基于ALIFD模糊熵和GK聚类的滚动轴承故障诊断

葛红平 ， 刘晓波

（南昌航空大学 航空制造工程学院，南昌 330063）

0 引言

滚动轴承作为旋转机械设备不可缺少的重要部件，其运行状况的好坏直接影响到整台设备的使用[1]。当滚动轴承发生故障时，其振动信号通常呈现出非平稳及非线性特性，因此如何从滚动轴承复杂的振动信号中提取有效的特征信息是故障诊断的关键[2]。

对于此类复杂的振动信号，由于时频分析方法可实现时域和频域的同时局部化，因而在轴承故障诊断领域中得到了广泛的应用。常用的时频分析方法有短时傅立叶变换[3]、小波变换[4]、经验模态分解（Empirical Mode Decomposition, EMD）[5]及局部均值分解（Local Mean Decomposition, LMD）[6]等，但这些时频分析方法均存在一定的弊端。例如：短时傅立叶变换的时间－频率窗口是固定不变的；小波变换中小波基函数的选取不具有自适应性；EMD虽可将复杂的原始信号自适应分解为若干个本征模态函数（Intrinsic Mode Function,IMF），但存在端点效应和模态混叠等问题；相比于EMD，LMD在迭代次数与运算速度上得到了改善，但仍未从根本上解决模态混叠问题。为此，Cicone等[7]提出了一种自适应局部迭代滤波分解（Adaptive Local Iterative Filter Decomposition,ALIFD）的信号分析方法，该算法利用自适应滤波函数来代替EMD和LMD的包络求取过程，有效地克服了EMD和LMD算法中的模态混叠问题。

熵是一种衡量信号复杂度的指标，能够充分体现信号的特征信息。熵主要包括排列熵（Permutation Entropy, PE）[8]、样本熵（Sample Entropy,SE）[9]、近似熵（Approximate Entropy，ApEn）[9]和模糊熵（Fuzzy Entropy, FE）[10]等。模糊熵是在样本熵和近似熵的基础上进行了改进的一种复杂度指标，利用隶属函数来取代样本熵和近似熵中硬阈值判据准则，显著提升了数据统计结果的稳定性和统一性，已用于医学肌电信号分析和滚动轴承故障诊断中[10-11]。

采用ALIFD方法将轴承振动信号分解得到各模态分量，然后对各模态分量计算模糊熵值，这能够在一定程度上反映轴承的故障特征信息。但是滚动轴承故障的演变通常是一个由轻微到严重的渐变过程，所提取的故障特征通常具有模糊性，因此，直接通过故障特征值进行故障诊断存在一定的难度，而聚类分析方法为这类问题提供了一条有效的解决途径。常用的聚类方法包括K-means聚类、模糊C均值（Fuzzy C-Mean, FCM）聚类、GK（Gustafson-Kessel）聚类等。其中，FCM聚类[12]算法是利用欧式距离来度量样本之间的相似性，并且该算法仅适用于球形分布的数据。作为FCM聚类算法的改进方法，GK聚类算法[13]是距离自适应动态聚类算法的模糊推广，它依据协方差矩阵来获取目标函数，适合于变量间存在相关性的数据集的聚类分析，并且该算法也适用于任意分布的数据。

基于上述分析，本研究提出将ALIFD模糊熵和GK聚类算法相结合的方法运用于滚动轴承故障诊断中。首先利用ALIFD对轴承故障振动信号进行分解，然后提取蕴含主要特征信息的前3个IMF分量计算模糊熵作为故障特征向量，最后利用GK聚类算法进行故障识别，并通过实际的故障信号证明该方法的有效性。

1 ALIFD基本原理

ALIFD是在迭代滤波分解（Iterative Filter Decomposition, IFD）方法的基础上进行改进的一种算法，该算法中Fokker-Planck方程实现了对滤波函数的自适应选取。

1.1 IFD基本原理

与EMD算法相似，IFD算法同样也是利用迭代筛选的方法来获取每个IMF分量。IFD算法主要包含内循环和外循环两层嵌套循环过程[14]。

1）内循环过程。

然后，通过将原信号与滑动算子相减获得波动算子：

②利用式（1）求解滑动算子。

③根据式（3）计算波动算子，每次筛选的波动算子的计算表达式为：

2）外循环过程。

外循环是用于终止内循环中IMF分量的提取过程，内循环完成IMF分量提取后的残余信号记作。

1.2 ALIFD基本原理

为了在IFD过程中实现对滤波函数的自适应选择，Cicone等[7]通过不同滤波区间上的Fokker-Planck方程的基础解系构造了具有自适应特点的滤波函数。

则Fokker-Planck方程为：

2 模糊熵

模糊熵的一般定义为：

4）定义函数：

5）定义模糊熵为：

在计算模糊熵时，需要考虑的参数主要包括嵌入维数m、模糊函数边界的宽度r、梯度n、序列的长度N。由文献[11]可知，当嵌入维数m为1 或 2、r = （0.10～0.25）SD（SD 表示原序列的标准差）时，求解到的模糊熵具有比较合理的统计特征；由文献[10]可知，梯度n通常取较小的整数值，如2或3，而序列的长度N在模糊熵的计算过程中影响较小。综上分析，本研究中取m=2，r=0.2SD，n=2，N=2 048。

3 GK聚类算法

GK聚类算法是依据协方差矩阵的自适应距离来进行度量，通过求目标函数来获取隶属度矩阵和聚类中心向量，其中，c为聚类数目，n为样本总数，为第j个样本属于第i类的隶属度，并且满足，，。

采用Lagrange乘数法对式（17）进行优化，使目标函数取得极小值的必要条件分别为：

GK聚类算法的具体过程如下：

1）设置聚类数目c、模糊指数m，给予隶属矩阵U初值，使其满足约束条件，迭代次数。依据式（20）更新聚类中心。

采用分类系数（式22）和平均模糊熵（式23）对GK聚类算法的聚类效果进行评价。分类系数越接近1，平均模糊熵越接近0，其聚类效果越好。

4 实验方法及验证

4.1 滚动轴承故障诊断方法

针对滚动轴承故障振动信号非线性、非平稳性的特点，提出一种基于ALIFD模糊熵和GK聚类的滚动轴承故障诊断方法，其流程图如图1所示，具体步骤如下：

1）选取滚动轴承正常、滚动体故障、外圈故障和内圈故障4种振动状态的数据各40组，并对每一组数据进行ALIFD分解，得到若干个IMF分量。

2）由于故障信息主要集中在同原始信号相关性较大的几个分量上，计算分解后得到的各个分量同原始信号的互相关系数，筛选出相关系数较大的前3个分量。

3）分别计算各种轴承故障信号所筛选的IMF分量的模糊熵值，将其组成特征向量矩阵。

4）将特征向量矩阵输入到GK聚类中，以实现滚动轴承不同故障形式的分类识别，并通过聚类评价指标判定其聚类效果。

4.2 实验验证

为了验证本研究所提出的方法在滚动轴承故障诊断中的有效性，采用美国Case Western Reserve University轴承数据中心的滚动轴承实验数据作为研究对象，用来检测的轴承型号为SKF6205深沟球轴承，并与基于EMD模糊熵与GK聚类的故障诊断方法进行对比分析。

4.2.1 不同类型故障诊断

选取电机转速为1 750 r/min，采样频率为12 kHz，采用电火花加工技术在滚动轴承上布置单点故障，故障点的直径为0.177 8 mm，采集滚动轴承正常（Normal, NR）、滚动体故障（Ball Fault, BF）、内圈故障（Inner Race Fault, IRF）和外圈故障（Outer Race Fault, ORF）4种状态的振动信号进行分析。每种状态各选取40组样本，样本长度N=2 048，轴承不同状态的原始信号时域波形如图2所示。

以ORF的振动信号为例，将信号分别进行ALIFD和EMD分解，信号经分解后得到若干个IMF分量，限于篇幅，这里只给出前5个含主要特征信息的IMF分量的时域图，如图3所示。

图 1 滚动轴承故障诊断流程图Fig.1 Flow chart of fault diagnosis for rolling bearing

为了说明ALIFD方法在抑制模态混叠问题中的优越性，分别求取经ALIFD和EMD分解后IMF分量的频谱图，以IMF4分量为例，图4为ALIFD和EMD分解后IMF4分量的频谱图。从图4中可以看出：ALIFD分解后IMF4分量频谱中主要含有720 Hz的频率成分；EMD分解后IMF4分量的频谱中以720 Hz的频率成分为主，但夹杂了大量的其他频率成分，明显存在模态混叠现象。由此说明了ALIFD方法能够有效地抑制模态混叠现象。

图 2 轴承不同状态的原始信号时域波形图Fig.2 Time domain waveform diagrams of original signal in different states of bearings

图 3 ALIFD和EMD分解前5个IMF分量时域波形图Fig.3 The first five IMF components of time domain waveform diagram of ALIFD and EMD decomposition

外圈故障的振动信号经ALIFD分解后的IMF分量按照从高频到低频排列，通常前几个IMF分量包含了原始信号主要的特征信息。为了筛选包含主要故障特征信息的IMF分量，通过计算原始信号和各IMF分量的互相关系数来判断，前5个IMF分量与对应原始信号的互相关系数如表1所示。由表可知，ALIFD分解后的前3个IMF分量与对应原始信号的互相关系数均大于0.1，后2个IMF分量与对应原始信号的互相关系数均小于0.1，说明前3个IMF分量包含了原始故障信号大量的特征信息，因此，选取前3个IMF分量进行分析。

将滚动轴承4种状态的数据样本分别进行ALIFD分解，依据上述分析计算所有样本前3个IMF分量的模糊熵值，得到4组的模糊熵，其平均值如表2所示。由表可知，轴承不同状态的IMF分量的模糊熵存在一定的差别，即表明不同状态信号的复杂度不同。因此，可以选取模糊熵作为4种状态信号的特征信息，为聚类分析提供良好的依据。

图 4 ALIFD和EMD分解IMF4分量的频谱图Fig.4 Spectrogram of the IMF4 component of ALIFD and EMDdecomposed

表 1 对应原始信号与前5个IMF分量的互相关系数Table 1 Cross-correlation coefficients between the original signal and the first five IMF components

表 2 轴承4种状态前3个IMF分量的模糊熵值Table 2 Fuzzy entropy of the first three IMF components of four states of bearings

图 5 不同故障类型的ALIFD-FE-GK聚类三维空间图和二维等高线图Fig.5 Three-dimensional space diagram and two-dimensional contour map of ALIFD-FE-GK clustering with different fault types

依据同样的原理，利用EMD模糊熵和GK聚类相结合的方法对滚动轴承的160组数据样本进行处理分析，即对轴承4种状态的信号进行EMD分解，计算前3个IMF分量的模糊熵作为特征向量并进行GK聚类，聚类结果如图6所示。从图6可以看出，EMD模糊熵经过GK聚类后，各种故障类型的样本分布较为分散，无法明显地区分不同的故障类型。

为了更好地说明本研究方法用于滚动轴承不同故障类型诊断中的优越性，分别计算ALIFDFE和EMD-FE经GK聚类后的分类系数PC和平均模糊熵CE，结果见表3。按照上述理论可知，分类系数PC越接近于1，平均模糊熵CE越接近于0，其聚类效果越好。从表3可以看出，与基于EMD模糊熵和GK聚类的故障诊断方法相比，本研究所提出方法的分类系数PC更接近于1，平均模糊熵CE也更接近于0，故而说明该方法在滚动轴承不同故障类型的诊断中具有一定的优越性。

4.2.2 不同损伤程度的故障诊断

为进一步验证本研究所提出的方法在滚动轴承故障诊断中的有效性，采用不同损伤程度的内圈信号进行验证。选择电机转速为1 750 r/min时轴承正常、内圈轻度损伤（损伤直径为0.177 8 mm）、内圈中度损伤（损伤直径为0.533 4 mm）及内圈严重损伤（损伤直径为0.711 2 mm）4种振动信号进行分析。

同样地，每种状态各取40组样本，样本长度N=2 048，分别计算经ALIFD和EMD分解后前3个IMF分量的模糊熵值，以模糊熵值为特征向量进行GK聚类，聚类结果如图7、图8所示。从图7可以明显看出，不同损伤程度的数据样本能够较好地分离，同种损伤程度的数据样本紧密地聚集在一起。从图8可以看出，各种损伤程度的数据样本分布较松散，图8a中的正常状态的样本和内圈中度损伤的样本出现了交叉混叠的现象，无法明显地判别出不同的故障状态。

图 6 不同故障类型的EMD-FE-GK聚类三维空间图和二维等高线图Fig.6 Three-dimensional space diagram and two-dimensional contour map of EMD-FE-GK clustering with different fault types

表 3 不同故障类型的聚类指标Table 3 Clustering indicators of different fault types

图 7 不同损伤程度的ALIFD-FE-GK聚类三维空间图和二维等高线图Fig.7 Three-dimensional space diagram and two-dimensional contour map of ALIFD-FE-GK clustering with different damage levels

同样使用分类系数PC和平均模糊熵CE来说明在不同损伤程度下2种方法的聚类效果，其结果如表4所示。从表中数据可以看出，与基于EMD模糊熵和GK聚类的故障诊断方法相比，本研究所提出的方法的分类系数PC为0.956 4，更接近于1，而平均模糊熵CE为0.108 9，更接近于0，从而说明该方法在轴承不同损伤程度的故障诊断中仍具有一定的优越性。

图 8 不同损伤程度的EMD-FE-GK聚类三维空间图和二维等高线图Fig.8 Three-dimensional space diagram and two-dimensional contour map of EMD-FE-GK clustering with different damage levels

表 4 不同损伤程度的聚类指标Table 4 Clustering indicators of different damage levels

5 结论

1）ALIFD通过Fokker-Planck方程实现了滤波函数的自适应选取，能够将滚动轴承故障振动信号自适应地分解为若干个无模态混叠的IMF分量，利用相关性分析选择的有效IMF分量的模糊熵能够充分表达信号的不规则性和复杂度等故障特征，可为聚类识别提供有效的特征向量。

2）将基于ALIFD模糊熵和GK聚类的方法应用到滚动轴承故障诊断中，实验结果表明，该方法在轴承不同故障类型和不同损伤程度的故障诊断中具有较好的分类效果。

3）与基于经验模态分解模糊熵和GK聚类的故障诊断方法进行比较，通过聚类指标证明了本研究所提出的方法具有更好的分类性能，是一种有效的故障诊断方法。