我们为何选择了“最糟糕的”十进制

苑津山

【摘要】人类对数的表示经历了漫长的过程，其中最值得探讨的便是人类为何选择了“十进制”.本文从柏拉图的理性直观与康德的感性经验直观出发，分析两人的数学哲学对人类选择进制的影响，认为柏拉图的理性直观是用理性的思维告诉人们选择最优进制;而十个手指确定十进制以及人类最终选择了十进制则可以用康德的感性经验直观来解释.

【关键词】进制;数学哲学;直观

【基金项目】中央高校青年教师科研发展基金（项目编号：2412019FZ032）.

一、关于数的表示的分析逻辑

对数的表示，我们首先要明晰一个逻辑：数，来源于对数量本质的抽象.这个抽象过程经历了计数和符号两个阶段.计数的发展很容易理解.远古时期，居住在岩洞里的原始人便有了对数的概念.在为数不多的事物中，如食物，他们能分辨出多与少，因为对食物的需要就来自人类的生存本能.逐渐地，人类就有了清晰的数的概念：1，2，3，…例如，部落的首领需要知道在他手下有多少人，放牧之人也需要知道他拥有多少只羊.最初的数字符号经历了20代表20只羊，20头牛的具体含义，后来20表示两个十，对这一阶段，有学者称其为准数字符号系统，它不利于运算，也不完备.

而当人们需要运用更深入的数字交流时，就必须将数的表示方法系统化.世界各地的部落或族群不约而同地采用了这种方法：把从1开始的若干连续的数字作为基本数字，用它们的组合来表示大于这些数字的数.换言之，如果大于1的某个数b作为计数的基或进位制，同时确定出数目1，2，3，…，b的名称，则任何大于b的数均可以用b个数的一个组合来表示.对以上内容主要是一种社会历史变迁的客观事实，而对数的表示的最终体系化：进制的确立统一却是一个漫长的过程，在历史长河中人最终选择哪一进制的问题上，依据柏拉图的理性直观和康德的感性经验直观会有不同的解释.

二、柏拉图和康德的两种数学直观辨析

从柏拉图和康德的数学哲学观可以看到，他们都不否认数学在本质上是需要直观的，但是他们说的直观是不同的.在康德看来，数学需要的直观是纯直观，那什么是纯直观呢？康德曾说：“一般感性直观的纯粹形式将会先天地在内心中被找到，在这种纯粹形式中，现象的一切通过其中关系而得到直观.”而柏拉图的直观却是一种类似“心眼的直观”，直观者比方说是人，直观的对象是“理性”，那它是不依赖于人地存在于柏拉图的理性世界里的.

因此，奉行柏拉图理性直观的人并不需要“一般的感性直观”也不需要把他们的“直观”限制在“一般感性直观的纯粹形式”上，柏拉图理性直观的“直观”在康德那里是属于执性直观的，但康德并不否认这种直观，他只是说人尚不具备这种直观.“直观”对柏拉图来说，只是通向他认为的“理想王国”的一种途径.即使，这种途径对想通向“理想王国”的人类来说是不可或缺的.

康德认为的“纯直观”是可以在“内心”中先天地被找到的，那么如果说数学是建立在“纯直观”上的，则数学就有了很强的主观建构味道.不过康德强调它不是因人而异的，对人来说，它是必然的和普遍的.康德的“数学客观性”是一种“主体间的必然性”，而这一点与柏拉图是很不相同的，对柏拉图来说，“数学的客观性”来源于客观的、不依赖人的“理想王国”.柏拉图理性直观的客观性并不仅仅是主体间的客观性，它包含着更强意义上的客观性.

三、以柏拉图理性直观探析人类选择

笔者认为有些学者提出的柏拉图理性主义下的十根手指头确立十进制的说法有些欠妥，在古代，原始人出门很少不带武器的，遇到要计数的时候，以右手持武器，左手计数，由此演变出来了五进制.此外还有些部落手脚并用衍生了二十进制，这显然是一种对某一部落或地区根据其主体主观上的生活经验，感性认识而来的进制系统，这其实是康德感性经验对进制由来观点的一部分.

站在柏拉图的理性直观上考虑，如果让一些理性学家来重新选择进制的话，我们或许会看到在实用家和数学家之间的争论.实用家坚持要用有最多因数的数，如八、十六之类为基底;而数学家则会用质数，如二进制或五进制.

18世纪末的博物学家毕封就曾提议举世使用十二进制.他指出：十二有四个除数，但十却只有两个，他认为，正是因为我们的十进制，长久以来，都感到极为不便，所以虽然十是世界公用的基底，但在生活中大多数的度量衡中，都有着以十二为基底的辅助单位.数学家拉格朗日从另一方面，认为：用质数作基底有极大的好处.他认为：用质数基底，每个整分数就不能被化简，所以表示该数的方法有且只有一种.在我们现在的命数法中，譬如小数0.18，实际则代表着很多个分数：9/50，18/100，….如果用十一等质数作为基底，这种不明之处就会大大减少了.

因此，运用柏拉图的理性直观，我们不管决定采用质数还是合数作基底确立进制，我们敢肯定，十甚至是根本不会被考虑的，因为它既非质数，又不含足够多的因数.相信如果在柏拉图生活的时代十进制还没有在古希腊普及，那么柏拉图或许会以他的理性直观的视角选择一个别的进制.

四、以康德的感性经验直观探析人类选择

笔者认为的是，康德的感性经验对数的表示理解有两层含义.第一，不同部落的人依据使用工具的不同程度，解放了一只手、两只手或手与脚进而产生三种进制，具体选择何种进制这是由某一地区人的生产生活经验决定的.第二，在人类历史长河中，澳洲昆士兰州原住民的2进制、南美部落的5进制、1英镑为12盎司的金衡制、玛雅文明中的20进制、古巴比伦人的60进制等等在不同地区不同历史时期出现了不同的进制.可是人们最终接受了十进制，根据康德的感性经验直观可以得出的是一个历史演进与选择的结果，古希腊的数学曾辉煌一时，十进制得以广泛普及，再后来欧洲进一步强大，由欧洲展开的近代以来的对全球的各层面的文化传播与侵略决定了一种数学进制的统一.

我们可以根据计算机键盘的最终统一与普及来论证一种进制何以最终确立.现在人类常用QWER键盘，可它最初出现，竟然是为了降低打字速度！因为在当时打字机技术很不成熟，某些键的组合很容易出现卡键的问题，于是Sholes发明了QWER键盘布局，他将最常用的几个字母安置在相反方向，最大限度放慢敲键速度以避免卡键.后来一系列高速度键盘均有人提出，可是这些后世的发明者仿佛跟拉格朗日要求世界改变十进制的情况一样，没人理睬，直至今天依然采用着如此“糟糕”的键盘.根据康德的经验直观分析如果历史倒退，那么何种键盘迅速扩张至全球，那么就应该是何种键盘至今仍在使用.同样，进制也是这个道理，历史选择了在某一地区数学最辉煌的时期向世界普及了十进制，按照康德的感性经验直观，人们就用巨大的惯性保持着这种生产生活方式.

五、结 论

在人类进制选择的问题上，我们可以看到康德的感性经验直观可以很好地解释人类为何选择十进制，以及在历史演进的角度确立的一种文化得以传播主要得益于该种文化辉煌繁荣并迅速扩张至全球所致，而柏拉图的理性直观往往在多数事物的全球化统一上是不受欢迎的，即便新的东西可能不像旧的东西如此“糟糕”，可人类总是在某些生产生活方式上保持着巨大惯性，因此，十进制一直保留到了今天.

【参考文献】

[1]皮耶尔乔治·奥迪弗雷迪.数字博物馆：从零到无穷的故事[M].周宇航，译.北京：电子工业出版社，2017.

[2]史宁中.数学思想概论[M].长春：东北师范大学出版社，2015.

[3]王建军.康德与直观[M].北京：北京师范大学出版社，2014.

[4]包向飞.康德的数学哲学[M].武汉：武汉大学出版社，2013.

[5]蔡天新.数学与人类文明[M].北京：商务印圖书馆，2012.

[6]保罗·埃尔默·摩尔.柏拉图十讲[M].苏隆，译.北京：中国言实出版社，2003.

[7]李文林.数学史概论[M].北京：高等教育出版社，2002.

[8]戴维·梅林.理解柏拉图[M].喻阳，译.沈阳：辽宁教育出版社，2000.