向量背景下动点问题解法例析

龙 玲

(江苏省扬州大学数学科学学院 225000)

对于需要求出与动点相关的不定向量的问题，解题难点在于即使是单动点，它产生的不定向量也有多个.考虑单个不定向量，将之与定向量联系起来，用三角形法则或平行四边形法则将之转化可以求解.一般地，我们选择大小和夹角已知的最少的不共线向量作为一组基底来表示和动点有关的不定向量.

一、例题

例1 (2018湖师大附中)如图1，正方形ABCD的边长为4，E,F分别为BC,DA的中点，将正方形ABCD沿着线段EF折起，使∠DFA=60°.设G为AF中点.

(1)求证DG⊥EF；

(2)求直线GA与与平面BCF所成角的正弦值；

(3)设P,Q分别为线段DG,CF上的点，且PQ∥平面ABEF，求线段PQ的长度的最小值.

图1 图2

二、多种解法

1.基底法

若通过建立坐标系求解此类动点问题，则恰当地表示出动点坐标显然是解题关键.这种恰当的表示意味着所含未知数尽量少且有助于实现解题目标，有下述两种方法.

2.向量共线法

3.点在线上法

分析利用动点所在的直线方程，把原本应设成Q(x,y,z)中的y,z用x表示出来，与向量共线法一样达到了把动点坐标未知数降到最少的目的.能利用向量共线法求解的动点问题都可以用点在线上法求解.运用此方法解题时需要注意准确把握直线方程的起止点.

向量背景下的动点问题题型众多，而解题关键往往是求出与动点相关的不定向量或动点坐标.利用基底法可以求出与动点相关的不定向量，若从求解动点坐标的角度出发，要达到减少坐标未知数的目的可利用向量共线法或者点在线上法.