研究一棵树，思考整座森林

贺丽珍/北京一零一中教师，北京海淀区数学骨干教师

数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用。但数学教学不等于解题教学。数学教育的最终目标，不仅是使学生得到高分，更让学生学会：用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界。

学生是在教师的唤醒和激发下不断发展、成长的，师生在生态课堂环境中，不断地创造自我、发展生命。因此，我的教学观是：通过研究一棵树，思考整座森林。孤立知识点和问题的教学，好比一棵棵树。为此，进行单元教学，通过研究一个个问题，来发现整体规律，让学生整体把握课程内容和知识体系，从而把握数学内容的本质，思考“整座森林”。本文以高三函数综合复习课为例，阐述如何“通过研究一棵树，思考整座森林”。

教师心中有“森林”

首先，教师对问题涉及到的核心概念和知识逻辑要有深层次把握。教师要把握函数思想放在整个高中学段的地位，掌握函数与方程、不等式等内容的联系，研究函数综合问题解决的思维框架，即：基于函数概念，通过代数运算和函数图象逐步深入地研究一类新函数的性质，从而解决问题。更要明确：解决函数综合问题不在于解一道题，更是在于探究一类新函数的性质。

其次，教师整体设计“函数综合问题”的单元教学（见图1）。经历问题引领、问题梳理、自主归纳三个层次，思维逐步提升。本节课（第6课时）是在问题梳理阶段。

第三，教师把握学生思维障碍点，从而设计教学。经过“问题引领阶段”的学习，总结学生思维障碍点：学生遇到函数综合题还是机械求导，之后无从下手。原因是遇到方程、不等式问题，容易陷到暴力运算中，不能灵活地从函数、方程、不等式相互转化的角度解决问题。因此本节课选取了这道题：

图1

此问题综合性较强，能充分暴露上述学生的思维障碍；这道题的实质是：研究方程有两个不同实根的情况下，判断两个实根间距与的大小关系。可构建不同的函数从多种角度解决问题，但都是把不等式转化为函数问题、把函数自变量的大小关系转化为对应函数值的大小关系的比较，实质相同，都是基于对函数概念的理解，可以通过研究这道题，提炼解决函数综合问题的思维方法；可基于本题提出创新性问题，让学生进行创造、迁移。

通过研究一棵树，思考整座森林

（一）基础应用，开启思维

（二）问题分解，思维突破

这个环节是整节课的核心，即“如何研究一棵树”。首先分析条件：结合性质和直观图象，继续深入研究方程两个实数根以及的几何和代数特征，分别用自然语言、图形语言、符号语言来重述问题，不等式转化为证明。学生提出证明方法，师生分析：需要借助函数的性质来研究，自变量的值的大小关系通过函数值的大小关系来比较.在同一单调区间内，问题转化为比较。与的大小，即与的大小。

以上过程是“研究一棵树”：基于学生已有基础和思维障碍，逻辑连贯，难点突破，注重核心知识方法。接下来，教师鼓励学生提出其他方法，并且对两种方法进行分析。学生发现两种方法虽然构造的函数不同，但本质都是通过恰当构造函数，把不等式问题转化为“在同一个单调区间上通过比较函数值的大小得到自变量值的大小关系”。师生共同寻找解决函数问题一般方法，探究解决函数问题的思维框架。对于学生提出的其他方法，要给予充分肯定。因为学生的问题，反映了思维的多样性，实现了“通过研究一棵树，而思考了多棵树”。

（三）创新探究，提升思维

图2

（四）归纳总结，发展素养

这个阶段是本节课的升华阶段，即“通过研究一棵树，到多棵树，到整座森林”。师生共同探索函数综合问题解决的思维框架（见图2）：基于函数的概念，并以代数运算与函数图象为手段，以及如何提出新问题并进行研究。函数图象能够直观形象地表示出函数的变化状态，逻辑推理和代数运算保证了严谨性。 学生掌握了研究“整座森林”的思维方法，反过来对于其他的“树”，就可以了然于胸。

（五）自主归纳，创造自己的森林

本单元最后一个阶段是学生自主归纳，建构自己的知识方法体系，创造自己的“森林”。

在复习过程中，我尝试创新复习方法，让学生原创、改编问题，创作自己的试卷，有的非常精彩，也有的是错题，但都非常有价值。同学之间交流讨论非常热烈，收获也很大。

《函数综合复习》这一案例，从一道题的一个小问开始进行探讨和研究，学生在经历分析问题的结构、恰当构建函数、研究函数性质、解决问题的过程中，感悟研究函数问题的基本思维框架，从而让学生学会整体把握函数的图象和性质。教师引导学生继续探究、总结、归纳和创造，注重培养学生发现问题、提出问题的能力。“通过研究一棵树，去思考整座森林”就是这样实现的，在此过程中，学生的直观想象和逻辑推理素养得到充分的发展。

反思与改进

以上案例虽然在教学设计、录课、说课方面均获得了市、区级的奖励，但我并不满意。为什么学生到高三了还不能将不等式和函数问题灵活转化？我进行了深刻反思：解决函数综合问题的能力能不能在高一、高二的新授课阶段就逐渐形成？在新一轮课堂教学中，我进行了改进和创新。

例如，在《不等式与不等关系》新课教学中，我的设计思想主要抓住“用函数的观点看不等式”，即从新课开始学生就“通过研究一棵树，思考整座森林”。

我将生活中的现象“加一勺糖，糖水更甜了”抽象为“糖水不等式”，并证明此不等式。接着，引导学生思考：“随着糖的增加，糖水越甜”，实质上是判断并证明函数的单调性。把“加糖糖水变甜”这个糖水不等式看作函数，把定量问题看作变量问题，用函数的观点来解决问题。

学生进行深入思考，知识上承前启后，方法上复习巩固，思维上逐步提升，感受到函数与不等式的密切联系，体验数学发现和创造的过程，从而发展数学素养。反思我们的教学，基本的学科观点、思维的发展应该在高一、高二新授课阶段就应得以逐渐形成。