例谈高考数学应试中的知识点、技术点与智慧点

浙江

余继光

(作者单位：浙江省柯桥中学)

高考数学复习与解题要关注数学知识点、技术点与智慧点，对于一道数学题，要能认清或分解其中的知识点、技术点与智慧点.数学知识点，一般指必备的数学概念、性质、定理和公式等，为数学基础部分——要知道、了解、理解到位；数学技术点，一般指由知识点串联在一起的程序思维、方法或步骤，强调顺序，不能执行混乱，很多方法属于技术，为数学程序性部分——要掌握到位；数学智慧点，一般指在逻辑推理过程中的变形策略(意识)，转化策略(意识)，技巧性策略和创造性策略等，为数学解题策略性部分——要积累在脑.

一、数学解题时知识点要“知”

“不知”就是漏点，痛点，解题时可能要走弯路，或多走许多路，出错机会就会增加.

1.要知道它的意义

数学命题中涉及的数学知识点要知道它的意义，比如函数“零点”概念，它是函数与x轴交点的横坐标，不是二维几何点的坐标，而是一维代数点的意义.

2.要了解它的作用

数学命题中涉及的数学知识点要了解它的作用，比如函数零点刻画了函数图象上的一个特点，研究它就可以了解与把握函数的总体特征.

3.要理解它的本质

数学命题中涉及的数学知识点要理解它的本质，比如函数零点研究中“函数零点，方程实根，图象交点”揭示其本质，函数零点可以转化为方程的实根求解，还可以转化为研究两个函数图象交点的横坐标.

数学解题时会涉及许多数学知识点，在知道、了解的前提下，才能顺利解题，否则就会遇到障碍.

【分析】从题设信息与目标结构来看，需要知道下列知识点：

(1)两角和的正切公式；

(2)两角和的正弦公式；

(3)万能公式；

(4)解分式方程技术；

(5)解一元二次方程技术.

现提出一个真正的学业“减负”观点，多记一个三角公式，可以减少许多不必要的推理，减少许多出错的可能，对于高考数学应试是非常有效的.

二、数学解题的技术点要“会”

数学技术点，一般指由知识点串联在一起的程序思维、方法或步骤，强调顺序，不能执行混乱，很多方法属于技术，为数学解题程序性部分——要“会”，要掌握到位，“不会”就容易错，就会产生痛点，解题就无法进行，或解题过程是错误的，数学解题中所谈到的“数学技术”，不是教学中的“信息技术”手段，是人们还没有重视，还没有认清其作用，在高考数学解题中大量存在“数学技术”缺失的现象.

1.要理解技术的步骤序

数学解题中要涉及大量的运算技术，这些运算本身要涉及运算步骤，简化优先，不懂运算技术，或运算混乱时，出错成为必然.比如，解方程(组)——无理化有理、繁分化简分、分式化整式、繁杂化简洁、移项要变号和增根要验根等.

2.要掌握技术的操作序

这是2016年浙江高考数学题，许多考生都因为解方程运算技术不过关而丢分.

3.要完善技术的优化序

求解上述方程的过程就是优化的，许多考生并不是这样解方程组，一味地代入消元，只会使过程更繁杂.

【分析】从题设信息与目标结构来看，需要掌握下列技术点：

(2)会画分段函数图象；

(3)会画周期函数图象；

(4)会画动直线；

(5)会分析两函数图象交点的方法——相切、相交、相离时的情况；

(6)会根据几何条件列方程与解方程.

【解读】(1)此题在会技术点的前提下需要知道或理解“奇函数”和“周期函数”的概念；

(3)画图的顺序应该是先画半圆并对称且周期延拓，然后画分段函数的图象并延拓，这个顺序不能乱；

(5)画y=k(x+2)，x∈(0,1]的图象，然后周期延拓；

(6)此题画函数图象是“技术细活”，需要建立在对题意理解的基础之上.

三、数学解题时智慧点要“有”

数学智慧点，一般指在逻辑推理过程中的变形智慧(策略)，转化策略(意识)和技巧性策略等，为数学解题策略性部分——头脑中要“有”，要积累到位，“没有”就是缺少智慧，就是痛点，解题只能在烦琐步骤下进行.

1.要对智慧点有敏锐意识

将常数“32”写成“2a2”，为后续的代数推理实施了巧妙的设计.

2.要把智慧点用到该用处

智慧点是策略性“武器”，数学解题时，在该用处能用上相关的策略是智慧点，比如，上面提及的“常数变为变量”的智慧运用.

3.要将智慧点归纳并积累

数学解题智慧点要在平时积累，没有积累在该用时不可能出现，比如，圆锥曲线选填题中，对于“充分挖掘几何图形的几何性质”要平时积累经验与智慧，到用时才会爆发.

【分析】从题设信息与目标结构来看，需要有下列智慧点：

(1)挖掘出中位线的特征；

(2)挖掘出焦半径；

若不能挖掘出上述几何特征，只能在技术点支撑下进行：

(3)列方程技术；

(4)解方程技术；

(5)求直线斜率的技术.

【解读】(1)对于圆锥曲线选填题，当不具有智慧点(挖掘几何图形几何性质的策略)时，一般按照解析法求解解答题的思路进行，即“小题大做”，如解析1；

(2)解析几何是用代数方法解决几何问题的一类题型，离不开列方程解方程，于是就会遇到较多的运算；

(3)几何图形，都具有一些特征，比如中点，中位线性质——数量关系，找到一个几何性质，可能就会减少一些运算；

(4)解析2中发现中点，由中位线性质，找到一个等量关系，建立了关于动点的方程，但没有从根本上解决问题，运算量还比较大；