利用空间向量解决立体几何问题的创新热点直击

杨希

利用空间向量解决立体几何问题在高考中主要有三类：异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角。从这三个角度出发，我们来谈谈折叠问题、动态问题、探索性问题如何与其交汇，形成创新热点题型。

创新角度一，折叠背景下探究异面直线所成的角

两异面直线所成角的范围是θ∈（0，π/2]，两向量的夹角a的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角。

例1 将正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，则异面直线AD与BC所成的角为（ ）。

A.π/6

B. π/4

C.π/3

D.π/2

创新角度点评：通常情况下，我们都是在现成的空间几何体内求解异面直线所成的角，这就为我们寻找异面直线所成的角创造了现成的观察平台。如果几何图形需要折叠，而折叠后所得到的是一个空间几何体，这就需要我们用全新的眼光去定夺一个“新生事物”，判断是否有暗礁与险滩，我们需要小心为事。

创新角度二、动态状态下已知线面角求线段的长度

（l）设直线l的方向向量为a，平面a的法向量为n，直线l与平面a所成的角为θ，则sinθ=[cos（a，n）]=|a·n|/|a|·|n|。

（2）利用向量法求线面角的方法：

①分别求出斜线和它在平面内的射影，直线的方向向量，将问题转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）。

②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角。

（3）利用平面的法向量求线面角的两个注意點：

①求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角（钝角时取其补角），取其余角即为所求。

创新角度点评：我们平时所见的绝大多数求解线面角问题，都是直接求直线的方向向量与平面的法向量，然后套用公式确定直线与平面所成的角。如果已知直线与平面所成的角（或角的三角函数值）去求解某条线段的长，那么线面角所在的几何体就是一个“动态”的，是需要我们去“调整”的，这里的“动态”与“调整”指的就是可以去寻找方程，确定所求线段长度。

创新角度三.二面角与探索性问题

（1）利用向量计算二面角大小的常用方法：

①找法向量：分别求出二面角的两个半平面的法向量，然后通过两个半平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小。

②找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小。

（2）利用法向量求二面角时的两个注意点：

①对于某些平面的法向量要注意是隐含在已知条件中，不用单独求。

②注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论错误。

（3）利用空间向量解决探索性问题的这类题型，其考查形式主要是已知二面角的大小逆向探索求解“点”的存在问题。若所探求的“点”存在，则一般情况下是存在于线段的等分点，如二等分点、三等分点等。

创新角度点评：探索性问题一直以来就是一个热点问题，而把探索性问题与二面角相结合就更是高考的热点考查角度。一定要明确这类问题的解答思路，比如，该题的探索解决途径体现在将点E的是否存在转换为法向量n1=（2m，m-4，2）是否存在，而法向量，n1=（2m，m- 4，2）是否存在又体现于其中的m是否有解。

（责任编辑 王福华）