化错为宝：让复习“精准”发力

李军

摘  要：复习课在数学学习中有着重要作用，好的复习课会促进学生的思维发展，有效提升学生的学习力。真实的学习，总会伴随着真实的错误，在复习阶段，如果能充分利用好错误资源，化错为宝，会让复习更有针对性。在课堂实践中，通过集错，让复习有的放矢;通过辨错，让认知走向清晰;通过化错，让思维走向深刻。文章以《运算律》单元内容为例，谈谈关于如何借助学习过程中的错误资源进行有效复习，让复习精准发力。

关键词：复习;错误;学习力

复习课贯穿小学数学学习始终，在学生数学学习中起着重要作用，学习过程中不同阶段伴随着不同类型的复习课。实践证明，复习课学习效果的提升，有利于学生的认知形成知识链，会使学生的思维得到有效发展和提高，有利于学生学习力的形成。实际教学中，不少复习课以“机械训练”“题海战术”“以练代课”等单一的形式进行，学生的主动性和积极性难以调动，成了教师指令下的“操作工”，学生自主建构知识的能力得不到有效培养，“漫无目的”“毫无章法”“遍地开花”的现象普遍存在。学习，错误在所难免，没有错误的学习不是真正的学习。面对学生的错误，仅仅就纠正？甚至置之不理？还是当作学习过程中重要的生成性资源？对待学生错误的态度，彰显教育者的教育观念和教育智慧，也决定着学生是否真实地在学习。错误，笔者觉得理应是学生学习过程中真实生长的“宝贝”，我们要充分利用错误资源，化错为宝，借错发挥，特别是复习课。如果能针对学生的“易错点”“精准”发力，不仅会有效提高复习课的质量，更会提升学生的学习力。本文以《运算律》内容为例，谈谈如何借助错误资源来开展复习。

一、集错：让复习有的放矢

作为教师，在面对学生的学习中，错误会像呼吸一样自然出现在你的面前。当错误出现，你是简单打个“×”，还是舍得花时间去细细看一下学生出错的情况？错误的出现，不仅仅需要思考这个错误仅仅是个案，还是几个学生都出现过。要先找到学生出错点在哪里，思考是不是具有典型意义，能不能透过错误表面看到学生学习的实质，考量着一个教师的教育智慧和敏感度。错误是一种宝贵的生成性资源，我们要做一个有心人，要高度关注学生出现的错误并根据错题的情况建好自己的错题库，可以按时间每天记载“批改记录”，也可以根据错题的具体内容“分类建档”，最好这个错误是某班某孩子某类作业练习本第几页都能记录下来，便于教师追踪溯源。这样的“错题集”会成为我们手中的“宝贝”，会为后续的学习及单元或者归类复习提供强大的数据库，在数据库的基础上有针对地进行复习，让复习变得有据可依，复习课不会再异变为“机械训练、题海战术、以练代课”等固定套路，让学生不会再感觉复习课就是“炒冷饭”，从而使得原本应付、缺乏动力的复习课变得生机勃勃，趣味十足，挑战性强。

除了教师自己要注意搜集错题，形成错题库之外，更要引导学生关注错题，建立错题库，让学生养成关注错题、搜集错题、化解错误的习惯。习惯的养成，会培养学生的一种深度反思意识，会有效培养学生学会学习的关键能力，有效促进学生思维的发展，提升学生的学习力。

例如，在《运算律》单元学习之中，学生经常出现的错误有：

（1）（33+4）×25=33+4×25;

（2）12×97+3=12×（97+3）;

（3）25×（4×8）=25×4+25×8。

这些错误都具有典型性，而且都有值得去深入分析其错误原因的价值，如果仅仅浮于表面，让学生简单把错误订正一下，而不去刨根问底、深入探究错误的缘由，那么学生的思维得不到真正的发展。

再如，学生学习了乘法分配律后，在乘法的基础上会有一定的拓展，在除法中也发现了类似的现象：

（1）（330+420）÷30=330÷30+420÷30;

（2）960÷（40+20）=960÷40+960÷20。

上述现象中，由于第一题是正确的，部分学生会把第一题得到的经验迁移到第二题中，而第二题的方法却是错误的。

这些题都具有一定的典型性，错误率也较高，几乎每年、每次试卷都会考查。从四年级学习后，一直持续到毕业考试，只是从整数发展到小数、分数，都还是考查学生对运算律的理解，从未缺席过各类测试，而“经典”就体现在凡做必错、纠后再错，典型属于“错你千遍还有错”。

经历了这样一个有意义、有选择、有思考的错题搜集建档的过程，会为我们后续的新知学习、复习提高等做好最基础性的工作，建立一个厚实、丰富、多元的大数据库。

二、辨错：让认知走向清晰

在平时建立错题库的基础上，到了复习阶段，就要从累积的错题库中挑选出对于学生或者知识的本质具有典型的、共性的、有意义的错题去辨析。以易错题为引子，通过对错题的剖析，激发学生回顾旧知的兴趣和欲望，从而在辨错中让学生的认知逐渐清晰，促进对知识本质的把握和理解。同时，借助“错点”，还可以举一反三，适度适时进行扩散，把一类知识或者一类错例进行梳理，精确找到认知的“盲点”，通过学生自我思维过程，寻求达到“承前启后、查漏补缺、温故知新”的复习目标。

例如，上述运算律中教学列举的错例25×（4×8）=25×4+25×8。此错例告诉我们，对乘法分配律，学生最容易与乘法结合律发生混淆。我们就要充分利用这个错题，通过比较来强化知识的特征，要引导学生除了从结构上比较，更要从意义上比较。

（1）出示25×（4×8），问：结合具体例子，说明这个算式的每一步计算表示什么？25×4×8这个算式每一步表示什么？

（2）將25×（4×8）改成25×（4+8），它们表示的含义一样吗？

（3）将25×（4+8）去掉括号——25×4+8，又会发生什么变化呢？那么25×（4+8）去掉括号应写成什么呢？

（4）辨析：同样是去括号，为什么25×（4+8）=25×4+25×8中25出现了两次，而25×（4×8）=25×4×8中25只用了一次？

在比较过程中，要引导学生在观察比较后清晰了解，乘法结合律只有一种运算，而乘法分配律包含两种运算，乘法分配律打通了乘法和加法之间的联系。

上述过程，运用了多种比较和多次比较：纵向上，乘法分配律与乘法结合律进行比较;横向上，乘法分配律左右两个算式进行比较。每一种、每一次形式上的比较，其实质都归结于意义上的比较。表面上，与乘法结合律的比较花费了教学时间，实质上却在反作用于乘法分配律的理解和记忆，比较常常能够达到一举两得的功效。为此，在练习中，我们还可以借25×44大做文章，如果变成25×（4×11），则用乘法结合律简算;如果变成25×（40+4），则用乘法分配律简算（其实也就是两位数乘两位数列竖式乘法的算法）。一题两法，对比强烈。

经过这样的深入辨错比较的过程，学生会对乘法结合律及乘法分配律的本质有更为清晰的认识，最初建立在脑中模糊的认知也会逐渐明朗。

三、化错：让思维走向深刻

到了复习阶段，筛选出有价值和典型性的问题，充分利用学生的“出错点”，深入分析“易错点”，在“集错”“辨错”的基础上巧妙“化错”，让错题成为学生有效复习、形成自主复习能力的“好帮手”。让学生在“化错”中深化对原有知识内核的认知，盘活其自主建构的认知系统，梳理相关知识，促进学生对知识本质的理解，这样的复习课才是有效的，才会促进学生思维的深度发展。

同样的例子，上述运算律的复习中，对学生经常出现的错误进行了深度的辨析后，有必要对学生的认知进行提升。在辨错后，要进一步指出：运算律不只是为简算而学，它还可用于推导出数学法则等数学规律，如加法和乘法的计算法则。乘法分配律是运算律中应用最广，也是最重要的一条规律。上述错误的出现，说明对乘法分配律的意义建构和形式建“构”并不充分。在教学中，教师应该积极寻求让学生理解性、过程性记忆的方法。一是强化乘法分配律的内在意义，让学生有联系地记忆。根据教材的编排意图，运算律基本都是通过让学生经历不完全归纳推理出运算律，然而我们的教学不应仅仅停留在此层面上，在不完全归纳推理出运算律的基础上，要有意识地引导学生通过演绎推理来验证运算律的合理性和必然性，是支撑计算的本质，也是算理的本质。同时也可以结合计算的意义来强化理解，如4×7+6×7表示4个7加上6个7，合起来是10个7;（4+6）×7也表示10个7，其本质上是一样的，所以4×7+6×7=（4+6）×7。让学生感受乘法分配律无论从实践层面，还是意义层面，都是正确的。二是强化乘法分配律的外在特征，让学生有联想的记忆。学习分配律后，教师可以借助“幽默一记”的方法来帮助学生在理解本质的基础上对乘法分配律的外在特征也能牢记于心;或者借助一些图形、公式帮助学生理解，比如长方形的周长计算公式，两种不同的方法：a×2+b×2、（a+b）×2，表示的是同一个意思（都表示长方形的周长）。在联想和对比中对分配律印象深刻。

到了复习阶段，恰恰是彰显数学思想的最佳时机，对于教材而言，数学基本思想与方法理应成为单元和阶段复习总结提升的主题。在回顾梳理一个单元的知识内容的时候，借助“化错”时机，将数学知识和技能提升为一种数学思想方法，需要我们从数学的本质着眼，以更高的观点加以审视，学生的思维才会真正从表面走向深刻。在经历了新授阶段借助不完全归纳探索规律、解释规律的过程后，到了复习阶段有必要结合两位数乘一位數、两位数乘两位数的计算方法及算理，让学生在计算中初步感受一下演绎推理的力量，让学生知道运算律是伴随着计算自然而然生长出来的，两种不同的角度，会让学生的思维发展更加多元化。运算律的复习过程还是建模和认知提升的过程，在文字表征、符号表征、图形表征等多样化表征运算律的过程中，学生在其间领略到数学建模的方法以及符号化的模型表达方式，感受到变与不变辩证思想、符号化思想、模型思想等，在后续不断运用运算律解决实际问题的过程中能体会到化归思想，如“78×2.1+2.2×21”可以转化成“78×2.1+22×2.1”，再转化成“（78+22）×2.1”，即“100×2.1”。正是因为数学思想的凸显，学习者在体验数学美妙的同时，能产生心灵的震撼，这种震撼，往往会让人终生难忘。数学思想方法需要提炼，一般是内容阐述在前，思想方法提炼在后。

化错的途径是多样的，可以是教师去“点化”，还可以是学生之间的“互化”，更可以是本人的“自化”。从“点化”到“互化”，最后到“自化”，“化”的不仅仅是知识之错，更是生命成长之基。学生在“集错”“辨错”“化错”的过程中，收获的不仅仅是认知的提升，数学思想的强大魅力，更重要的是收获了求真的科学精神，成长的拔节之乐。