空间向量的一点教学心得

孙磊

【摘要】通过教学实践，发现学生对“空间向量的工具性”认识不足，教材中“空间向量在立体几何中的应用”内容设计略显单薄.结合对高考试题的分析，在实际教学中对该部分做了进一步的充实.

【关键词】空间向量;立体几何;实践调查;高考要求

空间向量是研究立体几何问题的重要工具，在建立了空间直角坐标系之后，几何图形立体感更强，有效提高了学生的空间想象能力.但通过教学实践，笔者发现学生仍然在空间向量的应用过程中存在一定的困难.笔者对教学及教材的使用进行了针对性的反思，总结出一点心得，写下来与大家分享.

高中阶段，空间向量是用来研究立体几何问题的一个工具，我们可以利用它处理立体几何的各类题型，但它毕竟只是工具，不能把它的结论等同于要研究的立体几何问题.笔者曾经有意识地做过这样的调查，每隔三天让学生做一道求“两条直线所成的角”“直线与平面的夹角”或是“二面角”的立体几何习题.持续了一个月之后，笔者发现绝大多数学生会毫不犹豫地选择利用空间向量求角，但往往求出两个向量的夹角的余弦值之后，就认为题目已经做完了，有一部分学生总是会忘记讨论向量的夹角与所求角之间的关系，还有一部分学生，虽然记得转化，却时常搞不清哪一类型的角对应哪一种转化方式，因而不能写出最终的正确结论而造成了失分.这种现象暴露出了学生解题思路的不完整、不清晰.

笔者仔细研读教材，在教学时除了增加必要的例题，也为“利用空间向量求直线与平面的夹角”和“利用空间向量求二面角”这两部分内容，设计相应的“算法”，归根结底，就是帮助学生规范这两类问题的解题思路，让学生更好地理解和应用.笔者的具体做法如下：

在讲“直线与平面的夹角”一节内容时，首先向学生介绍“借助平面的法向量求直线与平面的夹角”的方法，然后补充一道相对应的例题.内容如下：

借助平面的法向量求直线l与平面α的夹角θ的步骤为：

（1）建立空间直角坐标系，并写出各点的坐标;

（2）求出直線l的方向向量v和平面α的法向量n;

（3）求出两个向量v和n的夹角;

（4）sinθ=|cos〈v，n〉|，θ即为所求的角.

例 如图所示，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=1，AD=AA1=3，AB=3，求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.

解 以点A为坐标原点，分别以直线AB，AD，AA1为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，如图所示，则B1（3，0，3），C1（3，1，3），A（0，0，0），C（3，1，0），D1（0，3，3），B1C1=（0，1，0），AC=（3，1，0），AD1=（0，3，3）.

设平面ACD1的法向量n=（x，y，z），则AC·n=0且AD1·n=0，

即（3，1，0）·（x，y，z）=3x+y=0且（0，3，3）·（x，y，z）=3y+3z=0，

解得y=-3x，z=-y，

不妨令x=1，得n=（1，-3，3）.

cos〈B1C1，n〉=B1C1·n|B1C1|·|n|=-31×7=-217.

设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，

则sinθ=|cos〈B1C1，n〉|=217，

∴直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为217.

在讲“二面角及其度量”一节时，讲解例题之前，向学生介绍“借助平面的法向量求二面角”的方法.内容如下：

借助平面的法向量求平面α与平面β的夹角θ的步骤为：

（1）建立空间直角坐标系，并写出各点的坐标;

（2）分别求出平面α，β的法向量n1，n2;

（3）求出两个向量n1和n2的夹角;

（4）根据图形确定所求二面角是锐角还是钝角，从而确定θ=〈n1，n2〉或是θ=π-〈n1，n2〉，θ即为所求的角.

以上就是笔者在教学实践中针对发现的问题所采取的办法，笔者清楚认识到：教什么，怎么教，首先要满足学习主体——学生的需求，才能更好地配合新的教学模式改革的进程.

【参考文献】

[1]数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准（实验）解读[M].南京：江苏教育出版社，2004.

[2]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学教材实验研究组.普通高中课程标准实验教科书（数学选修2-1）[M].北京：人民教育出版社，2007.