简析化归思想在高中数学学习中的运用

王天月　高云柱

【摘要】学生在高中数学学习的过程中会遇到各式各样的问题，本质上来说是属于化归思想的，比如数形结合思想、函数思想等，由此可见化归思想是高中数学学习的一个重要内容，它是数学思想的基础.本文从化归思想的概念入手，通过举例来简析化归思想在高中数学学习中的运用.

【关键词】化归思想;高中数学;运用

一、化归思想的概念

化归不仅是一种重要的解题思想，也是一種最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式.所谓的化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决问题的一种思想.一般情况，是将一些复杂的问题通过变换，将其转化为简单的问题;将难求解的问题通过变换，将其转化为容易求解的问题;将未解决的问题通过变换，将其转化为已解决的问题.总之，化归思想在数学中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗.说到底，化归思想的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决.

二、化归思想在高中数学学习中的运用

（一）定义中的化归思想

在数学的学习过程中，一些定义、性质或公式等基本概念，可以看成在某种条件下，题设转化成了结论，这其中蕴含着化归思想.

例1 对实数a和b，定义运算“”：ab=a，a-b≤1，b，a-b>1， 设函数f（x）=（x2-2）（x-x2），x∈R，若函数y=f（x）-c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是.

像这种给出新定义的新题型，在最近几年的高考中是很常见的.对于这样的题目我们可以先利用新定义进行一个转化，再根据题目中所给出的条件，结合着图像就可以得出结论了.即利用化归思想把新的定义转化成所熟悉的问题来进行解决.

（二）数列中的化归思想

数列是高中数学里比较重要的一部分，一直以来都是高考的必考内容之一.在学习的过程中会遇见多种类型题，但往往都需要求出数列的通项公式以及前n项和，那么得出数列的通项公式就是解决问题的关键.在近些年的高考中，经常出现通过递推公式来获得通项公式的题目，在解决这类题的过程中往往就体现着化归思想.

例2 Sn为数列{an}的前项和.已知an>0，a2n+2an=4Sn+3.（1）求{an}的通项公式;（2）设bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和.

解析 （1）先根据已知条件中给出的a2n+2an=4Sn+3求出其递推关系为an+1-an=2，由此可以断定这是一个等差数列，所以可以将其归化为等差数列问题，运用等差数列的基础知识求出其通项公式为an=2n+1.

（2）结合（1）中的结论an=2n+1和已知中给出的bn=1anan+1，可以得到bn=1（2n+1）（2n+3）=1212n+1-12n+3，这就可以转化为用裂项相消法来求出数列{bn}的前n项和，即为n3（2n+3）.

（三）函数中的化归思想

纵观整个高中数学的学习，我们会发现函数是高中数学的重要组成部分，当进行函数学习时，如果想要解决某一个问题时，可以运用化归思想将问题转化成当前所掌握的知识，这样一来问题就会被轻松地被解决了，虽然过程可能会有些复杂，但是每一步都在掌控范围之内，从整体上看，这极大地提高了解题的效率.

例3 设函数f（x）=x2+x，x<0，-x2，x≥0， 若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是.

解析 对于这道题来说要经过三次转化才能求出最后的结果.第一次转化：令t=f（a），则f（t）≤2转化为等价的两个不等式组t<0，t2+t≤2， 或t≥0，-t2≤2， 解这两个不等式组可得t≥-2.第二次转化：把t≥-2转化为f（a）≥-2.第三次转化：把f（a）≥-2转化为等价的两个不等式组a<0，a2+a≥-2， 或a≥0，-a2≥-2， 解这两组不等式可以得出a≤2.

（四）不等式中的化归思想

高考中无论是综合考查还是单独的考查不等式的有关内容，可以适当地运用化归思想有效地解决问题.比如，利用等式的方法来处理不等式问题，能够让解法更加便捷，让思路更加清晰.

例4 求证1+12+13+…+1n>n（n>1，n∈N*）.

解析 我们可以把题干中的不等号当成是等号来进行思考，假设Sn=n，an=1n，那么问题化归为：证递推关系式an=Sn-Sn-1（n>1，n∈N*）能够成立.接下来可以用证明不等式的途径来证明不等式问题.即将题转化为证明an>Sn-Sn-1能够成立，即是证明1n>n-n-1能够成立.

三、总 结

本文通过对高中数学中比较重要的知识模块的浅析以及举例说明来阐述化归思想在高中数学学习过程中的运用;除了上述几大方面外，还有一些数学上常用的方法，比如类比法、分析综合法等均有体现化归思想，所以在高中的数学学习中要充分地掌握化归思想，进而提高数学学习能力.

【参考文献】

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