数学建模的思想方法在中学数学学习过程中的渗透

余吉东　王中群

【摘 要】基于对中学生数学学习情况的分析，应用较为典型的数学案例，并在学习者学习的过程中渗透进数学建模的思想方法予以探究，从而提高学习者应用数学知识解决实际问题的能力和数学思维能力。

【关键词】数学建模;数学模型;数学建模思想方法;渗透

中图分类号： G633.6文献标识码： A文章编号： 2095-2457（2019）33-0103-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.33.051

The Penetration of Mathematical Modeling Thought in Middle School Mathematics Learning Process

YU Ji-Dong WANG Zhong-qun

（School of Mathematics and Statistics， Qiannan Normal University for Nationalities，Duyun Guizhou 558000，China）

【Abstract】Based on the analysis of the mathematics learning situation of middle school students， this paper applies the typical mathematical cases， and penetrated into the ideological and method of mathematical modeling in the course of the learners learning， and explores them so as to improve the ability of applying mathematics knowledge to solve practical problems and the ability of mathematical thinking.

【Key words】Mathematical modeling; Mathematical models; Mathematical modeling ideas and methods; Penetration

1 中学数学学习过程中渗透数学建模思想方法的意义

1.1 有利于提升学习者的整体处理和创造能力

数学建模立足于实际问题，要让学习者学会知识的综合利用。解答数学问题本身就是一个在不断创新促使解答完成的过程，所以在这种背景下，利用数学建模能够构建出一个活动性、创造性比较良好的空间。

1.2 有利于对学习者进行正确评价

数学建模在构建过程中，对学习者的数学成绩并没有硬性规定。由此可以看出，数学建模的應用，能够对学习者的真实学习水平进行准确反馈[1]。

2 中学数学学习渗透数学建模思想的案例分析

2.1 构建方程（组）模型

例1：一家汽车销售公司8月份销售某厂家的汽车。在一定的范围内，每1部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则这部汽车的进价为27万元;每多销售1部，所有销售出去的汽车的进价都降低0.1万元∕部。月底厂家根据销售量一次性返利销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部汽车返利0.5万元;销售量在10部以上，每部汽车返利1万元。

（1）若汽车销售公司一个月销售3部，则每部汽车的进价为多少万元？

（2）如果汽车的进价28万元∕部，汽车销售公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？

建模过程如下：

2.1.1 实际问题转化为数学问题

问题1：每部汽车的进价为：27-0.1×2=26.8（万元）

问题2：盈利=销售利润+返利

设需要售出x部汽车

由题意可知：每部汽车销售利润为

28-[27-0.1×（x-1）]=（0.1x+0.9）（万元）

2.1.2 对数学模型进行求解

问题2：28-[27-0.1×（x-1）]=（0.1x+0.9）（万元）

当0≤x≤10当x>10

方程为：x×（0.1x+0.9）+0.5x-12

方程为：x×（0.1x+0.9）+x=12

化简方程得x2+14x-120=0

化简方程得x2+19x-120=0

所以x1=-20（舍去），x2=6

所以x1=-24（舍去），x2=5（5<10）舍去

2.1.3 回归实际问题

问题1：若汽车销售公司一个月销售3部，则每部汽车的进价为26.8万元;

问题2：如果汽车的进价28万元∕部，汽车销售公司计划当月盈利12万元，那么需要售出6部汽车。

方程（组）模型是研究数量关系与变化规律的数学模型，可以帮助人们更准确的描述实际问题。

2.2 构建函数模型

例2：一个农民育肥了一头100kg的猪，在上一周的观测表明这头猪每天增重约2kg，并且知道五天前生猪的售价为7.8元/kg，现在猪的售价下降为7.5元/kg了。如果继续饲养下去，每天的饲养的费用需要7.1元。还知道这头猪前期育肥的投入大约500元。这位农民计划在最近把这头猪售出。问什么时间出售这头猪的收益最高。

这个题不难转化为数学问题。但是，由于我们对于今后猪的生长状况，销售状况知之不多，因此需要通过假设把他它们明确下来。

建模过程如下：

2.2.1 模型假设

（1）出售前，猪每天的日增重是相同的。

（2）生猪的售价近期可能会继续下跌，但是价格将以每天相同的数量减少。

（3）生猪饲养的花费每天不变。

（4）猪在饲养和出售期间不再有其他的花费。

2.2.2 建模

首先将有关的变量和参量用数学符号表示出来：

猪饲养时间 t（d），t天时猪的重量w（t）（kg）， 售价p（t） 元，t天时售猪所获得的总收益R（t）（元/kg）， 饲养的总花费C（t）（元），最终获得的净收益P（t）（元）。这些都是随着时间t改变的变量。

另外，根据题目和假设可以知道：猪的现价p0（元/kg），售价日减少量r（元），猪的初重w0（kg），猪的日增重量g（kg）， 前期投入k0（元），每天饲料的花费k（元/d）。这些都是与问题有关的参数。

2.2.3 建立模型

继续饲养期间生猪的重量w（t）=w0+gt

继续饲养期间生猪的单价p（t）=p0+rt

继续饲养期间生猪的总花费C（t）=k0+kt

继续饲养t天售猪的总收益R（t）=p（t）w（t）

继续饲养t天农民售猪得到的净收益的模型为

2.2.4 参数估计

根据假设可以给出模型中有关参数的估计w0=100kg，g=2kg，p0=7.5元，r= =0.06（元/d），k=7.1元/d，k0=500元。于是我们的模型将可以具体地写为

P（t）=R（t）-C（t）=（7.5-0.06t）（100+2t）-（500+7.1t）

P（t）=250+1.9t-0.12t2

2.2.5 问题的结论

我们的问题是要确定使得收益最高的售猪时间。因此问题就转化为上面的模型中求时间t，使得模型中的净收益P（t）达到最大。

令p'（t）=0，则有1.9-1×0.12t=0，解得t=7.9，

P（7.9）=250+1.9×7.9-0.12×7.92=257.52

2.2.6 回归实际问题

还需要饲养大约（7.9≈）8d，然后出售，这时获得的净收益最高，为257.52元。

通过建立函数模型以及运用模型解决问题，进一步体现函数与方程的关系，体会函数的广泛应用和应用方法。在现实问题中有诸多的体现如销售问题、水电费问题等。

2.3 构建三角与几何模型

诸如台风、航海、皮带传动，等传统的应用问题，常需要建立相应的几何模型，转化为几何或三角函数问题求解。

例3：如下图1，李明从家门口A点出发到公园，上午9点在A点出发往北偏东∠2=30°的B处走，AB=30米。下午2点在A点出发往北偏西∠1=60°的C处走，AC=10米。李明行驶是保持直线匀速行走。

图1

图2

（1）求李明行驶的速度？

（2）李明走了一段时间后，到达D处，问此时距离李明出发点A处有多远？

建模过程如下：

（1）问题重述：这是一道应用题，画出示意图帮助分析，观察思考图中各个角度的大小，求解问题1求李明行驶的速度？问题2又经过一段时间后，李明到达A处的正西方向的D处，问此时李明距离出发点A处有多远？

（2）问题分析：由题意可知，建立直角坐标系，设A点为坐标原点，画出示意图2，帮助分析，观察思考图中各个角度的大小，可以得出ΔABC是直角三角形，李明是沿南偏西方向行走，根据勾股定理，求出BC的长度就可以得到行驶的速度，通过解ΔACD就可以求得AD。

（3）模型假设：假设此题就是图2所示的几何问题;运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决。

（4）模型的建立与求解：

问题1：解在中ΔABC，∵∠CAB=30°+60°=90°

问题2：解∵∠DAC=90°-60°=30°，

根据题意，画出相应的数学模型图，观察模型图，可知ΔABC是直角三角形，运用正弦定理、余弦定理等知识和方法求得AD。

从以上数学案例可以看出，教学模型的建立过程，就是简化复杂的思考过程，合理化解决抽象的数学问题[2]。因此，学习者要学会调查数学问题，收集相关资料，观察问题表象，深入研究问题对象的内在特征和规律，弄清楚解决问题的关键，从而建构起反映数学问题的数量关系，再利用相应的数学思想与方法去解决问题[3]。

3 结论

数学建模思想方法在中学数学学习过程中的渗透是锻炼和提升学习者的各方面能力的，在分析、作图、以及数学符号表达等方面，都会在实践中不断强化。数学建模思想方法的渗透不仅能够极大地吸引学习的注意力，而且能够打开更广阔的数学思维，从而达到学习数学，会用数学的效果。

【参考文献】

[1]于梅英.中学数学教学中渗透数学建模思想的几点尝试[J].数学通讯.2009.02

[2]范振成.数学建模思想方法应用[J].闽江学院学报，2010（5）：25-27.

[3]杨爱华.借助情景“事理”理解“数理”——基于“應用题”与“解决问题”继承与发展关系的教学探究[J].教育导刊， 2012（2）：82-86.

[4]周学耘.高职数学建模教学探究[J].科教文汇（上旬刊）， 2012（10）：99-101.