给我一个空间,还你一片精彩——一道试题讲评所引发的教学思考

广东

王文宏

(作者单位：广东省惠来县第一中学)

一、试题呈现

上课伊始，老师在黑板上打出这次期末考试的压轴题：

(1)讨论函数f(x)的单调性；

教师先公布全班的答题情况：全班65人参加考试，第(1)问全对的有63人，另外2位同学书写不够完整；第(2)问全对的只有5位同学，很多同学都束手无策，全班第(2)问的平均分为2.2分(满分7分)，主要错误体现在转化为最值时，求不出最值或分类讨论思想应用不过关.

又请同学说说自己当时的想法以及现在的思路，同学们各抒己见，充分发表自己的观点，老师微笑点头，并不失时机地给予“点”“拨”引导，同学们大致有三种不同的解题方法，下面是对这部分教学过程的描述：

生1：(1)略；

当k<0时，上述不等式恒成立，满足题设条件；

设h(x)=2x-x2-kex(x≥1)，则h′(x)=2(1-x)-kex<0，

∴h(x)在[1,+∞)上单调递减，得h(x)≤h(1)=1-ke．

∴g(x)在[1,+∞)上单调递减，得g(x)≤g(1)=0，满足题设条件；

∴∃x0∈(1,2)，使得h(x0)=0，又h(x)单调递减，

∴当x∈(1,x0)时，h(x)>0，得g′(x)>0，

∴g(x)在[1,x0)上单调递增，得g(x)≥g(1)=0，不满足题设条件.

老师：你做得很好，当一道题在解题过程中有多种选择时，我们不能盲目选择，要做一番评估，所选方向能否继续做下去，自己的知识储备是否充足？只有考虑充分最后才能把正确结果求出来.

教师：∃x0∈(1,2)，我们能具体求出x0吗?需要如何处理?

生1：我们没办法具体求出x0的值，我们用根的存在性定理找到根x0存在的范围即可.

教师小结：第二问是函数恒成立问题，一般恒成立问题通常都是转化为最值问题，我们通过观察所转化函数知道g(1)=0，只需找到使g′(x)≤0的条件即可，从而求出k的范围.

当x=1，k∈R且k≠0时，不等式成立，满足题设条件；

当x>1时，φ′(x)≥0恒成立，

∴φ(x)在(1，+∞)上单调递增，

∴φ(x)>φ(1)=0，

即x>1时，g′(x)≥0恒成立，

所以g(x)在(1，+∞)上单调递增，

老师：那如果是分子不趋近于零，分母趋近于零，我们还能这样做吗？

老师：还有哪位同学发表一下其他看法？

当x=1，k∈R且k≠0时，上述不等式成立，满足题设条件；

老师：你用一个比lnx还大的x-1来代替求k的范围，所求的k的范围等价吗？

生3：好像不等价，但所求范围是正确的.

老师：我们要求一个满足某个条件的参数的范围，如果把条件范围放大或缩小，所求的范围肯定不等价，那么求出来的结果不一定正确，本题虽然求出的结果相同，但其正确性欠缺论证.

最后，教师总结三位同学不同解法的特点及适用的范围，解决题目的切入口，师生思维的“火花”在激烈的碰撞着，在热烈讨论声中响起了下课铃.

二、教学思考

讲评课是在练习或考试之后，教师对其讲析和评价的一种课型，是一种具有一定特殊性的复习课，也是高三复习教学中的一种常见的课型.本案例采取了“以学生为学习中心”的教学方法，与传统的讲授式教学法相比，更注重以下四个方面：

1.激发思维、把握“度”“悟”

在评讲试卷之前，教师先通过了解、掌握学生答卷中出现的错误，弄清楚学生为什么错了，是在哪一个知识环节上出现了问题，还有哪些技能不太扎实，并做好相关情况的收集，通过让学生在课堂上充分表达自己的解题思路，让学生在数学活动中进行“火热的思考”和主动建构，充分地欣赏和感受数学的魅力．

本节课的课堂教学“容量”并没有因为“放手”而变少.学生的“激情”程度也不会因“互动”而停滞；反而让学生经历了思维的暴露、知识的梳理、方法的总结、能力的提升和素养的涵泳.

本节课在教学的目标上不但能让学生在知识与技能方面的培养达到落实，更能着力培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力.这堂课讲的例题的数量也许是少了，但学生主动参与，身临其境，全面经历了问题解决的全过程.既有成功的体验，也有失败的教训.这对学生的学习能力和学科素养的形成是大有裨益的.真实发生的一切所留下的深刻印象更有助于学生对知识的理解和掌握，且不易遗忘.另一方面，学生反馈的信息，使教师更加了解学生，能够为学生做适时地“点”“拨”，更能激发学生思维的“火花”，提高分析问题和解决问题的能力，达到如期的教学要求，教师能把握好“度”，学生贵在于“悟”.

2.突出重点、“点”“拨”恰当

试卷的讲评应注意突出重点，而不是平均用力，要讲在关键之处，“点”“拨”恰当.不是给学生讲得具体详细些，他们就能学得更快、学得更好.评讲时不能讲究面面俱到，教师讲得太详细，重点无法突出，学生感到很被动，疲于应付，根本没法思考，也不需要思考.教师的做法直接扼杀了学生思维的主动性，让学生一味地被动接受知识，注意力也不可能会持久，学习效果可想而知.新的教学理念强调教师是学生学习的参与者、合作者和引导者，教学的过程是师生交往，共同发展的互动过程，要落实以人为本.只有学生主动学习，积极参与，把课堂还给学生，才能调动起学生的积极性.必须针对学生的实际情况，讲重点、难点和关键点.要结合易混点、易错点，重点放在讲清每道题中所涉及的知识思想方法，在高考中所占的地位，考查的角度和能力层级，以及有利于核心素养培养的活动，要让学生经历知识的发展过程和技能的强化，让学生内化、吸收，最终变成自己的数学学科核心素养.

课堂教学要真正成为“学生学习”的中心课堂，一切教学设计都要从学生实际出发.在本节的教学过程中，教师扮演的不是居高临下的权威角色，而是整个教学活动的组织者和引导者.学生才是课堂上的主角，教师将题目三种不同的解法让学生进行展示，充分让学生发挥自己的潜力和想象力，在关键之处进行适当的“点”“拨”，“扶”学生一把，从而梳理、归纳出解题思路，而等价转化、分类讨论等数学思想方法在教学过程中也很自然地被摆在最突出的位置,更可贵的是学科素养的培养是在这样轻松的教学氛围中，让学生在不知不觉中自然完成！

3.纠正错误、夯实技能

高明的医生能给病人开出良方，关键在于能探明患者的病因.数学试卷的讲评，关键在于能否开出“良方”，避免再犯同样的“病”.一份试卷，学生出错的原因可能很多，也因人而异.例如，有些是在解题过程中误解了题意、混淆了概念，有些是忽略了隐含条件，未弄清楚就草草作答，还有些是明明会做，但因为心理紧张或格式不规范造成的失分.在弄清学生的错情和错因后，就要努力解决好学生出现的错误，以便使后续的教学更加流畅.这也是试卷讲评的最根本的目的.属于概念理解存在片面的(如函数的奇偶性判断，漏掉定义域关于原点对称的讨论)，要对概念知识的产生再予以揭示明晰；属于公式运用有偏差的(如利用公式an=Sn-Sn-1求解数列通项时，未注意条件n≥2的限制)，教师必须经常性做好解题的分析和解题过程的示范；属于运算的方法技巧失当而出错的，要注重计算方法的辅导，适当引导学生加强课外计算，等等.总之，教师既要善于帮助学生明“错”知“理”，又要善于引导学生主动强化训练，要对学生出现的错误做好分析和纠正，还要善于将问题进行变式，让学生更全面更深刻地理解问题的实质，避免错误“重犯”.

学生解题能力的培养是教师在课堂教学中始终关注以及落实的过程，本节做得更为突出！著名的数学家波利亚说过“掌握数学就意味着善于解题”，一个典型的题目，对教学目标来说，绝不是只停留在“如何解”，更重要的是“为什么这么解”和“怎么想到这样解”，对一个题目进行多角度分析，尽可能让学生进行说题，挖掘题目隐藏条件以及解题过程中体现的数学思想，这给学生的发展所带来的好处是毋庸置疑的.本节课正是教师在这方面的放手，让学生做大胆的探索和尝试.教学过程中，不仅要重视“如何解”，还要教育、引导学生对问题“(可、该)怎么去想”的方面，做大量的“点”与“拨”的工作，方法上也下了很大工夫，时刻关注学生参与度，思维的激活度，内化感悟度，学生对数学学习表现出极大的兴趣.有理由相信，假以时日，学生定会成为这种训练的最终受益者.

4.变式提问、归类发展

以笔者多年的高三教学经验认为，数学学科蛮好学，但想拿高分却很难，学生往往不是考虑不全面，就是不能理解，难以下手，解题方法不能烂熟于心.因此，课堂上，特别是在讲评试卷的课堂中，要更注重方法的指导，对一道习题适当的演变、引申、拓广，不仅能提高学生的应变能力、探索能力，还能激发学生的思维广阔性、发散性.使学生从不同的角度去观察问题、思考问题，从而提高学生思维过程的整体性、严密性，培养学生的核心素养.讲评时，不但要引导学生领悟并思索解题过程中涉及的知识点，查漏补缺，有无纵横联系，如何联系，使知识系统化、网络化和结构化，还要善于以题带面，这样有利于学生对知识的巩固、综合、运用及解题能力的提高.对具有较大灵活性的典型题要进一步“借题发挥”.典型试题的讲评过程中可做到：(1)一题多解(训练学生的多向思维)；(2)多题一解(揭示试题的本质，化为解决同类问题的通法)；(3)一题多变(变式教学)；(4)结论推广(知识拓展)等.只有这样，学生才能“跳出题海”，以不变应万变，起到事半功倍的效果.通过深入挖掘试题的潜在功能，引导学生深入探索和发现试题的规律，不仅能诱发学生的解题欲望，提高学生的学习兴趣，还能培养学生的发散思维与创造性的思维能力，起到触类旁通的效果.

本节课例中三位同学展示了各自的风采，其中第二种方法是常见的分离参数法，最后转化为求函数的最值问题，但所构造的函数最值能否求出来，要看知识储备是否充足，综合能力是否具备.教师通过案例培养学生在选择方法时要如何正确做出判断的能力，第二位同学用初等数学方法找不到求最值的方法，转用高数中洛必达法则去求解，而没有接触到洛必达法则的同学就会束手无策，这对学生的数学素养提出了较高要求；也进一步打通初等数学与高等数学的连接通道.而题目解决的关键在于把式子转化为我们熟悉的或最值能求出来的等价问题.第一位同学的思维展示很全面，在大脑里面已经把后面可能出现的问题都考虑清楚，从而选择用分类讨论思想去解决问题，这是一种良好的思维方式，也是我们要大力提倡和培养的学科素养.