整体求解思想在初中数学中的应用——以整式乘法与因式分解为例

陈迎建

整体求解方法基于整体求解思想是数学解题过程中的一种重要方法，在初中数学解题方法中占有重要的地位。整体求解思想的灌输对初中生而言，不仅仅是数学问题的解决，更是思维的培养与锻炼以及看待问题的角度的拓展。对于整体求解思想的定义往往因人而异，但总的来说可以归纳为：整体求解思想是初中数学教学思想的一种，其基于宏观、整体的层面其看待，理解、分析问题，角度更加宽泛。

在初中数学的教学过程中，不断渗透、灌输整体求解思想，是数学改革的重要要求，也是教学重点与难点。让学生在学习过程中不断地去体会整体变换、相互代换以及事物之间存在的的普遍联系，从而加深对数学的认识与理解。初中生处在直观思维到逻辑思维的变化过程中，在数学的解题过程中将会受到思维定式、顾此失彼的影响，降低学生学习数学的热情及积极性，整体思维的学习既能拓宽学生的思维，提高学习的兴趣，又能帮助学生去整体、全面的把握、看待问题，培养锻炼学生的创造性思维。学生能够更加彻底的、明确的认识数学、了解数学，提高处理问题的能力与水平。

整式乘法与因式分解这一章蕴含着丰富的整体求解思想。完全平方公式以及利用完全平方公式进行因式分解练习中，学生需好好把握整体求解思想。如以下三个公式：

这里①、②可以说明两项和（差）的平方等于两项平方之和加上（减去）两项的2倍。教学中可以以：首平方，尾平方，首尾二倍在中央，符号看前方去记忆和理解。公式③理解为两项和乘两项差等于两项平方之差。在学习的过程中，学生应该理解”a”、“b”所代表的是一项，一个整体，而不能单纯的看成一个字母、一个数字，一个单项式。特别在利用完全平方公式进行因式分解的过程中要特别注意。

笔者将通过以下四个常见的整体求解方法在乘法公式与因式分解这一章的应用进行阐述。

一、整体换元法的应用

整体换元法指的是在数学的解题过程中，设立一个新“元”即新的变量去表示或者代替条件中的已知式或者其中的某一部分，从而达到化烦为简的目的，利于快速解题。

例1：已知（2000-a）（1998-a）=1999，那么（2000-a）2＋（1998-a）2=。

分析：条件及问题中皆出现了2000-a、1998-a这两个代数式，因此可以把它们分别看成一个整体，利用整体换元的方法去解决。设2000-a=m，1998-a=n，将问题转化为已知mn=1999，求m2＋n2的值.根据完全平方公式，还缺少m＋n或m-n的值，再根据隐含条件m-n=（2000-a）-（1998-a）=2就可以利用m2＋n2=（m-n）2＋2mn求解.

解答：设2000-a=m，1998-a=n，则mn=1999，m-n=2，

所以需要好好体会完全平方公式在应用过程中整体思想的把握理解，即把某一代数式看成一个整体作为公式的一项。

引申：已知（x-2015）2＋（x-2017）2=34，则（x-2016）2的值是（ ）

解题过程：

解：设x-2016=y则x-2015=y＋1，x-2017=y-1

∴ (y＋1)2＋(y-1)2=34 ∴y2=16

∴ (x-2016)2=16

例2：将 (x2-4x＋6) (x2-4x＋2) ＋4进行因式分解

分析：条件两项多项式中均含有x2-4x，可以把它看成一个整体，利用整体换元法进行运算。

解题过程：解：设x2-4x=y

二、整体代换法的应用

在数学的求解过程中，特别是代数式求值中，题目所给的条件无法直接利用到问题中进行求解。可以根据所求问题的条件和结论，选择条件或者问题的中的某一个或者几个代数式作为一个整体，去观察寻找问题与条件的关联并进行灵活的变通，从而达到简化求解的效果。

例1：已知x2＋x-5=0，则代数式（x-1）2-x（x-3）＋（x＋2）（x-2）的值为.

分析：条件问题无直接联系，所以先利用乘法公式展开，原式=x2＋x-3.此时可以发现所求代数式与条件的联系：将x2＋x=5整体代入可以较为容易的求出答案。

解题过程：原式=x2-2x＋1-x2＋3x＋x2-4=x2＋x-3

∵x2＋x-5=0 ∴x2＋x=5 ∴原式=5-3=2

例2：a2-3b=4，则6b-2a2＋2019=______

分析：观察问题中6b-2a2与条件存在-2倍的关系，及6b-2a2=-2（a2-3b）。将a2-3b=4整体代入进行求解。

解题过程：∵6b-2a2＋2019=-2(a2-3b) ＋2019

又∵a2-3b=4 ∵原式=-2x4＋2019=2011

三、整体变形法的应用

在本章的学习过程中，要理解字母“a”、“b”所代表的是一个项，一个代数式。在练习过程中，有意识的将题目中的部分作为一个整体进行处理，从而使得问题呈现出一定的规律或者熟知的的公式定理，达到简化计算过程，减少运算量的效果。

例1：计算（a＋2b-3c）（a-2b-3c）.

分析：从题目来看与所学的平方差公式地形式相仿，但又有不同之处。平方差公式是两项和乘两项差，因此需要将题目中的某两项看成一个整体，从而利用公式进行求解。

在找平方差公式中的“a”与“b”需要注意，对于此类题型，只要将各括号内的符号相同项看成一个整体，作为公式中的“a”，再将符号相反项作为一个整体，看作公式中的“b”，就可以利用平方差公式进行求解。

例2：因式分解：（a2-4a）2＋8（a2-4a）＋16

分析：根据条件，其符合完全平方公式的基本特征。利用完全平方公式去进行因式分解，学生需理解a2-4a作为一个整体项，也就是公式里的“a”。

四、整体配方法的应用

在数的练习过程中，利用整体配方法也是解决问题的一种常用方式。就目前学习而言，学生需要对完全平方公式地有一个彻底的认识。能够根据已给的条件中，进行适当的拼凑，使之满足完全平方公式的基本结构，从而达到简化问题，减少计算，简化答题的目的。

例1：若a2＋b2＋4a-2b＋5=0，求a、b的值。

分析：条件出现a2＋4a，那么根据完全平方式的基本结构，a2作为首平方，4a作为首尾项的2倍，可得出尾项平方为22即整体配方为(a＋2)2，同理得b2-2b可配方为(b-1)2。解析过程：

∵ a2＋4a＋4＋b2-2b＋1=0 ∴ (a＋2)2＋(b-1)2=0

∵ (a＋2)2≥0且(b-1)2≥0 ∴a＋2=0，a=-2 b-1=0，b=1

延伸：若4a2＋b2＋c2-2ab-3b＋6c＋12=0，求a＋b＋c的值

分析：从条件来看，出现了c2＋6c，根据整体配方需要在加上32构造成完全平方公式。同理，由4a2-2ab两项，需要再加上一项整体构造。解题过程如下：

例2：已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足a2＋b2-4a-6a＋13=0，求这个等腰三角形的周长。

分析：根据a2-4a整体构造完全平方公式需要加上另一项22，同理b2-6b需要加上第三项32。解题过程如下：

解：∵a2＋b2-4a-6b＋13=0

∴（a2-4a＋4）＋（b2-6b＋9）=0

∴（a-2）2＋（b-3）2=0 ∴a=2，b=3

所以当腰长为2时，等腰三角形的周长是2＋2＋3=7；当腰长为3时，等腰三角形的周长为2＋3＋3=8；综上，该等腰三角形的周长是7或8

总结：整体求解思想是初中数学主要的解题思想之一，在数学学习过程中占有重要的地位。在整式乘法与因式分解这一章中，整体求解思想有着充分地体现。整体换元方法、整体代换法、整体变形法、整体配方法在本章节有着重要的应用，是解决乘法公式及因式分解的重要方法。整体求解思想的贯彻与理解，不仅提高学生解决问题的能力，而且有助于学生的创造性思维及逻辑思维的培养，对于学生的发展有着重要地意义。