浅谈三角函数中的公式教学

霍喜梅

摘 要：三角函数是物理中描述周期现象的重要数学模型，因此对它的研究和应用势在必得。在初中数学中，为解直角三角形引入了锐角三角函数;为解任意三角形而推广到了钝角三角函数;在学了任意角的概念后，为了刻画一些简单的周期运动（已和解三角形毫无关系了）而再次推广到任意角的三角函数，后者成为非常重要的函数，是描述一般周期函数的基石。

关键词：三角函数;公式教学;数形结合;化归思想

三角函数全程渗透着数形结合的思想，但在实际教学过程中，学生对数形结合思想理解不到位，导致出现了“死记硬背”公式的现象，从而在解题时错误率较高，得分整体偏低。在多次的高考数学研讨会上，三角函数成了数学老师探讨的话题。经过多年的一线教学，对三角函数中的公式教学，我有以下建议：

一、重基础，重来源

例如在弧度制的教学中，首先必须掌握弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。因此在单位圆（半径为1）中就有以下等式

2πrad=360。

那么在这个等式两端同除以2π，就会得到

1rad=（ ）。

同除以360得到 1°= rad.

这样就轻而易举地得到了角度与弧度的换算公式。而且知道这种转化方法的话，大大减少了记忆量，也一定程度上增加了准确性。

在此基础上继续结合初中所学扇形的弧长（  ）和面积

（  ）公式，可很容易地推导出弧度制下扇形的弧长（  ）和面积（  ）公式。

二、重理解，重过程

例如在终边相同的角的表示中，首先要理解终边相同的角有无数个，这无数个角不可能一一表示出来，因此需要观察这些角之间的差别，能否统一用某个式子表示？借助多媒体演示角的发展过程，学生会轻而易举地找出终边相同的角之间相差360°的整数倍。从而得到以下公式

而且k为什么取整数也一目了然。

三、重数形结合思想

例如在诱导公式的教学中，大部分老师用“奇变偶不变，符号看象限”来总结记忆。但在实际做题中，反映出大部分学生只知道这十个字，不知道它的具体含义，因此会出现各种各样的错误。但如果我们能很好地应用如下的数形结合思想方法，我觉得诱导公式就不会那么难了。

在平面直角坐标系中，把坐标轴如下标记：

即在化简时，若求cos（π+α），只需把α先看成锐角，再看π+α在第几象限（在π的基础上，沿逆时针方向旋转锐角的大小，发现π+α在第三象限），而第三象限余弦为负，故cos（π+α）=-cosα。

又如          是 的奇数倍，因此函数名先变为余弦，再看    在第几象限？（在 的基础上，减沿顺时针方向旋转锐角的大小，发现    在第三象限），故

。

在利用誘导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤：“负化正，大化小，化到锐角即可”。

四、重化归思想

因为在涉及到形如y=asinx+bcosx+k的三角函数求最值，对称轴，对称中心，单调区间时，需要先统一把函数化成y=Asin（ωx+ψ）+k的形式，这就需要辅助角公式准确化简。

例如：某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：

（1）求实验室这一天的最大温差;

（2）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室要降温？

解：（1）因为

又

当t=2时，         f（t）有最小值8;

当t=14时，        f（t）有最大值12;故实验室这一天的最大温差为4℃.

（2）依题意，当f（t）>11时实验室需要降温。

由（1）得

故在10时至18时实验室需要降温。

因此，解决三角函数实际应用题时应注意以下四点：

①活用辅助角公式准确化简;

②准确理解题意，实际问题数学化;

③“    ”整体处理;

④活用函数图像性质，数形结合。

因此三角函数的公式教学中重细节，重过程，重数形结合和化归思想的话，公式的记忆和理解也就容易了很多！