空间分数阶偏微分方程的数值稳定性与收敛性

刘子婷

（广东工业大学应用数学学院，广东广州510520）

近年来，分数阶偏微分方程在物理学、动力工程以及机械工程等领域[1-3]得到了广泛的应用，尤其是空间分数阶偏微分方程常被用来模拟超扩散，即粒子的扩散速度比经典布朗运动模型预测的要快。很多学者都致力于空间分数阶偏微分方程的求解问题，其中，Liao等[4]使用二阶分数中心差分公式逼近Riesz空间导数，为了提高计算的效率，还提出了求解二维空间分数阶扩散问题的交替方向隐式格式，并在数值实验中验证了算法的有效性。Macías-Díaz等[5]研究了一类具有空间分数阶导数的非线性双曲型偏微分方程，提出了一种基于分数中心差分的有限差分方法，得到一种具有各种数值性质的非线性隐式格式，并证明了该方法的稳定性和收敛性。Zhou等[6]研究了Riesz空间分数阶抛物型正弦Gordon方程，建立了该方程的Crank-Nicolson有限差分格式，讨论了解的存在性、唯一性、稳定性和收敛性，并通过数值实验验证了理论结果的正确性。Xing等[7]给出了带Riesz空间分数阶导数的sine-Gordon方程的差分格式，其中使用改进的牛顿法来实现差分格式，从而降低计算的复杂性。Bhrawy等[8]建立了一种求解多维Schrödinger的高阶数值格式，并提出了一种运算方法，特点是研究空间和时间离散化的时空谱近似。马亮亮等[9]提出了非线性变阶空间-时间分数阶对流-扩散方程的全隐式有限差分格式，然后通过能量方法证明了该差分格式的稳定性和收敛性，最后数值实验表明使用该格式求解方程是可行的。杨水平等[10]对含有非线性时滞项的Riesz分数阶扩散微分方程进行了隐式差分格式离散，不仅证明了该格式的稳定性和收敛性，还利用外推法提高了收敛阶。大部分学者都倾向于使用传统的标准有限差分法以及有限元法构造数值格式，但有时使用传统的标准有限差分法可能会导致数值结果失去有界性以及稳定性，而有限元法的相关理论不成熟，庞大的计算量和存储量是使用有限元法的困难之一。Mickens[11-12]在1989年提出了一种新的微分方程数值求解方法：非标准有限差分法，这种方法既可以弥补传统的标准有限差分法的缺陷，又可以保持解的有界性、单调性以及正性等。Agarwal等[13]介绍了求解分数阶扩散方程的一种新的数值方法，这种方法是基于非标准差分法和切比雪夫配置法，最后通过数值算例说明了该方法的适用性、可靠性和有效性。

本文将利用非标准有限差分法来求解空间分数阶偏微分方程，并证明差分格式的稳定性以及收敛性。

1 非标准有限差分格式的构造

2 差分格式的稳定性和收敛性

2.1 差分格式的稳定性

2.2 差分格式的收敛性

3 数值算例

（1）令Ø1（Δt）=Δt，Ø2（h）=h。图1、2表示的是当0＜t≤10时，问题（21）～（23）的解析解和数值解。从图中可以看出随着时间的增大，数值解在逐渐减小并趋于稳定。表1展示的是当T=1时，在α=1.2，α=1.5以及α=1.8的三种情况下，得到的最大绝对误差以及误差率的数据。分析数据可以得到，α∈（1，2）取值越大，由差分格式（9）～（11）得到的数值解与解析解之间的误差就越小，数值解也趋于稳定和收敛，其收敛阶为 O（Δt+h）。

图1 问题（21）～（23）的解析解

图2 问题（21）～（23）的数值解

表1 问题（21）～（23）的最大绝对误差值以及误差率（Ø1（Δt）=Δt，Ø2（h）=h，T=1）

（2）使用空间步长函数sinh h=h替换空间步长h，则Ø1（Δt）=Δt，Ø2（h）=sinh h。比较表2和表1的数据可以看出改变空间上的分母函数可以降低误差。

表2 问题（21）～（23）的最大绝对误差值以及误差率（Ø1（Δt）=Δt，Ø2（h）=sinh h，T=1）

（3）在上述（2）的基础上使用时间步长函数sinh（Δt）=Δt替换时间步长Δt，则Ø1（Δt）=sinh（Δt），Ø2（h）=sinh h。比较表3和表2的数据可以看出，改变时间上的分母函数可以继续降低误差。

表3 问题（21）～（23）的最大绝对误差值以及误差率（Ø1（Δt）=sinh（Δt），Ø2（h）=sinh h，T=1）

4 结论

本文利用时间步长函数Ø1（Δt）和Ø2（h）空间步长函数分别去代替分母Δt和h，构造了空间分数阶偏微分方程的非标准有限差分格式，证明了差分格式的收敛性和稳定性。数值算例表明，使用非标准有限差分法构造数值格式是非常灵活的，且可以降低误差，进而说明了该方法有效且可行。