一道椭圆题的源和流

■安徽省六安二中 陶兴红

题目:已知椭圆C的方程为1,A是椭圆上的一点,且A在第一象限内,过A且斜率等于-1 的直线与椭圆C交于另一点B,点A关于原点的对称点为D。

(1)证明:直线BD的斜率为定值;

(2)求△ABD面积的最大值。

该题是圆锥曲线中的定值和最值问题,圆锥曲线中的定值定点问题是高考常考题型,也是近几年高考考查圆锥曲线的重点和热点。解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关,不随参数的变化而变化,而始终是一个确定的值。圆锥曲线中的最值问题是高考中的一类常见问题,体现了圆锥曲线与三角、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识之间的横向联系。通过探究,笔者发现该题的第(2)问有下列两种常见解法:

解析:(1)设直线AB的方程为y=-x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),则D(-x1,-y1)。联立消去y,得3x2-4mx+2m2-4=0,由韦达定理得x1+x2=

因此直线BD的斜率为定值。

方法2:设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AB的方程为y-y1=-(x-x1),即x+y-x1-y1=0。

根据椭圆的参数方程,可设x1=2cosθ,

说明:通过设动直线AB的斜截式方程和动点A,B,D的坐标,再联立直线方程和椭圆方程,得到方程组,消元得到一元二次方程组,利用韦达定理,便知道动点坐标之间的关系,最后利用两点式斜率公式,将斜率式转化为坐标关系,通过化简变形和消元,便得出动直线BD的斜率,求面积最值就是选择适当的参数和求法将所求的面积表示为该参数的表达式,其中解法1 以动直线的斜率为参数,解法2以动点A的坐标为参数,将所求的面积先表示为该参数的表达式,再根据椭圆的参数方程,将面积表达式转化为三角函数式,最后求出此三角函数式的最值。

推广1:已知椭圆C的方程为1(a＞b＞0),A是椭圆上的一点,且A在第一象限内,过A且斜率等于k(k＜0)的直线与椭圆C交于另一点B,点A关于原点的对称点为D。

(1)证明:直线BD的斜率为定值;

(2)求△ABD面积的最大值。

解析:(1)设直线AB的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),则D(-x1,-y1)。

因此直线BD的斜率为定值。

点O到直线AB的距离则点D到直线AB的距离d2=2d1=

即△ABD面积的最大值为ab。

这里需要指出的是△ABD面积的最大值ab与直线AB的斜率k无关。

推广2:已知圆O的方程为x2+y2=a2,A是圆上的一点,且A在第一象限内,过A且斜率等于k(k＜0)的直线与圆O交于另一点B,点A关于原点的对称点为D。

(1)证明:直线BD的斜率为定值;

(2)求△ABD面积的最大值。

推广3:已知双曲线C的方程为=1,A是双曲线上的一点,且A在第一象限内,过A且斜率等于k(k＜0)的直线与双曲线C交于另一点B,点A关于原点的对称点为D。

(1)证明:直线BD的斜率为定值;

(2)求△ABD面积的最大值。

推广2和推广3 留给读者自行解决,方法类似。

最后,在平时解题过程中我们要有探究意识、推广意识和拓展意识,比如,探究特殊的能否推广为一般的,二维的能否推广为三维的,两个变量的问题能否拓展为三个或三个以上变量的问题,圆锥曲线是椭圆的问题能否拓展为双曲线的问题或抛物线的问题等。只要做到这一点,我们就能收到做一道题,会一类题,通一片题的效果。我们拿到一道题目后,会知道出题者的意图,会发现出题者的陷阱。即便出题者粗心出现了一个错误,我们也能够很快地把它纠正出来。