谈谈高中数学教学的四个关键词: 夯实基础、激发兴趣、着眼高考、适当提高

【摘 要】 笔者曾在文献中提出高中数学教学永远要做好的四个关键词：夯实基础;激发兴趣;着眼高考;适当提高.但均未作详细阐述，本文续之.重点阐述“适当提高”.

【关键词】 高中数学教与学;关键词;夯实基础;激发兴趣;着眼高考;适当提高

笔者曾在文献[1]，[2]，[3]（后者曾被《高中数学教与学》2016（10）全文转载）的文末均写到高中数学教学永远要做好的四个关键词：夯实基础、激发兴趣、着眼高考、适当提高.

但均未作详细阐述，本文续之.

1 夯实基础

因为每份数学试卷（包括随堂测、周测、月考、期中考试、期末考试、分班考试、高考等等）中的基础题（包括简单题和中档题）往往要占80%以上，难题（即拔高题）往往控制在20%以下，所以高中数学的教与学（包括老师的教与学生的学）应做到的第一个关键词是“夯实基础”.

夯实基础，是后续学习新知识的前提.在考试中也可以先拿到试卷的绝大部分分数，同时还为解答试卷中的难题赢得了宝贵的时间，比如层层设问的解答题.

题1 （2016年高考全国卷Ⅰ文科第21题）已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2.

（1）讨论f（x）的单调性;

（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.

分析 （1）可得f′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a）.

令f′（x）=0，得x=ln（-2a）或1.

因为当且仅当a<0时ln（-2a）才有意义，所以须分a<0和a≥0两类情形来讨论.当a<0时，ln（-2a）才有意义，接下来还须分ln（-2a）>1，ln（-2a）=1，ln（-2a）<1（即a<-e2，a=-e2，-e2>

（2）为了得到函数f（x）的零点个数，就需要知道其图象的形状，还需要知道函数f（x）的单调区间，从而由第（1）问的分类讨论标准可确立第（2）问的分类讨论标准：分a<-e2，a=-e2，-e2>0这五种情形讨论（因为后两种情形f（x）的单调区间不同，所以这两种情况须分开讨论）.

解略.

注 考生若正确完成了第（1）问（夯实基础），则第（2）问的解答也会顺理成章.

2 激发兴趣

高中数学的教与学对于师生均不是难受的事，反而是很快乐的.弄清了一个概念、会证明甚至会运用一个定理、对一道基础题达到了融会贯通的地步（见下面的题2）;一道稍难的题目，通过自己冥思苦想（包括与同学交流、讨论，甚至是请教先生，求助网络），最终顿悟出了其解法（见下面的题3）;这道不太难的题目，自己想到了一种奇妙的解法（可能周围的同学都很难想到）（见下面的题4）;这道题目，周围同学（甚至包括我的老师）的解法可能都是那种流行的错误解法，而我抓住了本质，获得了正确解法（见下面的题5）;这道很有挑战性的题目，我想了一个多月还没有任何进展，但我一直会思考下去（因为一个人应当至少有一件一生都做不完但一生都在认真做的事）;……这些都激发了我学习数学的强烈兴趣，我真正体会到了“兴趣是最好的老师”.学习数学，本应该不是枯燥乃至备受煎熬的事：今天要是没有数学课该多好，今天要是没有数学作业该多好，明天就高考该多好（好像我们全班同学都不会，所以我不会也没关系呀）.这些想法都不对，数学是一切科学的基础，必须学好！通过自己的勤奋努力和老师的帮助，也一定能把数学学好.等到高考时，我们班的同学都能考出理想的分数，并且同学与同学、与老师、与学校之间难舍难分，还有这样的想法：如果高考能向后推迟一段时间（哪怕是一两天，或一两个小时），我们全班同学一定都会考得更好！所以说，高中数学的教与学的第二个关键词是——“激发兴趣”.

题2 （2009年高考辽宁卷理科数学第8题）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图1所示，f（π2）=-23，则f（0）=（）.

A.-23 B.23 C.-12 D.12

流行解法 由函数f（x）的图象可知其最小正周期为2π3，于是f（0）=f（2π3）.又注意到点（2π3，f（2π3））与点（π2，f（π2））关于点（7π12，f（7π12））对称，所以f（2π3）=-f（π2）=23.

对题2及其流行解法的分析 流行解法很简洁，但考生在考场上难以用对称作答.实际上，该题的自然解法是函数f（x）=Acos（ωx+φ）图象的“五点法”.

解法1 可得T=2（11π12-7π12）=2π3=2πω，ω=3.

由“五点法”知，3·7π12+φ=2kπ+3π2（k∈Z），φ=2kπ-π4（k∈Z），f（x）=Acos（3x-π4）.

再由f（π2）=-23，可得A=223.所以f（x）=223cos（3x-π4），f（0）=23.

解法2 也可设f（x）=Asin（ω′x+φ′），由“五点法”可求得f（x）=223sin（3x+π4），所以f（0）=23.

题3 若x2ex-2lnx-kx≥1恒成立，则实数k的取值范围是

.

解 设f（x）=x2ex-2lnx-x，可得f′（x）=x（x+2）（ex-1x2）（x>0）.因为f′（x）是增函数且连续，f′（12）=12·52（e-4）<0，f′（1）=1·3（e-1）>0，所以f′（x）有唯一的零點（设为x0），进而可得f′（x0）=0，即ex0=1x20.所以f（x）min=f（x0）=x20ex0+ln1x20-x0=1+lnex0-x0=1.进而可得：当k≤1时满足题设;当k>1时不满足题设，因为x=x0>0，x20ex0-2lnx0-kx0

综上所述，可得所求答案是（-∞，1].

注 老师应当如何给学生讲解这道题呢？这就需要知道这道题的编拟过程.可以设想，编题者的初始想法是：寻找正常数k0，使得函数g（x）=x2ex-2lnx-k0x满足g（x）min=1.这样，由“先充分后必要”的方法便可得出所求实数的取值范围是（-∞，k0].可得g′（x）=x（x+2）ex-k0x+2x（x>0）.欲求g（x）min，须解方程g′（x）=0，而这不可能完成.但我们可设想g′（x）能提出公因式，自然会想到令k0=1，进而可得，当k0=1时，g′（x）=x（x+2）（ex-1x2）（x>0），……从而可得上述解法.

还可得出该题的一般情形：

（1）函数f（x）=x2ex-2klnx-kx（k是已知的正常数）的最小值是k（1-lnk）;

（2）函数f（x）=x2ex-2klnx-mx≥k（k是已知的正常数）恒成立，则实数m的取值范围是（-∞，k].

题4 （2009年高考湖北卷理科第19（2）题）已知数列{an}的前n项和Sn=-an-12n-1+2（n为正整数），令cn=n+1nan，Tn=c1+c2+…+cn，试比较Tn与5n2n+1的大小，并予以证明.

参考答案 先求出an，再求出cn，用错位相减法求出Tn，……

对题4参考答案的分析 这道高考题及其解答均常规自然，老师能否再来点“岁岁年年解不同”呢？

可得an=n2n，Tn=2×12+3×122+4×123+…+（n+1）12n，所以T1=1<5×12×1+1，T2=74><5×22×2+1，T3=94>5×32×3+1.

当n≥4时，Tn≥2×12+3×122+4×123+5×124=4116>4016=52>5n2n+1.

所以当n=1，2时，Tn<5n2n+1;

当n≥3时，Tn>5n2n+1.

我们再来分析产生这种简解的原因：Tn=3-n+32n，limn→SymboleB@Tn=limn→SymboleB@（3-n+32n）=3>52=limn→SymboleB@5n2n+1，说明当n→SymboleB@时，Tn→3，所以取Tn=2×12+3×122+4×123+…+（n+1）12n中的前若干项的和就可大于52，因而出现了上面的简洁证法.

所以，可将此问作如下改动：试比较Tn与6n2n+1的大小，并予以证明.

参考答案 因为Tn=3-n+32n，6n2n+1=3-32n+1，所以只需比较n+32n与32n+1的大小.

当n=1，2，3，4时，可得n+32n>32n+1;

下证当n≥5时，n+32n<32n+1，即证2n2+7n+3<3×2n，这用数学归纳法极易获证，下面用二项式定理来证：

2n=（1+1）n≥C0n+C1n+C2n+Cn-2n+Cn-1n+Cnn=21+n+n（n-1）2=n2+n+2.

所以只需证明2n2+7n+3<3（n2+n+2），即（n-1）（n-3）>0，这由n≥5立得.

所以当n=1，2，3，4时，Tn<6n2n+1;

当n≥5时，Tn>6n2n+1.

（因为limn→SymboleB@Tn=limn→SymboleB@（3-n+32n）=3=limn→SymboleB@6n2n+1，所以不会出现取Tn=2×12+3×122+4×123+…+（n+1）12n中的前若干项的和就可大于3，又由3>6n2n+1获得上面的简证的情形.）

题5 甲同学看到自己带的电子表现在显示的时间是7∶31，隔了一会儿（不会超过2h），电子表显示的时间是7∶32，则这段时间间隔（）（单位：min）.

A.是1 B.是2

C.在区间（0，1）上D.在区间（0，2）上

这是我班一位同学（即将读大学一年级）学习普通高中课程标准实验教科书《数学5·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第3版）第80-83页“3.1 不等关系与不等式”后，自己编拟的一道题，源于生活，却很少有人会（能）提炼出这样的数学题.

粗看，会选A;再一看，可能会选B或C，深入思考后，才能得出正确答案是D.

设两次的时刻分别是t1，t2，由题设可得7∶31≤t1<7∶32，7∶32≤t2<7∶33，所以7∶32≤t2<7∶33，-7∶32<-t1≤-7∶31，把它们相加，得0

3 着眼高考

高中数学的教与学，包括高考复习备考，是有章可循的，应当按规律办事，做到实事求是，不可盲目拔高，绝不能一味的上难题.

一般来说，应当先把基础题、简单题做会了，再做中档题和难题、综合题;若难题、综合题已经掌握得很好了，就没必要再去做很基础的题目（要做的话，可隔一段时间再做，以起到保温复习的作用）.

数学教学（包括给学生布置作业），不可“深一脚浅一脚的”，老师讲题和给学生布置作业，都要循序渐进的做好归类.比如，高三老师在复习“三角函数”这部分内容时，可以按下面的顺序讲解即可：

（1）求函數y=asinx+bcosx（ab≠0）的最值：化为y=Asin（ωx+φ）.

（2）关于sinx（或cosx）的二次型：用换元法转化为二次函数问题.

（3）关于sinx（或cosx）的高次式：换元后用导数求解或直接用导数求解.

这样讲解，效果一定会更好！

另外，高中数学的教与学要注重通性通法，淡化特殊技巧，因为特殊技巧难以迁移到别的问题中去.绝大多数高考题（包括压轴题）的解法，也都是遵从“通性通法”的解题规律，这与竞赛题（特别是高级别的竞赛，比如全国高中数学联赛二试、CMO、IMO等）有很大区别，后者多是“一题一法”，有的就是数学家研究问题的中间结论.2008年高考江西卷理科第22题源于2004年第4届中国西部数学奥林匹克竞赛第二天第4题，难度极大，得分率也可想而知.如果没有竞赛功底，而去冒然挺进这样的高考题，一定得不偿失，性价比很低.

当然，也不排除有些高考题的背景就是世界名题[4]，解法也没有很强的通性通法，但这毕竟不是高中数学教与学的主流，即使解决它们也要等学生解题能力达到一定高度之时.

因而，高中数学的教与学的第三个关键词是“着眼高考”.

4 适当提高

下面着重谈谈高中数学的教与学的第四个关键词“适当提高”.

题6 （2015年高考北京卷理科第18题）已知函数f（x）=ln1+x1-x.

（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程;

（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）>2（x+x33）;

（3）设实数k使得f（x）>k（x+x33）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值.

解 （1）因为f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），所以f′（x）=11+x+11-x，f′（0）=2.

又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x.

（2）（3）略.

笔者的分析 若考生没有发现恒等变形“f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）”，那就只能按照復合函数的求导法则来解答：f′（x）=11+x1-x（1+x1-x）′=1-x1+x·2（1-x）2=21-x2，……接下来的解答一定能顺利完成！

在近几年的高考理科数学考试说明中一直都有“能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b）的复合函数）的导数”的叙述，上面给出的题6的解法突破了此“考试说明”，但这种教学及解题也是可以的，考生可以继续作答，并且没有用到超纲的内容和方法（只用到了复合函数的求导法则呀）.

题7 （2013年高考新课标卷Ⅰ理科第16题）若函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值为

.

解法1 由f′（x）=-4x3-3ax2+2（1-b）x+a，多项式函数f（x）在R上可导，且关于直线x=-2对称，可得f′（-2）=0，11a-4b=28.

又由f（0）=f（-4），可得15a-4b=60.

解得a=8，b=15，所以f（x）=（1-x2）（x2+8x+15），f′（x）=-4（x3+6x2+7x-2）.

由-2是函数f（x）的一个极值点，可得f′（x）=-4（x+2）（x+2-55）.

所以当x∈（-∞，-2-5）时，f（x）单调递增;当x∈（-2-5，-2）时，f（x）单调递减;当x∈（-2，-2+5时，f（x）单调递增;当x∈（-2+5，+∞）时，f（x）单调递减.

又由函数f（x）的图象关于直线x=-2对称，得f（-2+5）=f（-2-5），所以f（x）max=f（-2+5）=（45-8）（45+8）=80-64=16.

解法2 由f（-x）=f（x-4）恒成立，可得f（-3）=f（-1）=0，f（-5）=f（1）=0，所以f（x）=（1-x2）（x+3）（x+5）=-（x-1）（x+5）（x+3）（x+1）=-（x2+4x-5）（x2+4x+3）=-（x2+4x-5）（x2+4x+3）=-[（x2+4x-1）-4][（x2+4x-1）+4]=16-（x2+4x-1）2.

进而可得得当且仅当x2+4x-1=0即x=-2±5时，f（x）max=16.

笔者的分析 在近几年的高考文科、理科数学考试说明中一直都有“了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）”的叙述，解答2017年高考全国卷Ⅰ理科第16题须五次多项式函数的导数，解答2015年高考天津卷文科第20（1）题须四次多项式函数的导数.题7这道高考题是求四次多项式的最值问题.

虽说解法2及其他多种解法均可不用四次多项式的求导，但考生均不易想到（因为教材没有系统讲述过多项式的知识，所以考生对多项式的知识几乎一无所知，比如因式定理、韦达定理、公因式、公倍式、带余除法等等）.所以，在教学中应当“适当提高”，不可“不越雷池一步”.在不过分地加重教学负担的前提下，就要“适当提高”.解法1用到了四次多项式的求导，但可保证考生顺利完成解答全过程.高考命题专家一定知晓考试说明中的“多项式函数一般不超过三次”，但此题绝妙不可多得，所以在取舍的徘徊中还是保留下来了.

题8 （2015年高考北京卷文科第17题）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.

（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率;

（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;

（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？

解 （1）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000=0.2.

（2）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100+2001000=0.3.

（3）（参考答案）与（1）同理，可得

顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000=0.2;

顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100+200+3001000=0.6;

顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000=0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.

（3）的另解 顾客购买了甲的同时又购买乙、丙、丁的概率分别是

2001000-（217+98）=200685，100+200+3001000-（217+98）=600685，1001000-（217+98）=100685.

又因为600685>200685>100685，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.

（3）的再解 设顾客购买甲、乙、丙、丁分别为事件A，B，C，D，由题设可得

P（AB）=2001000，P（AC）=100+3001000=4001000，P（AD）=1001000，P（AD）P（A）

P（AD）

所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.

笔者的分析 不管怎么说，题8这道高考题的背景一定是“条件概率”，而文科生的教材上没有“条件概率”，所以文科生若能“适当提高”——知晓条件概率，对于本题的解答是有好处的.

题9（普通高中课程标准实验教科书《数学3·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第3版）第134页第6题）在一个盒中装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，2枝二等品和1枝三等品，问下列事件的概率有多大？

（1）恰有一枝一等品;

（2）恰有兩枝一等品;

（3）没有三等品.

（笔者建议：题9中的“枝”均应改为“支”.）

笔者的分析 近几年文科数学考试说明中都有“（对于古典概型）会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率”的叙述.

对于理科生熟知的排列数Amn与组合数Cmn的意义及公式，文科生仅仅由分类加法计数原理和分步乘法计数原理就可理解和解决它们.像“从1，2，3，4，5，6中取出3个不同的数，有多少种取法”这类问题，若用列举法，则难度较大，解答题9，就必须解决该问题.何必要舍易求难呢？还是“适当提高”好——先归纳出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，再运用它们求解.

初中数学教材中删去“韦达定理”、“十字相乘法”，高中数学教材中删去“三垂线定理”及由《普通高中数学课程标准（2017年版）》（中华人民共和国教育部制定，北京：人民教育出版社，2018）编写的教材中删去了“线性规划”都不妥，而把“算法初步”调整到信息技术中就很好.删去了很多常用结论，并不是减轻学生的负担，反而是加重了学生的负担.好比在小圆桌上翻跟斗，多难呀！

若考生对反三角函数有所了解，则解答2013年高考新课标卷Ⅰ文科第16题（即理科第15题）及2014年高考北京卷理科第18（2）题会变得很容易;若用椭圆的焦半径公式，解答2018年高考全国卷Ⅲ第20题将很简洁.

解答2012年高考新课标全国卷理科第12题及2009年高考辽宁卷理科第12题，都涉及互为反函数的两个函数图象之间的关系;2013年高考北京卷理科第14题的背景是异面直线的距离.前者在对应的教材中讲得很简略，后者在对应的教材中没讲.

解答2015年高考新课标卷Ⅰ文科第21题、2017年高考全国卷Ⅲ文科第12题（即理科第11题）、2015年高考全国卷Ⅲ文科第16题及2015年高考新课标卷Ⅰ文科第21题均有可能涉及复合函数的求导法则.

笔者的意思绝不是让高中生学的越多越难越好，因为高中生课业负担确实太重，时间非常紧张，所以高中生应当在高中阶段学习必备的文化基础知识，要突出主干，不能是“灌木丛”的数学知识.

题10（1997年高考全国卷理科数学第15题）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）.

A.150种 B.147种

C.144种 D.141种 （答案：D.）

题10是所属试卷的选择压轴题，难度不小.

在高中学习排列组合是为概率（概率在生活中才是很有用的）服务的，没必要把排列组合题学（考）得这么难.为何有些排列组合题很难？难在避免“重漏”.对于较难的排列组合题（特别是与立体几何有关的）在有限的时间里确实不好准确无误的做出解答，笔者认为高考的排列组合题不能超过4步（有出题者曾把分式的计算、数的四则运算都搞得很繁，而后也有不能超过多少步运算的限制）.

“适当提高”要注意“提高”和“适当”. 法乎其上，得乎其中;法乎其中，仅得其下，所以高中数学教学要“提高”;“适当”就是要注意“度”，否则会给师生带来更加深重的灾难.

2019年6月19日，国务院办公厅正式公布的国办发〔2019〕29号文件《关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》的“（十五）深化考试命题改革”中指出“实施普通高中新课程的省份不再制定考试大纲，这与本文的“适当提高”一脉相承.

参考文献

[1] 甘志国.稳中有新 文理趋同——评2019年高考数学北京卷[J].中学数学杂志，2019（7）：52-56.

[2] 甘志国.突出新课改理念 重点考查核心素养——评2017年高考数学北京卷[J].中学数学杂志，2017（7）：52-55.

[3] 甘志国.“简洁、基础、本质、创新”是高考数学北京卷的鲜明特色[J].中学数学杂志，2016（7）：45-48.

[4] 甘志国.湖北高考数学卷与世界名题相通[J].数学教学，2009（11）：46-48.

作者简介 甘志国（1971—），湖北竹溪人，研究生学历.高级教师，特级教师.研究方向：解题研究、高考研究和初等数学研究.