以数学实验为载体 再探三角形中位线

◎ 钱静静

《全日制义务教育数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实验、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。在完成一定阶段的数学学习后，引入一节数学实验拓展课可以为学生发现问题、提出猜想、验证猜想和创造性地解决问题提供一个操作平台。这也是完善学生认知结构，提高学生数学素养，并使其全面认识数学两个侧面的重要途径。

笔者结合八年级教学进度，开设了一节数学实验拓展课“折出面积为原图形一半的矩形”，现将教学叙事与反思呈现。

一、教学叙事

学情分析：八年级学生刚刚结束第五章《特殊平行四边形》的新知学习，初步构建起了平行四边形、三角形的中位线、矩形、菱形以及正方形之间的知识体系，具备了一定的空间观念、数感以及符号感，会通过几何语言描述推理边角关系以及面积计算。加之章节学习时经历了折叠、剪拼等助学形式为新知学习带来的愉快体验。为了体验数学实验课的乐趣，体会知识点之间的联系，拟通过折出面积为原图形一半的矩形，让学生经历“想象——实验——交流——推理——反思”这一系列数学规律探究过程，巩固三角形中位线性质的应用，在活动中不断提高学生综合运用知识的能力。

教学目标：经历观察、猜测、实验、抽象、交流、合作、推理与反思等一系列活动，通过折叠与剪拼巩固三角形中位线的性质，更好地用中位线性质来计算边长，发展推理能力。

教学重难点：引导学生探索如何折出面积为原图形一半或相等的矩形。

课前准备：边长为3cm，4cm，5cm的直角三角形纸片，任意形状三角形纸片，剪刀。

教学过程：

1.提出问题

(1)图1是一个边长为3cm，4cm，5cm的直角三角形纸片，小明想将它折叠成一个矩形，并且矩形的面积为原直角三角形的一半。通过计算，小明发现折叠完成后的矩形面积应该为3cm2，可是确定不了边长。你能设计一个折叠方案吗？

图1

图2

(2)图2是一个任意三角形纸片，你能用最少的步骤将其折叠成一个矩形，并且面积为原三角形的一半吗？

设计意图：通过问题(1)创设的简单实际情境，直接引发学生探究兴趣，具体的数据便于学生计算推理，学生可以借助折叠手头上的纸片模型进行操作，同时解决问题(1)的过程也为问题(2)的解决提供了途径。

2.提示交流

师：在问题(1)中，要想得到面积为3的矩形，可以考虑其两边长分别是原直角三角形直角边的一半。那么应该怎么折叠呢？请尝试一下。

类比问题(1)，考虑矩形的一边长是BC的一半，一边长是原三角形高的一半。那么怎么样折叠能得到这个矩形呢？

设计意图：呈现指向明确的问题后，学生立即置身在一个有趣而富有挑战性的问题情境中去。这样的实验有了问(1)的方法铺垫不会显得高不可攀。学生都抱着“试试看也许能行”的想法动起手来操作，再加上教师的提示，让他们具有“我可以解决”的信心。此时，学生的好奇心和求知欲自然而然引导着他们去猜想、操作、推理，甚至自发去和同学交流想法，亲自经历数学知识的发生过程，体现了数学实验以教师为引导，学生为主体的教学原则。

3.问题解决

经过尝试，学生对问题(1)的解决提供了以下方法(如图3、图4所示）：

图3

图4

在上面两种折叠方法中，其折叠的顺序不同，但是应用的原理都是三角形的中位线性质，即，由此得到面积为3的矩形。

在问题(1)解决的基础上，学生类比得到问题(2)的解决途径(如图5所示)：

图5

若以BC为底边，先折叠出该边上的高AD，通过折叠，将点A与点D重合交AC于点E，交AB于点F(即EF为中位线)，最后通过折叠，使点C与D重合，点B与D重合，即可得到面积为一半的矩形ECHF。

(1)精彩归纳

一位平时课堂很少发言的学生归纳道：通过上述两个问题，我发现将一个三角形折叠成一个面积为一半的矩形的问题，可以通过三角形中位线性质来解决，一般步骤是：

第一步：折出三角形的一条高线；

第二步：沿着高线对折，使顶点与垂足重合(即折出第一条中位线)；

第三步：通过对折将剩余的顶点分别与垂足重合(即折出另外两条中位线）；

此时便能得到面积为原三角形面积一半的矩形。

(2)意外生成

在笔者正准备出示下一题时，坐在第一排的一位女生小声嘀咕：“我怎么折出来的是正方形啊？”同桌瞄了她一眼道：“你画的三角形太特殊啦。”由于笔者接下来正好想展示关于折出正方形的例题，便将该女生的答案呈现(图 6)。

图6

图7

师：这位同学折出了面积是原三角形一半的正方形，大家能说说原三角形特殊在哪里吗？

此时学生炸开了锅，小组成员之间互相交流讨论验证，特别是提出这个问题的女生，她未曾想到全班学生都在为她解决问题，显得十分开心。

师：大家不妨反过来想想，如果四边形DEFG是一个正方形，你能得到哪些结论？

经过简单提示，有学生即刻恍然大悟，分享了自己的推理：由四边形DEFG是一个正方形可知DG=GF，再利用中位线性质，易得AP=BC，也就是说原三角形一边与它上面的高如果相等，就能折出正方形了。

师：一个不经意的疑问可以带给我们探究的动力与方向，希望大家能勇于提出问题，一起协商解决。

随后笔者呈现了事先预备好的例1，学生一见到便“哦”声不断，因为他们已经有了解决方法，同时也十分佩服之前那位女生的无心插柳。

(3)水到渠成

例1：如图 7所示，已知△ABC 的面积为 8，AC=6，点 D，E，F，G 分别在三角形的三边上，四边形DEFG是正方形，且面积为△ABC的一半，求CF的长。

师：想一想，正方形是通过怎样的折叠得到的？根据上面的步骤，你能求出哪些线段的长度？这些线段与CF是什么关系？

生1：由于正方形面积为三角形面积的一半，所以正方形可以由此前的图6方式折叠得到。

图6

生2：折叠则易知DG是△ABC的中位线，∵AP⊥BC，

……

师：通过对条件的充分挖掘，我们解决了原本看似不可能完成的任务，这是大家一起交流合作的成果，希望在接下来的环节中，我还能看到你们思维碰撞的火花。

(4)变式巩固

师：三角形中的矩形面积如果为三角形面积的一半，我们通常考虑将三角形沿中位线折叠形成，由此便能得到相关的边角关系。多尝试，多探索，你会随时乐在其中。请同学们再次发挥团队作用，尝试解决下面的问题。

例2：对于一个等腰三角形，我们可以通过以下方案将其剪拼成与之面积相等的矩形。

方案一：如图8所示，沿等腰三角形底边上的高线剪拼成矩形。

图8

方案二：如图9所示，先沿等腰三角形的中位线剪一次，再沿剪下来的小三角形的高线剪一次也可以拼成矩形。

图9

请你设计一种方案，将图10的任意三角形分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形。

图10

短暂思考后，小组交流，学生代表说说思路。

生4：我们小组认为，要剪拼成矩形，可以先剪拼成平行四边形。再沿着过平行四边形一顶点的高线裁剪就可以拼成矩形，所以这个问题现在变成“怎样将一个三角形通过裁剪拼成一个平行四边形呢”了。

生5：这样多麻烦，既然能剪成平行四边形，为什么不一步到位剪成矩形呢？

生6：其实任意三角形和等腰三角形剪法不是类似的吗？只要找到中位线和高线就可以了。

……

在学生的思维碰撞中，该问题的设计思路逐渐清晰，最后归纳出一般三角形的剪拼法：如图11所示，先将三角形纸片沿着中位线剪(可以拼成平行四边形)，然后沿着三角形的高线剪就可以拼成矩形。

图11

生7：两刀剪出个矩形，不就是“两刀矩”？

师：这位同学归纳得很好，确实是很形象呢，这位同学你可以申请个“专利”。大家不妨猜想下，是不是还会有“两刀正、两刀菱”呢？

此时本节课接近尾声。

师：三角形通过剪拼能得到面积相等或者面积为一半的矩形，那么一般的四边形是否也可以实现呢？请同学们课后去尝试一下。下课。

(5)课后衍生

当天下午，有一个小组的学生提供了如图12的剪拼方案，先沿对角线剪开分成二个三角形，然后按例2的方法就可以拼成矩形,此时矩形面积与原四边形一样，不过折出面积为一半的矩形方案还没有想好。

注：学生的模仿能力强，在不断模仿中会逐渐产生创新的冲动，图12的设计既可以看成是对例2的延续模仿，但也是有所创新的，能将四边形分割成两个三角形进行剪拼，本身就是对三角形和四边形关系的一种正确认识与应用。学生能在次设计过程中感受到实验操作的乐趣，同时收获解决问题后的成功体验。

图12

二、教后反思

关于数学实验的思想，Euler说，数学这门科学需要观察，还需要实验；Gauss也说，他的许多定理都是靠实验、归纳法发现的，证明只是补充的手段。英国当代数学家D.A.约翰逊指出：“数学家用以发现新思想的方法之一是进行实验。”它是以《新课程标准》的基本理念为指导，根据数学知识内容以及学生的身心特点，引导学生借助有关工具(纸张、测量工具、模型、制图工具、计算机以及各类软件)，通过操作、实践、试验、推理等一系列过程经历数学知识的产生、发展过程，同时在合作交流中经历感情体验，获得成功的喜悦。

1.抓准起点，融合趣味

数学实验设计的时候起点要适中，不能过高，会造成学生的畏难情绪；不能太低，会无法激发学生的探究兴趣。本节课教学起点建立在学生探究过三角形中位线以及中点四边形的基础之上，借助于特殊平行四边形的相关知识以及新课讲授过程中渗透的剪拼图形法所进行的实验，从特殊直角三角形到一般任意三角形，从面积的一半到面积相等，遵循了从一般到特殊，从常规到创新的探究规律，真正做到了让学生在“做”数学的实践中去感受和体验数学学习的乐趣。

2.方法渗透，注意提炼

在整个数学实验拓展课的过程中，有一点至关重要，就是关注数学思想方法的渗透。通过数学实验的直观展示，让研究的数学规律以一种“可操作”的形式呈现，让原本抽象的数学规律通过学生手中的纸张、剪刀具象化，并在可视化的操作中掌握数学语言的表达和推理。本节课中，学生就很自然将图形割补、数形结合、类比归纳等数学思想方法渗透在解决问题的过程中。

3.师生互动，关注协调

《新课程标准》指出，教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。在数学实验教学中，作为教师，要鼓励学生亲自动手操作实践，大胆发表疑问，对学生提供的各种答案进行充分交流讨论；还要引导学生利用小组合作进行思维碰撞，分享彼此的想法；时刻关注学生的参与状态，及时发现同学们一闪而过的“妙招”，适时给予恰当的评价；找准时机进行小结归纳，对解题方法进行提炼，促使学生思考自己已有经验与所要解决的问题之间的联系，让师生之间，生生之间的交流更有效。

4.积累经验，收获成果

数学实验训练了学生的学习技能，培养了学生的创新能力。学生在一个个精心设计的实验环节中不断积累活动经验，并在已有的基础知识和基本能力协助下提升解决问题、质疑问题的能力。为了使数学实验教学的优势最大化，作为教师要清楚认识目前自己学生的数学认知水平，为不同层次学生提供足够的探索空间，设计出人人能参与，人人能体验的活动。如本节课中，从开始的特殊图形剪拼到一般图形，从实践操作到几何推理，从模仿到再创，将课内知识延伸到课外拓展，一直关注学生的教学活动，让他们在“折”中体验，在“做”中反思，在“算”中总结，积极投入到数学知识的探究发现中去，这不正是学生基本活动经验的积累过程吗？