小学数学逻辑推理教学的三类问题与应对

姚建法 陈建伟

逻辑推理是把一个或几个具有逻辑结构的已知判斷素材作为推理对象，运用与思维形式有关的逻辑方法，遵守严格的推理规则，理智地作出恰当的判断或进行合乎逻辑的推定，从而得到一个未知结论。它主要包括演绎推理（从一般到特殊）、归纳推理（从特殊到一般）和类比推理（从特殊到特殊，或从一般到一般），三者辩证统一。苏教版小学数学教材中有着丰富的逻辑推理素材。然而由于本体性知识的缺失，教师对数学逻辑推理的内涵把握不清，教学拿捏不准，出现学生立场“不学生”、规范表达“不规范”、过程实施“不过程”等推理假象或问题现象。教师须从理性层面展开监控，尝试剖析，形成对策，从而培养学生的数学逻辑推理能力。

一、学生立场“不学生”现象——数学逻辑推理需要思维更清晰

逻辑推理能力是思维的能力，是推理主体敏锐地对推理对象展开逻辑思维分析，迅速把握问题核心，用逻辑的语言作出合理正确推断的技能与水平。一定程度上，小学数学逻辑推理由推理对象、推理逻辑和推理结论组成。学生是学习的主体，教学中要把学生放在“正中央”。学生对推理对象首先要有清晰的认知与理解，因为“教学是在经验中，由于经验和为着经验的一种发展过程，显然对‘儿童已有经验的不定读解存在影响儿童经验成长的可能”[1]。

【案例1】一年级上册第五单元“认数（一）——‘=‘>‘<”。

师（出示四个苹果实物）：小朋友们，数一数，这里有几个苹果？

生：4个。（师板贴4个苹果图，并写“4”。）

师：（出示四个桔子实物）：再数一数，这里有几个桔子？

生：4个。（师板贴4个桔子图，并写“4”。）

师：苹果有4个，桔子有4个，那么这两个4一样大吗？（师在两个4之间画一个“○”）

生：不一样大，苹果大。

……

作为数关系教学的“种子课”，教师用水果代替教材例题中的动物，更生活化地抽象出“两个4”，试图引导学生得出“两个‘4一样大”，即“4=4”，并将水果奖励给学生，结果事与愿违。事实上，对于直接感知的推理对象，小学低年级学生更多停留在简单的演绎思维，其理解的“大”是生活的、是形体空间的“大”，而教师的“大”是数学的，是作为“高度抽象的数”的大小关系，这就形成学生立场的游离，造成认知困难、理解误区与思维错位。

史宁中教授指出：“数学的本质是在认识数的同时，认识数量及数量之间的关系，进一步抽象为数及数之间的关系。数量之间最基本的关系是多与少，与此对应，数之间最基本的关系是大与小。”所以，基于学生立场，一方面要创设学生从生活事件分离出数学现象，并抽象成数学符号的境场，另一方面教师语言也需“数学专业化”。比如该例题教学可分为三个层次清晰的数学逻辑推理过程：第一层，情境图中数出4只兔子与4只猴子，初步感知数量同样多;第二层，一一对应板贴动物头像，体悟“同样多”便“相等”;第三层，问“多”不问“大”，先抽象出数量之间的多少关系，再用数学符号抽象出数之间的大小关系“4=4”。整个过程应用推理“三段论”模型可以进行如下转译：“因为数量同样多即大小相等（大前提），兔子和猴子的数量都是4只（小前提），所以4=4（结论）”。过程清晰了，数学推理的逻辑思维也就清晰了。

二、规范表达“不规范”现象——数学逻辑推理需要思维更全面

小学数学逻辑推理是基于一个或几个已知的具备逻辑关系的数学前提，通过科学严谨的数学逻辑思维形式，得到未知的数学结论，它是实现数学现象“数学化”的思维过程与行为方式，在不同的年龄阶段表现出不同的发展层次。在数学学习过程中，学生不仅要清晰地用数学思维去观察、解读现实世界和数学现象，还须用严谨而全面的数学语言规范表达逻辑推理的思维展开过程。

【案例2】一年级上册第八单元“加法和减法——认识减法”“想想做做”。

师：请大家独立观察，完成第1、2题，并想一想有什么发现？

第一层：交流算式与结果。

第二层：交流发现。

生：走掉的越多，剩下的越少。

生：划掉的圈越多，剩下的圈越少。

师：是的，大家观察得真仔细！

在这个案例中，“走掉的”“划掉的”都是通过动作表征或图像表征得到的数学现象，进一步抽象才是“减掉的数”（后续学习称为“减数”）。学生的归纳表达是基于自身学习经验或生活经历的感性认知，所表征的方式与结论是原生态下的朴素语言，教师要及时提炼成数学语言。值得注意的是，“原来的数（即“被减数”）相同”常被学生甚至教师忽略，数学逻辑推理因为缺失“相同”这个基本要素而逻辑不严谨、表达不规范。这一点，在三、四年级学习了乘除法之后表现得尤为明显。

表达需要有始有终、有根有据、有条有理，教师要有意引导学生从“不变与变”的视角进行有序观察，并归纳表达，并要求学生再举一些算例，甚至还可以追问有没有反例，理性地得出“因为原来的数不变，所以减掉的数越多，剩下的数越少”。“不变+变+结论”的逻辑推理范句，既为今后运算规律的规范表达提供模型，又渗透了不完全归纳推理的逻辑思维，彰显数学推理的严谨性，以及数学思维的全面性。

值得注意的是，在规范表达的过程中涉及的一些数学用语，需要关注不同年龄阶段学生的心理水平和学习经历，体现阶段性，逐步发展、提升学生的数学思维。比如上面案例在后续学习中将进一步抽象为“被减数相同，减数越大（小）差越小（大）。”

三、过程实证“不过程”现象——数学逻辑推理需要思维更合理

数学作为一门科学，数学结论的得出，仅凭感觉是远远不够的，过程实证的缺失现象较为普遍。基于数学思维活动，数学思维方法可以分为理论科学（演绎证明、系统化等）和经验科学（观察、归纳、类比、猜想等）两类[2]。可见，“由A（模型）则B（原型）”的类比和不完全归纳，都是基于经验的数学思维方法，得到的结论是否正确还须进行实证研究，用“数学事实”说话，要么证实，要么证伪。

【案例3】五年级上册第五单元“小数乘法和除法——小数混合运算”。

师（出示例题）：你会算吗？独立试一试，完成后小组交流。

集体分享：你是怎么想的？有什么发现？

小结1：运算顺序与整数相同。

小结2：小数也有乘法分配律，也有运算律。

师：是不是所有运算律都适用小数呢？（出示例题中的三个算式）

学生计算、观察每组两式的关系。

交流小结后继续自由举例，验证各种运算律。

交流并追问：有没有反例？

得出结论：整数加法、乘法的运算律，对小数加法、乘法同样适用。

学生回顾推理过程，交流体会。

本案例中，学生由整数混合运算顺序和运算律作为模型，类比得到小数混合运算顺序和运算律的原型，直觉上顺理成章，许多师生便会因此“省略”论证过程，直奔结论。事实上，一方面“类比推理的规则在所有的逻辑推理中是最不严格、最不确定的。……类比在数学思维中的主要作用表现为发现问题、提出猜想、建立模拟”[2]，其结论有时正确，有时不正确;另一方面，不完全归纳作为数学实证方法，例子的不可穷举性势必导致推理结论的或然性。教师有意识地组织学生充分经历“发现问题（类比）→提出猜想→“实证研究”（不完全归纳）→得出结论”的数学推理全过程，使得学生的数学思维不但合情，还更深刻、更合理，彰显了数学理性。

数学逻辑推理的培养需要教师站在儿童立场，对理论进行实践性解读，并在实践中开展理论性反思，师生多元互动，有计划、系统地经历逻辑推理的数学化过程，积累数学逻辑推理的思维经验，提升思维品质。

参考文献

[1] 瞿卫华.“前经验课程”：儿童已有经验的教学价值建构[J].江苏教育研究，2015（Z5）.

[2] 张乃达.数学思维教育学[M].南京：江苏教育出版社，1990.

[责任编辑：陈国庆]