章节统领课：从学生已有经验出发——以“相似图形”（第1课时）为例

江苏省南京市雨花台区教师发展中心 刘春书

江苏省海安市教师发展中心 刘东升

一、写在前面

因课题研究的主题相近，我们开展跨地区（南京雨花台区与南通海安市）教研活动，活动主题是研讨“章节统领课”（南通地区对这种课型多称之为“单元教学”），活动以开设研究课、观课与跟进评课的方式进行.考虑到我们作为区域初中数学研训员的身份，我们在课前对将要开设的“相似图形”（第1课时）从选题、磨课到教学导向，都进行了较为充分的准备，开课学校选定在雨花台中学，授课对象是八年级学生，学生已学完苏科版八年下册，具有了全等三角形、平行四边形、分式等知识储备，学生整体水平较高.

二、“相似图形”（第1课时）教学流程

教学环节（一） 从生活中的相似图形出发

黑板上贴出几张打印好的照片（如图1、图2）：长城、东方明珠等.

图1

图2

教学组织：开课时教师先说明，这节课我们研究一类新的图形（在黑板主板 区课题位置先写出“图形”两字），仍然从图形的形状、大小、位置（在副板区书写）这三个方面开展研究.让学生观察黑板上这些大小不同的照片有什么特点，（大小不一样、形状相同）引出课题：相似图形（在黑板上“图形”前补上“相似”），并写出它的定义：形状相同的图形叫作相似图形.

师：（过渡）我们知道“相状相同”是一种定性描述，数学往往追求“定量”的研究，下面让我们从定量的角度来定义相似图形，以相似多边形为例，我们定义“所有角分别相等，所有边成比例的多边形，叫作相似多边形”.（板书）

问题1：以足球上的图案五边形为例，请同学们仿照相似多边形的定义，组内交流一下相似五边形的定义.

学生分组交流.

问题2：类似的，请你们再定义一下相似四边形.

预设：（板书）两个四边形，四个角分别相等，四条边成比例，叫作相似四边形，可以用符号表示，四边形四边形A′B′C′D′.

教学环节（二） 发现A4纸的长、宽之比

折纸发现：同学们看黑板上贴的这些A4纸，如图3，选一张折出等腰直角三角形ADE，再把折痕AE翻折恰能与边AB重合，让学生跟进操作一下.（课前给每名学生发3张A4纸，供课堂折纸操作使用）

图3

追问：同学们能发现A4纸的长、宽之比吗？

折纸探究：将其中一张沿“长边”对折一下，（教师示意）然后贴在黑板上（如图4、图5），同学们感觉它们相似吗？

图4

图5

追问：如果要证明它们相似，对照定义，缺少什么条件？

教学组织：学生在前面获得长、宽之比为之后，有利于发现两种矩形的边成比例，从而对照定义，四个角都是直角，相等，四条边成比例，所以它们是相似矩形.

教学环节（三） 研究相似三角形

过渡：让我们再从更简单的图形——三角形出发，深入研究相似三角形.请你们先给出定义.

预设：（学生回答，教师板书）两个三角形，三个角分别相等，三条边成比例，叫作相似三角形.

提问：出示一组相似三角形（如图6），有了之前研究全等三角形的经验，你们觉得可以怎样来研究相似三角形呢？

图6

教学组织：让学生分组交流，比如，需要研究相似三角形的定义、判定还有性质.对于判定方法，可以类比全等三角形的判定方法，比如SSS、SAS、ASA、AAS，来猜想三角形相似的条件，如“三边成比例，两个三角形相似”“两边成比例且夹角相等，两个三角形相似”“两角分别相等的三角形相似”.

教师在学生回答的基础上表示肯定，并请学生整理、简写在黑板上的相应位置，并将相似三角形的判定方法标注为“猜想1、2、3”.

教师点评：这些相似三角形判定的猜想由全等的判定方法猜想而来，是否也是“基本事实”？能否获得证明？数学上，我们只要能很方便获得证明的，一般都不轻易升级到“基本事实”或公理级别.数学是一门逻辑严谨、推理论证的学科.但是在时间这么短的课堂上让学生独立探索上述猜想的证明思路是有困难的，所以向学生推介一些思路，请他们试着理解、完善证明思路.

教学组织：让我们还回到A4纸的折叠上，继续多折出一些折痕，然后任意画出两条直线，去截这些折痕对应的直线.如图7，先任意画两条直线被一组平行线（折痕对应的直线）所截，让学生感受被截得的对应线段都是成比例的，可以让学生在小组内充分举例，通过画记号或标注字母进行表达，然后添上一些特殊的直线，交前直线于某个折痕交点，为后面抽象分离出三角形中平行线的基本图形（如图8）做好准备.

图7

由图7出发，教师概括、板书“基本事实”：两条直线被一组平行线所截，得到的对应线段成比例，并特殊化、简化为图8，提炼出“结论”：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例.

图8

教学预设：教学时上述“结论”可以让学生先归纳，如果学生提到的成比例线段还有，则可以先抓取到黑板上，引导学生进行辨析和证明.如果学生能由图7中的一些线条得到启示，构造出DF∥AC，就可顺利获得证明.教师可顺势提出，此时△ADE和△ABC三角分别相等，三边成比例，根据定义，可以证明两个三角形相似.教师板书“定理”：（引理）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，构成的三角形与原三角形相似.并给出这种判定方法的“几何语言”：因为DE∥BC，所以

教学环节（四） 课堂小结与研究展望

小结问题1：这节课是如何研究相似图形的？

小结问题2：这节课中你对哪个问题或结论印象深刻？

小结问题3：后续你会怎样研究相似三角形？

在这些小结问题的驱动下，引导学生交流表达，教师适当进行板书的完善，生成结构化板书（如图9），并鼓励学生课后自主探究如何证明相似三角形的判定方法（黑板上用“猜想1、2、3”表示）

图9

三、教学立意的进一步阐释

（一）理解数学，基于逻辑连贯重组学材

章建跃博士曾说：“数学的整体性既体现在代数、三角、几何等各部分数学知识的相互联系上，也体现在同一部分内容之间的前后逻辑性上.”本文中的课例研究的是相似图形，承接的是全等图形的已有知识，在我们打磨相似图形章节起始课时，对比了人教版、苏科版教材之后，决定从几张相似图形的照片引出新知，并定义研究对象（相似图形），然后从简单出发研究相似多边形、相似四边形，再“最简化”引导学生开始系统研究相似三角形，并在相似三角形研究时鼓励学生基于已有经验猜想“我们将如何研究相似三角形”.这样就形成了本节章节统领课的大致框架和学程路径，这种框架结构是在深刻“理解数学”之后构思的，并不是简单的“离开教材搞教学”，特别注重基于前后一致、逻辑连贯重组学材.

（二）研判学情，基于研究套路推进学程

备课之初，我们在定好大致教学框架之后，接下来就是研判开课班级学生的学情，经过与该班任课老师沟通交流，发现该班学生整体水平较好，且不少优秀学生善于思考、敢于踊跃展示，所以我们就可以在之前构思的框架上进一步“开放”问题、丰富细节和追问角度.比如，开课阶段在黑板上贴几张A4纸，上面打印了形状相同、大小不同的几幅照片，让学生猜想并说出本课的研究对象（揭示课题“相似图形”），进一步安排学生类比全等图形来定义相似图形；再比如，当学程推进到研究相似三角形时，让学生先猜想“编写教材的专家会怎样安排相似三角形的学习内容”，然后在小组内交流讨论后再全班展示，得出相似三角形的研究路径.这些开放式的问题是基于学生已有经验，也是研判学情后的教学决策，从教学效果来看，确实达到了“以开放题驱动开放的数学教学”（郑毓信教授语）.

（三）预设铺垫，基于已有经验攻克难点

研磨相似三角形章节统领课进程中，我们一致认为教学难点是相似三角形的判定，因为课标、教材上都明确了相似三角形的判定是“定理”，并不像全等三角形的判定是以“基本事实”给出的，“基本事实”不需要证明，简化了教学要求，但是定理是需要证明的.如何引导学生自主证明相似三角形的判定定理成为本课的教学难点，因为这将涉及相似三角形的判定的“引理”（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，构成的三角形与原三角形相似），而“引理”又是平行线分线段成比例定理的“特殊化”.而这些“引理”及“源头”并不是学生基于此前全等图形学习能得到的经验，所以从课堂教学时间和教学效率考虑，我们需要进行教学干预，预设让学生进行“有指导的再创造”（弗赖登塔尔语），比如，借助折叠A4纸得到“一组平行线”，然后画出一些截线，分析“成比例线段”，然后“特殊化”并证明“引理”，为学生后续研究相似三角形的判定打开思路.从课堂教学生成来看，学生攻克“引理”时出现“卡壳”，尽管课堂时间有限，我们仍然没有简单告知，而是学生“静静地”思考了5分钟，终于有一名女生（陶姓）上台完整证明“引理”，在随后的点评中，我们建议将该“引理”命名为“陶氏定理”，让学生课后利用“陶氏定理”继续证明相似三角形的判定方法.

四、写在后面

数学章节统领课，试图对某一章起到统整和引领，是章节的序幕，它可以激发学生兴趣，增强学生的学习信心，初步感知学习本章的价值和意义，对后继学习起引领、指导和组织的作用；另一方面，还承载着帮助学生建构策略性知识的重要价值，为学生提供学习章节知识的框架和基本线索，搭建沟通章节知识的桥梁，除了显性知识的教学，还应包括对本章内容的介绍、研究思路和方法的整体构建，让学生既见树木，更见森林，从而提高学生的整体意识、提升学生的数学素养.我们跨区域合作研究相似图形章节统领课的过程中，收获很多，也有一些困惑，比如，章节统领课是否只能安排一个课时（如相似图形如果再安排一个课时，就可以继续组织学生证明相似三角形的判定定理）？再如，当学生学完章节统领课之后，原有教材上的一些关联不大的教学内容如何“关照”和“续上”？这些都值得后续深入思考和研究.