重题根 抓本质 提高数学复习有效性

厉丰群

【摘要】《普通高中数学课程标准》在教学建议中指出：高中数学教学应以发展学生数学学科核心素养为导向，引导学生把握数学内容的本质.在评价建议中则指出：评价要注重对数学本质的理解和思想方法的把握，避免片面强调机械记忆、模仿以及复杂技巧.教师教给学生的解法好不好，不是看解法是否简单，而应该看该解法是否是本质解法，是否具有普适性，即：适合绝大多数学生掌握，并能解决同类问题.

【关键词】题根;基本不等式;绝对值函数

根据《普通高中数学课程标准》教学建议，笔者认为，教学中若教师能够遵循学生的认知规律，注重题根教学，不仅能使学生较好地学会做题、领悟解题，还能达到举一反三、融会贯通的效果.下面举两个题根教学的案例来说明.

题根1 已知正数a，b满足ab=a+b，求a+b的最小值.

分析 这是一道很经典的题目，大多数学生都能做出来，常见的有以下几种做法.

解法1 利用基本不等式处理，ab=a+b≥2ab，得ab≥4.

解法2 由ab=a+b得1a+1b=1，利用“1”的代换求解.

解法3 多元问题消元转化处理，f（a）=a+b=a+aa-1，转化为函数来处理.

解法4 条件中同时有a+b和ab，联想韦达定理，构造方程求解.

如果解完题目就万事大吉，就甚是可惜，应静下心来好好反思，回顾解题过程，挖掘试题背后有价值的东西.以上几种做法中，解法1和解法2是通用通法，是适用性比较强的方法，若是我们能够从中进行合理变式，则能最大限度地满足不同层次学生的需要.

变式1.1 （改变系数）已知正数a，b满足a+3b=5ab，求3a+4b的最小值.

分析 由已知得1b+3a=5，∴3a+4b=15（3a+4b）·1b+3a=153ab+12ba+13≥5，当a=1，b=12时取到最小值.

变式1.2 （构造函数背景）已知函数f（x）=ax-1-2（a>0，a≠1）的图像恒过定点A，若点A在直线mx-ny-1=0上，其中m>0，n>0，則1m+2n的最小值是.

分析 定点A（1，-1）代入直线得m+n=1，∴1m+2n=1m+2n（m+n）=nm+2mn+3≥22+3.当m=2-1，n=2-2时取到最小值.

变式1.3 （构造数列背景）已知各项为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5，若存在两项am，an，使得am·an=2a1，则1m+4n的最小值为.

分析 由条件a7=a6+2a5得公比q=2，代入am·an=2a1，化简可得2m-1·2n-1=2，∴2m+n-2=2，∴m+n=3，1m+4n=131m+4n（m+n）=13nm+4mn+5≥3，当m=1，n=2时取到最小值.

变式1.4 （构造直线背景）已知m，n为正整数，且直线2x+（n-1）y-2=0与直线mx+ny+3=0互相平行，则2m+n的最小值为.

分析 由直线平行关系可得2m=n-1n≠-23，化简得m+2n=mn，即1n+2m=1，∴2m+n=（2m+n）·1n+2m=2mn+2nm+5≥9，当m=n=3时取到最小值.

变式1.5 （构造三角形背景）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为.

分析 由S△ABC=12acsin120°=12asin60°+12csin60°得：ac=a+c，即1a+1c=1，∴4a+c=（4a+c）·1a+1c=ca+4ac+5≥9，当a=32，c=3时取到最小值.

题根2 已知函数f（x）=x-12（x∈[0，1]），求f（x）的最大值和最小值.

分析 此题为常见的绝对值函数，画出图像，结合自变量的范围可求得f（x）max=f（0）=f（1）=12，f（x）min=f12=0.此类函数应掌握其图像“V”字形的特征，根据“V”的顶点位置和自变量区间范围进行讨论.教师应有意对问题进行变式拓展，引导学生探究、认识问题本质，在探究中体验数学思想方法的普适面;应恰当地、不露痕迹地帮助学生，顺应学生的“原生态”思路，对问题多角度思考，广泛联系，并进行类比、拓展、延伸;应有意给学生时间和机会，让学生尝试、交流，提高解题能力.

变式2.1 已知函数f（x）=|2x-a|（x∈[0，1]），求f（x）的最大值.

分析 设t=2x，g（t）=|t-a|，t∈[0，2].其图像“V”字形顶点处t=a.

当a≤1时，g（t）max=g（2）=|2-a|=2-a;

当a>1时，g（t）max=g（0）=|a|=a，

∴f（x）max=2-a，a≤1;a，a>1.

变式2.2 已知a∈R，函数f（x）=x+4x-a+a在区间[1，4]上的最大值是5，求a的取值范围.

分析 设t=x+4x，g（t）=|t-a|+a，t∈[4，5].其图像“V”字形顶点为（a，a）.当a≤92时，g（t）max=g（5）=|5-a|+a=5-a+a=5，符合题意;当a>92时，g（t）max=g（4）=|4-a|+a=a-4+a=2a-4，由2a-4=5得a=92.综上所述，a的取值范围为a≤92.

变式2.3 已知a∈R，函数f（x）=|sinx+cosx-a|，对任意的x∈-π2，0，都有f（x）≤2a成立，求a的取值范围.

分析 f（x）=|sinx+cosx-a|=2sin（x+π4）-a，设t=2sinx+π4，则g（t）=|t-a|，t∈[-1，1]，其图像仍然为“V”字形.只需g（t）max≤2a成立.当a≤0时，g（t）max=g（1）=|1-a|=1-a，由1-a≤2a得a≥13，不符合，舍去;当a>0时，g（t）max=g（-1）=|-1-a|=1+a，由1+a≤2a得a≥1.综上所述，a的取值范围为a≥1.

年年岁岁题相似，岁岁年年意相同，数学的教与学均要求我们学会总结，学会联系，这就要求我们学会反思，探究题根，这样才能把书从“厚”读到“薄”，也才能让数学的教与学渐入佳境，才能让教师越教越新，学生越学越活.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]耿道永.中学数学“有效备课”的探索[J].数学通报，2006（9）：15-17.

[3]王弟成.自主中沟通联系 转化中实现目标[J].中学数学教学参考，2013（9）：42-45.