圆锥曲线“易错问题”归类剖析

■湖南省道县第一中学 陈 珠

在圆锥曲线的学习中,同学们由于未从根本上理解曲线与方程之间的一一对应关系,故而在数形结合与转化时常出现偏差和遗漏,在繁杂的运算中,忽视等价性,导致 “失根”或 “增根 “的现象。本文针对圆锥曲线中常见的易错、易混、易忘的典型题进行错解剖析和警示展示,希望引起同学们的高度重视。

一、忽略圆锥曲线定义中的隐含条件致错

例1已知动点P(x,y)满足则P点的轨迹是( )。

A.直线 B.抛物线

C.双曲线 D.椭圆

错解:将4y- 11| 变 形 为即动点P(x,y)到定点(1,2)的距离等于到定直线3x+4y-11=0 的距离,利用抛物线的定义,得点P(x,y)的轨迹是抛物线。故选B。

剖析:错解中忽略了定点(1,2)就在直线3x+4y-11=0上这个隐含条件,应选A。

警示:平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线。当定点在定直线上时,轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线,而非抛物线。双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件。若2a=|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若2a＞|F1F2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值,则轨迹仅表示双曲线的一支。

二、忽略椭圆标准方程中的隐含条件a2≠b2 致错

例2直线y-kx-1=0与椭圆恒有公共点,则m的取值范围是____。

错解:因为直线y-kx-1=0 过定点(0,1),根据椭圆方程可知m＞0,所以椭圆与y轴正半轴的交点为若直线与椭圆恒有公共点,只要点(0,1)在椭圆内部或椭圆上即可,所以解得m≥1。

剖析:错解中忽略椭圆标准方程=1中的隐含条件 “a2≠b2”,应补充m≠5,所以实数m的取值范围是[1,5)∪(5,+∞)。

警示:椭圆标准方程中的隐含条件为 “a,b∈R+,a2≠b2”,在求解参数范围时更要注意,原因在于圆不是特殊的椭圆。

三、忽略椭圆或双曲线的焦点所在位置的讨论致错

例3已知椭圆的离心率为则k=____。

错解:由解得k=4。

剖析:忽略对焦点所在位置的讨论,导致漏解。若k＞1,则解得k=4;若-8＜k＜1,则解得

警示:由椭圆标准方程求解参数值时,一定要注意焦点所在的位置,当位置不确定时要分两类进行讨论。

四、忽略直角三角形直角顶点位置的判断致错

例4已知椭圆的左焦点和右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若F1,F2,P为一个直角三角形的三个顶点,则点P到x轴的距离为____。

错解:因PF1⊥PF2,设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n= 2a= 8。 又c=所以m2+n2=(2c)2=48,可得2mn=16。由等面积法知所以可求得点P到x轴的距离为

剖析:只考虑P为直角顶点的情形,忽略PF1⊥F1F2或PF2⊥F1F2的情形,当PF2⊥F1F2时,点P到x轴的距离为通径的一半,即

综上,点P到x轴的距离为或1。

警示:焦点三角形为直角三角形,要借助c2,b2的大小关系判断解的情况,若c2＜b2时,直角顶点为两焦点且有两种情形;若c2=b2时,直角顶点为椭圆的上下两顶点;若c2＞b2时,直角顶点为四种情形。注意椭圆的对称性,借助等面积法和半通径的长可求得直角顶点到x轴的距离。

五、忽略椭圆参数方程（三角换元）的应用致错

例5设点P(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,求x+y的最大值和最小值。

错解:因为4x2+y2=4,所以4x2≤4,得-1≤x≤1,同理-2≤y≤2,故-3≤x+y≤3,即x+y的最大值和最小值分别为3,-3。

剖析:本题中的x、y除了分别满足条件-1≤x≤1和-2≤y≤2,还受条件4x2+y2=4的约束。当x=1时,y此时取不到最大值2,故x+y的最大值不为3。选用点参式(三角换元)代入,令x=cosθ,y=2sinθ,则,故其最大值为最小值为

警示:凡是动点在圆或椭圆上的有关最值问题,用圆或椭圆的参数方程,点参式代入构建目标函数,利用三角变换化为三角函数的有界性求解,凸显了参数方程的简化功能。

六、椭圆或圆与曲线有交点时误用判别式或漏用判别式致错

例6已知椭圆3x2+2y2=6x与曲线x2+y2-k=0恒有交点,求k的取值范围。

错解:由消去y得x2-6x+2k=0,所以

剖析:Δ≥0 只能保证方程x2-6x+2k=0 有解,但不能保证原方程组有解。因为原方程组中有隐含条件0≤x≤2,消去y后得到的关于x的一元二次方程缺少这个限制条件。

警示:二次曲线与二次曲线的位置关系,隐含曲线的范围,构建方程组消元后转化为二次方程根的分布求解。椭圆与直线有交点时,构建方程组消元后转化为二次方程有实数根,此时一定要验证其判别式。

七、忽略直线与抛物线或双曲线的位置关系研究中的特殊情形致错

例7已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2 2,记动点P的轨迹为W。

(1)求W的方程;

(2)若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求的最小值。

错解:(1)由|PM|-|PN|=2 2知,点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,所以实半轴长又半焦距c=2,所以虚半轴长b= 2,所以W的方程为=x1x2+y1y2=x1x2+

(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+m,联立方程组消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,则

剖析:第(1)问的解答是正确的。第(2)问的解答中忽视了直线AB的斜率不存在的情况,从而导致了无最小值的错误。错解中补上:当AB⊥x轴时,x1=x2,从而y1=-y2,所以则的最小值为2。

警示:直线与圆锥曲线的位置研究中,设直线方程,然后把直线方程和曲线方程组成方程组,消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程。利用根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系,凸显 “设而不解,整体思维”的特点,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形的讨论。

八、“点差法” 求解与弦中点有关问题时忽略相交的前提条件致错

例8已知双曲线过B(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于M,N两点,且B为MN的中点? 若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由。

错解:设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点B(x,y),MN的斜率为k,由题设知,两式相减得(x1+x2)·把x1+x2=2,y1+y2=2代入有这说明直线的斜率为2,即y=2x-1为直线l的方程,故存在。

剖析:把y=2x-1 代 入整理得2x2-4x+3=0,因为Δ=16-4×2×3＜0,所以此方程无实数根,即M,N根本不存在,故不存在这样的直线l,上述错误的原因是忽视直线和双曲线相交的前提。

正解1:在错解的基础上补充:将y=2x-1代入整理得2x2-4x+3=0,因为Δ=16-4×2×3＜0,只能说明y=2x-1不满足,还得研究x=1 能否满足,显然过B点垂直x轴的直线也不符合题意,则不存在。综上,这样的直线不存在。

正解2:用通法,显然过B点垂直x轴的直线不符合题意。 下面讨论斜率存在的情况。设l的方程为y-1=k(x-1),代入双曲线方程整理得(2-k2)x2-

设M(x1,y1),N(x2,y2),则有x1+解得k=2。

由于当2-k2=0 时,直线与渐近线平行,不符合题意。

由直线与双曲线必须有两不同交点,所以(※)式的Δ=4k2(1-k)2+4(2-k2)(k2-2k+3)＞0。把k=2代入得Δ=-8＜0,故不存在满足题意的直线l。

警示:“点差法”揭示了弦的斜率可以用弦的中点的横、纵坐标来表示。凡涉及弦的中点等有关问题都可选用“点差法”简化求解。但用此法时必须以直线和圆锥曲线相交为前提,否则就会出错。