高慧明老师讲数学(2)

高慧明

高考数学试题中以网锥曲线的几何性质为背景的压轴选择题主要涉及以下几种类型问题：求网锥曲线的离心率，求特定字母的取值范围，求网锥曲线中的最值，以及平面图形与网锥曲线相结合的问题。

评注：在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特征，建立关于参数c，a，b）的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围。一般来说，求离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何关系，例如根据线段的大小关系或者角的大小关系列不等式;二是考虑代数关系，通过设点，将所给问题坐标化，结合圆锥曲线方程和本身的范围来确定。

评注：抛物线的定义是转化抛物线上的点到焦点距离和到准线距离的桥梁，通过设点的坐标并结合抛物线的定义，将待求对象坐标化，同时结合抛物线的方程消元，利用函数思想求解最值问题是常见的求最值的方法，有时还可以用几何平面几何知识求解。

评注：求离心率问题实质上是根据已知条件，挖掘题中a，b，c、的等量关系或者不等关系，可以借助平面图形自身满足的条件或者点的坐标所满足的方程或者范围等，本题利用平行四边形的性质并结合双曲线方程和平行四边形的面积公式得到关于a，b，c的方程，进而确定离心率的值。

相关链接4.已知椭网和双曲线有共同

2.求解特定字母取值范围问题的常用方法

（1）构造不等式法。根据题设条件及曲线的几何性质（如：曲线的范围、对称性、位置关系等），建立关于特定字母的不等式或不等式组，然后解不等式或不等式组，从而求得特定字母的取值范围。

（2）构造函数法。根据题设条件，用其他的變量或参数表示欲求范围的特定字母，即建立关于特定字母的目标函数，然后研究该函数的值域或最值情况，从而得到特定字母的取值范围。

（3）数形结合法。研究特定字母所对应的几何意义，然后根据相关曲线的定义、几何性质，结合数形结合的方法求解。

3.求解圆锥曲线中的最值问题的常用方法

（l）几何方法。利用曲线的定义、几何性质，以及平面几何中的定理、性质等进行求解。

（2）代数方法。把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解。

常见的几何方法有：①直线外一定点P到直线上各点距离的最小值为点P到直线的垂线段的长度;②圆C外一定点P到网上各点距离的最大值为| PC|+r，最小值为|PC|- r（r为网C半径）;③过网C内一定点P的网的最长的弦即为经过P点的直径，最短的弦为过P点且与经过P点的直径垂直的弦;④网锥曲线上本身存在最值问题，如：椭网上两点间最大距离为2a（长轴长）;双曲线上两点间最小距离为2a（实轴长）;椭网上的点到焦点的距离的取值范围为[a-c，a+c]，a-c与a+c分别表示椭网的焦点到椭网上点的最小与最大距离;抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近。

常用的代数方法有：①利用二次函数求最值;②通过三角换元，利用正、余弦函数的有界性求最值;③利用基本不等式求最值;④利用导数法求最值;⑤利用函数单调性求最值。

（责任编辑 王福华）