形式三角矩阵环上（F，F）-Gorenstein投射模

何东林，李煜彦

（陇南师范高等专科学校数信学院，甘肃 陇南 742500）

Gorenstein 同调理论是相对同调代数的重要内容.1969年Auslander 和Bridger[1]讨论了双边Noether 环上有限生成模的G-维数，1995年Enochs 和Jenda[2]给出任意环上Gorenstein 投射模的概念，由于Gorenstein 投射模有许多与投射模类似的性质，引起了很多作者的关注和研究.特别地，Pan 等人[3]将其推广到（X，Y）-Gorenstein 投射模.易知（P，P）-Gorenstein 投射模就是Gorenstein 投射模，其中P 表示投射模类.形式三角矩阵环作为环论中一类重要的非交换环，在环模理论和代数表示论中扮演着重要的角色.2011年Enochs 等[4]研究了形式三角矩阵环上的平坦覆盖与极小Quillen 分解.2014年Eshraghi等[5]进一步讨论了形式三角矩阵环上Gorenstein 投射模.自然而然地，可考虑形式三角矩阵环上的（F，F）-Gorenstein 投射模的性质和等价刻画，其中F 表示平坦模类.

其中α1:X→U 左R-模同态，α2:Y→V 为左S-模同态.为了方便，文中的左Γ-模均用三元组的形式.对应地，左 Γ-模同态均用二元组[α1，α2]的形式.同态[α1，α2]作用于元素均为右侧作用，即同态的合成为右侧合成，即对任意同态[α1，α2]与[β1，β2]的合成记为左 Γ-模中的零模简记为0，其余未涉及的概念和记号参见文献[7-8].

1 定义和引理

定义1[3]设A 为任意结合环，X 和 Y 均为左 A-模类且P⊆X.称RM 模是（X，Y）-Gorenstein 投射模，如果存在正合列

其中Xi∈X，M≅Ker（X-1→X-2）且对任意Y∈Y，该序列在函子HomR（-，Y）下正合.

（1）δ 在函子HomR（-，Y）下正合；

（2）对所有i∈Z，短正合列0→Kerfi→Xi→Kerfi-1→0 在函子HomR（-，Y）下正合.

证明 由Hom 函子的性质易证.

引理2[4]是左Γ-模，则以下条件等价：

（2）φ :M⊗RX →Y 是单同态，X 是平坦左 R-模且余核 Cokerφ 是平坦左 S-模.

（1）Ker([α1，α2])=其中（对任意m∈M，x∈Kerα1）.进而[α1，α2]是单同态当且仅当 α1，α2均为单同态.

（2）Im([α1，α2])=其中u∈Imα1）.进而[α1，α2]是满同态当且仅当 α1，α2均为满同态.

即（1M⊗α1）φ=φα2.因为对任意 m∈M，x∈Kerα1，有

可见（m⊗x）φα2=0，（m⊗x）φ=Kerα2.不妨令

注意到下图可交换

（2）证明过程与（1）对偶.

为了方便，下文中均假设ε 是左Γ-模复形，ε 及与其相关的导出复形具体形式如下：

引理4 复形ε 为正合复形当且仅当εR和εS均为正合复形.

2 主要结论

定理1 设εR为正合复形，且εR在M⊗R-下仍正合.则以下条件等价：

（1）对任意FR∈RF，εR在函子HomR（-，FR）下仍正合；

（2）对任意FR∈RF 和i∈Z，正合列下正合；

证明由εR为正合复形且εR在M⊗R-下正合易知，导出复形也是正合复形.根据引理 1 和引理 3 可得（1）⇔（2）且（3）⇔（4）.只须证明（2）⇔（3）.

可交换，即（1M⊗h1）η=h2，所以

（3）⇒（2）对任意 FR∈RF 和 i∈Z，由引理 2 知是左Γ-平坦模.对任意模同态考虑左Γ-模同态由（3）知存在同态使得

定理2 设εS为正合复形，且 M⊗RF⊆SF⊥.则以下条件等价：

（1）对任意FS∈SF，εS在函子HomR（-，FR）下仍正合；

（2）对任意FS∈SF 和i∈Z，短正合列在HomS（-，FS）下正合；

证明 由εS为正合复形易知，导出复形是正合复形.由引理1 和引理3 得（1）⇔（2）且（3）⇔（4）.只须证明（2）⇔（3）.

[g1，g2]就是满足要求的同态.因此正合列在函子HomR（-，F）下仍正合.

（3）⇒（2）对任意 FS∈SF 和 i∈Z，由引理 2 知是左Γ-平坦模.要证短正合列在函子 HomS（-，FS）下仍正合，只须证对任意左 S-模同态总存在同态使得注意到为左Γ-模同态，由（3）知存在同态使得可见不妨令则 g 就是满足要求的同态.因此在HomS（-，FS）下正合.

（2）对任意QR∈RF 和QS∈SF，有εR在函子HomR（-，QR）下正合且Coker ε 在HomS（-，QS）下正合.

证明 由ε 为正合复形和引理4 易知，εR和εS为正合复形.又由εR在M⊗R-下正合知，M⊗RεR也是正合复形.因为由引理 2 可知且 φi为单同态.根据复形正合列 0→M⊗RεR→εS→Coker ε→0 得，Coker ε 也是正合复形.考虑复形短正合列

由定理3 易得如下结论.

推论2 设εR和εS均为正合复形，下正合且M ⊗RF⊆SF⊥.则以下说法成立：

（1）如果 U 是（F，F）-Gorenstein 投射左 R-模，那么是（F，F）-Gorenstein 投射左Γ-模.

（2）如果 V 是（F，F）-Gorenstein 投射左 S-模，那么是（F，F）-Gorenstein 投射左 Γ-模.

定理4 设εR和εS均为正合复形，下正合且则以下条件等价：

（2）X 是（F，F）-Gorenstein 投射左 R-模，Cokerφ 是（F，F）-Gorenstein 投射左 S-模且 φ是单同态.

3 总结

利用同调代数的方法，研究了形式三角矩阵环Γ 上的（F，F）-Gorenstein 投射模.结果表明由模RX 和SY 以及左S-同态φ:M⊗RX→Y 组成的Γ-模是（F，F）-Gorenstein 投射模，当且仅当RX 和SCokerφ 均是（F，F）-Gorenstein 投射模且 φ 为单同态.从而补充了形式三角矩阵环上模的基础理论.