要注意基本不等式的结构特征，与所要证明的不等式加以合理比较，进行合理的化归与转化.证明时的关键就是对相应的不等式进行必要的变形与转化，再结合基本不等式加以应用.

六、解决实际应用问题

在解决实际问题中，基本不等式也是用来解决最优化问题的一大工具.实际应用时，要注意基本不等式的条件与实际问题之间的联系与区别.

例6(2017·江苏·10)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是____．

点评本题考查实际应用问题，基本不等式，考查应用意识，运算求解能力．此类问题与求解最值问题差不多，只是要根据实际生活问题，往往对参数的取值有一定的限制，如取整点值、取正数值等，要与实际问题相吻合．