基于频率指数的动力系统的分析

张妍，肖山峰，张建成*

(1.广西大学 机械工程学院，广西 南宁 530004；2.广西大学 数学与信息科学学院，广西 南宁 530004)

0 引言

混沌运动在生活中普遍存在，是自然界的基本运动，是非线性动力系统一个很重要的研究方向[1]。研究混沌动力系统主要是研究动力系统状态随时间的变化情况，特征指数可以定量描述动力系统的运动状态及特性，常见描述动力系统的几何特征有Lyapunov指数、分岔图、功率谱等[2-3]。Lyapunov指数可以定量判断出相空间中系统轨道间收敛或发散的平均指数率，其中正的Lyapunov指数是判定动力系统混沌与否的一个基本的特征量[4-5]。分形与分维刻画出动力系统运动轨迹呈现无限次拉伸与折叠的现象[6-7]。分岔现象在非线性动力系统中较为普遍，利用分岔图来研究混沌吸引子因参数改变其演化过程发生突变的状态[8]。测度熵则通过区分不同轨道的数目，获取混沌运动产生的信息量，度量了系统的混乱程度[9-10]。上述方法在研究动力系统的性质方面被广泛应用，取得了很大的成就。但是用于研究更高维度的动力系统时，多数方法将会产生繁冗的计算量，计算较为复杂。CHEN等[11]定义了一种新的研究动力系统的指标—曲率指数，研究动力系统在时间演化过程中平均曲率的极限值，度量了系统吸引子的弯曲程度，并用一个空间球体估计出吸引子的平均大小，用曲率指数研究耦合混沌动力系统完全同步的问题。XIAO等[12-13]将曲率指数应用在低维与高维动力系统中，展示了系统在不同参数的影响下吸引子随时间演化的结构性变化。同时与著名的Lyapunov指数做比较，曲率指数在Rössler和Lorenz动力系统中收敛的时间较短，速度较快。

为了研究动力系统曲率的演化情况，更好地反映动力系统吸引子整体的特征频率。本文基于曲率，求出动力系统曲率随时间变化的瞬时频率，并定义了频率指数，用于定量研究混沌动力系统的特征频率。频率指数可以反映动力系统轨迹的曲率随时间演化的特性，是系统轨迹瞬时频率的一个平均值。Rössler动力系统是经典的自治动力系统[14-15]，是连续系统中混沌的基本几何构造。本文以简单三维曲线及Rössler动力系统作为主要研究对象，研究动力系统吸引子在不同参数下结构特征的变化。主要讨论用频率指数来定量判断Rössler动力系统的特征状态。同时，结合Lyapunov指数，验证频率指数研究动力系统的正确性与可行性。相比Lyapunov指数，频率指数不必在每次迭代的过程中选取新的初始值，大大地减少了计算量。

1 频率指数

频率指数是基于空间曲线的高阶曲率提出的概念，定量刻画了动力系统轨线的曲率随时间演化的情况。频率指数主要研究了动力系统在长期性中的运动状态，反映了动力系统整体的特征频率。

N维动力系统一般表示如式(1)：

(1)

其中x∈RN且函数f∈CN-1。若x的前N-1阶导数只和时间t相关，求出x的各阶导数并进行施密特正交化，如式(2)：

i=3,…,N-1

⋮

(2)

根据一般参数化的高维动力系统的曲率[16]定义可知：

(3)

动力系统随着时间的演化，不同时刻系统轨迹曲线的曲率也发生变化。瞬时频率是基于系统轨线的曲率，描述了曲率在每一瞬时的频率，表示为式(4)：

(4)

对N维动力系统的各阶频率指数定义用式(5)表示，为：

(5)

其中1≤i≤N-1。频率指数是动力系统在相空间中轨线瞬时频率的平均度量，有效地反映了动力系统轨线运动的平均频率，对相空间中轨迹随时间演化的长期行为进行了定量描述。

N维动力系统的轨迹曲线有N-1个曲率。特殊的，若一个动力系统是三维系统，即N=3，则该系统有两个瞬时曲率。瞬时曲率k1(t)、k2(t)分别是系统轨道的第一曲率和第二曲率。根据式(3)可得到式(6)：

(6)

进一步推导曲率k1与k2，由式(2)与式(6)，曲率k1、k2的推导结果分别见式(7)、(8)。

(7)

(8)

(9)

对于三维动力系统，空间曲率能有效反映相空间中动力系统运动轨迹的情况，曲率随时间不断地发生改变。基于系统轨迹的第一曲率k1(t)和第二曲率k2(t)，可以得到三维动力系统的两个瞬时频率f1(t)、f2(t)和与之对应的两个频率指数F1(T)、F2(T)，如式(10)、(11)所示：

(10)

(11)

2 频率指数在简单曲线中的应用

例1：三维曲线α(t),方程为：

α(t)=(sin(ω1t+θ0)cos(ω2t+φ0),sin(ω1t+θ0)sin(ω2t+φ0),cos(ω1t+φ0))。

(12)

基于三维曲线的曲率，求出对应的瞬时频率如式(13)所示：

(13)

时间趋于无穷时，频率指数可以写成式(14)：

(14)

下面分两种情况讨论不同参数下三维曲线α(t)的频率指数：

① 当ω1=0,ω2=6.5×2π,θ0=π/4,φ0=0时，三维曲线α(t)的方程为:

α(t)=(sin(π/4)cos(6.5×2πt),sin(π/4)sin(6.5×2πt),0)。

曲线的相图如图1(a)所示，是平行于x-y面上的一个圆，z方向上无旋度。由图1(b)可知瞬时曲率k1(t)是一个常数，为1.414 2。图1(c)和图1(d)中的瞬时频率f1(t)与频率指数F1(T)都为常数6.5。结合曲线方程，可知6.5是曲线的一个基本频率。频率指数准确地刻画了三维曲线的特征频率，与物理事实十分符合。经计算，第二瞬时曲率k2(t)=0。进而根据式(13)与(14)，得到f2(t)=0和F2(T)=0。第二频率指数F2(T)为零表示曲线只在一个平面上运动，而在其他方向无任何运动。

(a)曲线α(t)的相图

(b)瞬时曲率k1(t)

(c)瞬时频率f1(t)

(d)频率指数F1(T)

图1 曲线α(t)的相图及瞬时曲率、瞬时频率、频率指数(ω1=0)

Fig.1 Phase diagrams of the curveα(t)and instantaneous curvature,instantaneous frequency, frequency index(ω1=0)

② 当ω1=1.5×2π,ω2=6.5×2π,θ0=-(7/8)π,φ0=0时，三维曲线α(t)的方程为:

α(t)=(sin(1.5×2πt-(7/8)π)cos(6.5×2πt),

sin(1.5×2πt-(7/8)π)sin(6.5×2πt),cos(1.5×2πt))

三维曲线的相图如图2所示，轨线呈圆球状。用式(12)和式(13)计算出两个瞬时曲率k1(t)、k2(t)与瞬时频率f1(t)、f2(t)。观察图3的(a)-(d),发现三维曲线的瞬时曲率和瞬时频率随时间均呈周期性变化，具有明显的规律性。轨线在空间中进行旋转运动，频率指数反映了曲线运动的频率特征。由图3(e)与图3(f)可知F1(T)、F2(T)随时间的演化最终稳定地趋于一个常数，分别为7.82和1.38。曲线的两个基本频率是1.5和6.5，F1(T)近似为两个基本频率之和，刻画了曲线运动的主要频率，反映了曲线轨迹在x-y面上运动的平均频率。F2(T)数值较小，描述了曲线轨迹在z方向运动的平均频率。F2(T)的值越大，轨迹在偏离x-y面方向的运动频率越高，速度越快。

图2 曲线α(t)的相图(ω1=1.5×2π)

(a)瞬时曲率k1(t)

(b)瞬时曲率k2(t)

(c)瞬时频率f1(t)

(d)瞬时频率f2(t)

(e)频率指数F1(T)

(f)频率指数F2(T)

图3 曲线α(t)的瞬时曲率、瞬时频率与频率指数(ω1=1.5×2π)

Fig.3 Phase diagrams of the curveα(t)and instantaneous curvature,instantaneous frequency, frequency index (ω1=1.5×2π)

3 频率指数在Rössler动力系统中的应用

Rössler动力系统的微分方程见式(15)，其中，a、b、c是系统的可调参数。

(15)

系统参数取值不同，Rössler吸引子随时间变化会呈现不同的特征状态。文献[13]研究了不同参数对Rössler动力系统结构性变化的影响。展示了参数的改变导致动力系统从稳态到失稳，从规则运动到非规则运动的变化。在非线性动力系统的研究中 ，Lyapunov指数被广泛用于判断系统的运动状态。如果一个动力系统的最大Lyapunov指数为正，那么该系统处于混沌运动状态。否则，系统便做规则运动。特别的，若最大Lyapunov指数始终等于零，那么系统的运动将随时间的演化做规则运动。

取参数a=0.02,b=0.2,c=5.7，系统的初始值(x0,y0,z0)=(4,-4,5)。观察图4的空间相图，系统变量x、y、z呈极限环状，显示出周期性质。图5显示系统的最大Lyapunov指数随时间的演化一直为零，再次表明该状态下吸引子的周期性。观察图6(a)与图6(b)，f1(t)与f2(t)随时间做振荡变化，该过程有一定的规律，具有明显的周期特征。图7的左半部分是两个频率指数：F1(T)、F2(T)，分别稳定地趋于常数0.162和0.031。F1(T)刻画了系统轨线在x-y平面上演化的平均频率。F1(T)的值越大，表明系统变量在x-y平面上的演化能力越强。F2(T)刻画了系统变量在z方向演化的平均频率。a=0.02时，F2(T)的值较小，此时系统在z方向的扩散程度较小，吸引子主要在x-y平面运动。图7的右半部分是F1(T)、F2(T)随时间演化过程中的局部放大图，可以发现，频率指数的演化过程与瞬时曲率和瞬时频率类似，都有较强的规律性，体现了吸引子的周期性质。频率指数不仅从整体上度量了系统轨迹随时间演化的平均频率，而且在该过程中能准确地刻画动力系统的性质。

图4 Rössler系统的相图(a=0.02)

Fig.4 Phase diagram of the Rössler system(a=0.02)

图5 最大Lyapunov指数(a=0.02)

Fig.5 Largest Lyapunov exponent(a=0.02)

(a)瞬时频率f1(t)

(b)瞬时频率f2(t)

图6 瞬时频率f1(t)与f2(t)(a=0.02)

Fig.6 Instantaneous frequencyf1(t)andf2(t)(a=0.02)

图7 频率指数F1(T)和F2(T)(a=0.02)

当参数为a=0.2,b=0.2,c=5.7时，Rössler动力系统相图如图8所示。吸引子的运动从图4 的x-y平面运动扩散到了三维空间中。观察到x、y、z三个变量随时间的变化做不重复的非线性运动，轨线之间无交叉且不重叠，吸引子处于混沌状态。图9中最大Lyapunov指数随时间的演化大于零，说明系统处于非规则运动状态，发生混沌。

图8 Rössler系统的相图(a=0.2)

Fig.8 Phase diagram of the Rössler system(a=0.2)

图9 最大Lyapunov指数(a=0.2)

Fig.9 Largest Lyapunov exponent(a=0.2)

图10中的f1(t)、f2(t)与参数a=0.02时差异较大，两个瞬时频率随时间的演化都毫无规律，演化过程不具有周期特征。观察图11的左半部分，F1(T)与F2(T)在初始时都出现了较小程度的波动，但随着时间的推移，两个频率指数最终都稳定地趋于一个固定值，分别为0.2与0.12。与吸引子处于极限环状态时相比，F1(T)与F2(T)的值均有所增加。对比观察a=0.02与a=0.2时Rössler系统的相图，发现变量在x-y平面运动的范围扩大，且由F1(T)的增加可知轨线演化的频率也在增加。F2(T)的增加导致系统变量在z方向扩散的频率加快，吸引子的振荡幅度逐渐加大，系统变量逐渐向外扩展。再进一步观察图11右半部分两个频率指数的局部放大图，可以发现频率指数的变化过程波动起伏，无明显规律，呈现出混沌特征，与最大Lyapunov指数判断Rössler动力系统状态的结论一致。再次观察图9和图11，可知最大Lyapunov指数收敛到一个常数的时间大于频率指数收敛的时间，频率指数判断系统运动状态的速度更快一些。

(a)瞬时频率f1(t)

(b)瞬时频率f2(t)

图10 瞬时频率f1(t)与f2(t)(a=0.2)

Fig.10 Instantaneous frequencyf1(t)andf2(t)(a=0.2)

图11 频率指数F1(T)及F2(T)(a=0.2)

4 结语

本文用频率指数研究了基本三维曲线及Rössler动力系统的性质。利用频率指数对动力系统轨迹的曲率进行了定量描述，刻画了动力系统的特征频率。频率指数在基本三维曲线中随时间稳定地趋于一个固定值，准确地刻画了曲线在空间中演化的特征频率，并且与物理事实相符。着重讨论了频率指数在Rössler动力系统中的应用，讨论了两种参数下吸引子的演化情况，并与最大Lyapunov指数做对比，分别研究了系统吸引子处于周期状态与混沌状态下频率指数的收敛过程。

频率指数是空间曲率的瞬时频率在长时间平均的极限，描述了动力系统随时间演化的长期行为。无论Rössler动力系统处于规则状态或者混沌状态，频率指数最终会随时间的演化稳定地收敛到一个常数。更重要的是，Rössler动力系统在不同运动状态下频率指数的收敛过程不相同：当动力系统处于规则状态时，频率指数随时间演化的过程中将体现周期性质，而当动力系统处于混沌状态时，频率指数随时间的演化杂乱无章，没有规律。对比其他常用研究动力系统的方法，如Lyapunov指数。频率指数因其计算量小，收敛速度快等优点，可以作为一个新的研究动力系统的指标，用以定量分析动力系统的特征状态。