“圆锥曲线与方程”教学重点分析

黄海燕

圆锥曲线与方程的内容，主要是在直线和圆的基础上，学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

一、教材中内容特点

（一）明确解析几何的基本思想方法

突出用方程研究曲线，用代数方法研究曲线的几何性质;强调解析几何解决问题的程序性和普适性;自始至终贯穿曲线与方程、方程与曲线的关系.

（二）抓住轨迹问题的本质，建立轨迹的方程

轨迹是由动点运动形成的曲线（或几何图形），其特点是，动点在运动变化过程中，始终有保持不变的量，由此我们可以建立轨迹的方程.通过轨迹的方程，研究轨迹的几何性质.椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线都是动点在运动变化过程中，保持某种“距离”不变.

（三）实例丰富，注重实际背景和应用

实际上，圆锥曲线很早就与人类生产、生活以及科研有着紧密的联系.在章引言中，说明三种圆锥曲线都是用不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥面得到的.改变截面与圆锥轴线的夹角，可以得到椭圆、双曲线、抛物线.这种引入，目的是使學生了解“圆锥曲线”名称的由来.另外在教材的正文中，还多次提到行星运行轨道、发电厂冷却塔的外形、抛物运动轨迹、探照灯的镜面等等.在教材的拓展性栏目中，还安排了“探究与发现：为什么截口曲线是椭圆”“阅读与思考：圆锥曲线的光学性质及其应用”（这些内容非常有趣，运用导数可以给出严格的证明）等.安排大量的实例，注重实际背景和应用的目的是让学生感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的重要作用.

二、教学中主要方法

（一）引导学生自主探索

介绍三种圆锥曲线时，引导学生自主探索.如通过观察椭圆的形状，引导学生建立适当的直角坐标系，用点的坐标表示距离，建立椭圆的标准方程.这种呈现方式，意在突出知识的发生、发展过程，引导学生自主学习探索，既动手又动脑，获得体验.在感性认识的基础上，把具体直观的图形“椭圆”抽象形式化（代数化）为“方程”，形成理性认识.双曲线与抛物线的几何特征虽然与椭圆不同，但其引入和标准方程的建立过程，都是与椭圆相类比展开的.

（二）注意代数方法与几何直观相结合

在三种圆锥曲线的简单几何性质的研究中，从直观入手，用代数方法研究它们的几何性质，注意代数方法与几何直观相结合.如对椭圆离心率的研究，首先从直观入手，让学生观察两组扁平程度不一的椭圆，提出问题“用什么量刻画椭圆的扁平程度呢？”再让学生思考，然后给出椭圆离心率的定义.这种方式，首先使学生对离心率有一个直观的印象，然后对离心率的概念有更加深入的认识.这种处理方式可以从不同的角度，用不同的量刻画椭圆的扁平程度.类比椭圆离心率的概念，对双曲线离心率的研究，我们首先直接给出双曲线离心率的概念，然后提出问题“椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？”，让学生思考.结合几何直观，以及a，c两个量，可以发现，双曲线的离心率可以用来刻画双曲线“张口”的大小.

（三）帮助学生感受数学的整体性

加强不同知识内容的联系性，从不同角度看待同一数学内容，让学生体会曲线与方程和函数与图像之间的关系，感受数学的整体性.曲线与方程、函数与图像是两类不同的研究对象，它们之间有一定的联系，也存在一定的区别.首先，方程、函数的外延和内涵不尽相同.从外延来讲，方程的概念很宽泛，函数的解析式都可以表示为方程的形式;从内涵来说，函数的内涵非常丰富，方程不一定是函数.

（四）重视信息技术工具的作用

信息技术工具在解析几何的学习中有较大的支持作用，发挥的空间也较广阔.在教材中，安排了很多“信息技术应用”的内容.如利用信息技术工具向学生演示平面截圆锥的过程，通过改变截面与圆锥轴线的夹角，得出不同的圆锥曲线.信息技术工具的使用可以加深学生对圆锥曲线的直观认识.运用信息技术工具的“运动变化过程中保持几何关系不变”的特点，非常容易探索动点轨迹的形状.一方面，信息技术工具为我们创造了一个实验、发现、猜想的环境，在动态演示中，观察轨迹形成的原因、轨迹的形状，发现结论、形成猜想;另一方面，当我们求出轨迹的方程后，可以用信息技术工具帮助我们进行直观验证轨迹的形状，加深对方程所表示的曲线形状的理解.

总之，圆锥曲线与方程的内容十分重要，在教学中需要我们仔细研究，认真讲解，加强训练，帮助学生很好地掌握这部分内容.