三角函数与平面向量中的易错题归类剖析

■河南省平舆县第一高级中学 晁明月

数学中的隐含条件往往最容易被忽视，这些隐含条件通常被称为题中的“陷阱”，解题过程中一不小心就会掉进去。本文列举出了三角函数、平面向量中的易错点，希望同学们在今后的学习中能引以为戒。

一、忽视函数的定义域对角范围的制约致错

注意定义域对角范围的制约，有些三角函数的定义域，因其相对隐蔽，解题时往往被忽略考虑，造成错解。

例1求函数的递增区间。

错解：设于是由，解得函数f(x)的递增区间为

剖析：上述解法忽略了函数的定义域。因为题目中分母不能为零，即1+sinx+cosx≠且x≠2kπ-π。所以函数f(x)的递增区间为

二、忽视三角函数值对角范围的制约致错

三角求值或求角的大小时，不仅要注意有关角的范围，还要结合有关角的三角函数值把角的范围缩小到尽可能小的范围内，不然容易出错。

例2已知α、β为锐角求β。

错解：由α、β为锐角，知0＜α+β＜π，所以

剖析：在上面的解法中，未能就题设条件进一步缩小α+β的范围，引起增解。我们可以作如下进一步分析：因为且0＜α+β＜π，所以或，得，从而，于是cos(α+β)=，故，即

三、忽视三角形的边角关系对角范围的制约致错

解与三角形有关的三角问题时，必须注意三角形中的边角等量关系、边角的不等关系及内角和关系等对角范围的制约，以免产生增解。

例3已知A、B、C为△ABC的内角，且，求cosC的值。

错解：由，得，故又，且B∈(0，π)，所以从而

剖析：若则π-B∈由，得，与A+B＜π矛盾，故角B为锐角。从而故

四、忽视变形式子对角范围的制约致错

在三角变形过程中，有时要利用变形后的式子来进一步缩小角的范围，这样才能得出正确的结果。

例4已知0＜α＜β＜γ＜2 π，且求α-的值。β

错解：由已知等式得cosα+cosβ=

①2+②2得2+2 cos(α-β)=1，即cos(α

因为0＜α＜β＜2 π，所以-2 π＜α-β＜0，所以或

剖析：上述解错在于没有利用题设条件进一步缩小α-β的范围，从而产生了增根。

又0＜α＜β＜γ＜2 π，所以-2 π＜α-γ＜0，0＜γ-β＜2 π，结合③得，所以-π＜α-β＜π。又α＜β，从而-π＜α-β＜0，故

五、忽视三角函数的值域致错

例 5若求sin2α+sin2β的最大值与最小值。

错解：由已知条件可得sin2β=cosα-，则 有所以当cosα=1 时 ，sin2α+sin2β取得最大值1，当cosα=-1时，sin2α+sin2β取得最小值-1。

剖析：最小值求错了，错的原因就是未注意正弦函数的有界性。由sin2α+2 sin2β=2 cosα知2≥cos2α+2 cosα-1=2 sin2β≥0，解得故sin2α+sin2β的 最大值与最小值分别为1和2(2-1)。

六、三角代换不等价致错

例6已知|a|＜1，|b|＜1，求证：

错证：设则有

剖析：虽然题设条件中呈现正、余弦函数的有界性，但两个字母a、b并非有一定的制约关系，因此不能设成同名，且最后一步正、余弦平方和大于零也欠推敲。

例7已知1，求x+y的取值范围。

错解：由1-x2≥0，1-y2≥0，得-1≤x≤1，-1≤y≤1，所以可设x=sinα，y=cosβ，其中则有1由所设推得，所以α-β=0，即α=β。所以x+，所以，所以

剖析：仔细分析满足已知不等式的x、y的取值范围应为[0，1]，故在三角代换时不等价，对角的范围要限制成正确结果应为