基本不等式解高中数学问题探析

邓清

【摘要】基本不等式又称均值不等式，它是高中必修教材里重要内容之一，基本不等式不仅可以用于解决数学问题，在解决实际问题中也有着广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具.本文主要针对基本不等式在高中数学问题中的应用进行探讨和分析.

【关键词】高中数学;基本不等式

在重视教育的当今社会，高考受到越来越大的关注，从近五年高考情况来看，针对基本不等式，高考主要考查利用基本不等式求函数最值、参考范围、证明不等式;对不等式的综合应用，常与函数结合在一起考查，利用基本不等式解题时要注意基本不等式的三要素，即一正二定三相等.利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有三种思路：① 对条件使用基本不等式，建立相应的不等式求解.② 对条件变形，以进行“1”的代换，从而利用基本不等式求最值.③ 针对待求最值的式子，可以通过添项、分离常数、平方等方法使之能运用基本不等式.

一、利用基本（均值）不等式求最值

利用基本不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积求其和的最小值，是每年高考的重点内容.

例1 求函数y=x-1x+3+x-1的最大值.

解 令t=x-1≥0，则x=t2+1，

所以y=tt2+1+3+t=tt2+t+4，

当t=0，即x=1时，y=0;当t>0，即x>1时，y=1t+4t+1，

因为t+4t≥24=4，当且仅当t=2时等号成立，

所以y=1t+4t+1≤15，

即y的最大值为15（当t=2，即x=5时，y取得最大值）.

此题先是借助换元法进行代换，最后利用基本不等式求出最值.

二、基本（均值）不等式与函数的综合问题

對不等式的综合应用常与函数结合在一起考查.

例2 已知函数f（x）=x2+ax+11x+1（a∈R），若对任意x∈N，f（x）≥3恒成立，求a的取值范围.

解 由f（x）≥3恒成立，得x2+ax+11x+1≥3，

又x∈N，∴x2+ax+11≥3（x+1），

∴a-3≥-x+8x，

令F（x）=-x+8x，x∈N，

则F（x）max=F（3）=-173，即a-3≥-173，

∴a≥-83.

求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性.

三、基本（均值）不等式的实际应用

实际应用中采用函数思想来解题，基本不等式是求最值的一种方法.

例3 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为F=76 000vv2+18v+20l.

（1）如果不限定车型，l=6.05，求最大车流量;

（2）如果限定车型，l=5，那么最大车流量比（1）中的最大车流量增加多少？

解 （1）当l=6.05时，F=76 000vv2+18v+20×6.05，

∴F=76 000vv2+18v+121=76 000v+121v18≤76 0002v·121v+18=1 900，

当且仅当v=121v，即v=11时等号成立.

∴最大车流量F为1 900辆/时.

（2）当l=5时，F=76 000vv2+18v+20×5，

∴F=76 000v+100v+18≤76 0002v·100v+18=2 000，

当且仅当v=100v，即v=10时等号成立.

∴最大车流量比（1）中的最大车流量增加2 000-1 900=100（辆/时）.

解决实际应用题的三个注意点：

（1）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.

（2）根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.

（3）在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解.

【参考文献】

[1]教育部.普通高中课程标准实验教科书（数学必修5）[M].北京：人民教育出版社，2013.

[2]文剑新.高考试题解析[D].武汉：湖北第二师范学院，2010.

[3]鲍建生，徐斌艳.数学教育研究引（二）[M].南京：江苏教育出版社，2013.