基于热阻网格法的正交三向复合材料导热系数预测模型

李嘉禄，高 涵，焦亚男

（1.天津工业大学 纺织科学与工程学院，天津 300387；2.天津工业大学 先进纺织复合材料教育部重点实验室，天津300387）

航天飞行器由于飞行速度快、气动加热时间长，构件长期处于高热负荷及氧化的环境中[1-4]，因此，其所用材料的热性能备受注目。正交三向机织复合材料以其3 个方向上优良的纱线利用率、较低的织造成本和较高的生产效率等优势，在宇航复合材料领域广泛应用。近年来，已有文献对纺织复合材料的导热性能进行过多方面研究[5-13]。热传导系数是表征复合材料热性能的一项重要指标，因为立体织物结构的复杂性，对增强复合材料的导热系数预测模型研究较少。热阻网格法是借用电路学模拟的思想来解决传热学问题的方法[14]，建立热阻的概念，通过串、并联电路的电阻公式计算热传导过程的热阻，以便解决增强纤维复合材料中的导热问题。本文通过建立正交三向石英纤维增强复合材料的单胞模型，推导经纱、纬纱和Z 向纱方向的热阻模型及相应的热阻网格图，建立三方向导热系数预测公式，并利用实验对所建模型进行验证。

1 模型建立与求解

正交三向织物内部纱线在X、Y、Z 3 个方向上互相垂直，属于三维机织结构的一种。图1 为正交三向预制体示意图，从结构模型中可以看出，经纱、纬纱和Z 向纱3 个方向上的热流传递路径的模式基本相同，因此，本文以Z 向纱方向上的热流传递为例，推导建立该方向上的热阻模型。

图1 正交三向预制体示意图Fig.1 Schematic diagram of orthogonal three-directional preform

当热流沿厚度方向即Z 方向传递时，会流向预制体的整个区域：经纱、纬纱、Z 向纱以及空隙部分（固化后为基体）。图2 为正交三向织物单胞模型的几何尺寸和各部分热阻分布，Ⅰ代表正交三向单元体中经纱的几何形态，Ⅱ代表单元体中纬纱的几何形态，Ⅲ代表Z 向纱的几何形态，Ⅳ代表预制体中空隙的部分（固化之后为复合材料的基体部分）。

图2 正交三向织物单胞模型和各部分热阻分布示意图Fig.2 Unitcell of orthogonal three-directional fabric and schematic diagram of thermal resistance distribution of each part

图2 中：Lj、Lw和 Lf分别为经纱方向、纬纱方向和Z 向纱方向的单元体长度；aj和bj分别为经纱方向的单元体横截面尺寸的长和宽；aw和bw分别为纬纱方向的单元体横截面尺寸的长和宽；af和bf则分别为Z 向纱方向的单元体横截面尺寸的长和宽；且将经纱、纬纱和Z 向纱3 个方向的单元体横截面的面积分别定义为Sj、Sw和Sf。为了方便下文中导热模型的计算，将以上尺寸的基础单位统一规定为mm。

因Ⅲ区域Z 向纱线的连续性，该区域的热流会顺畅地向下传播，由于Ⅳ区域的基体部分导热系数远低于纱线的导热系数，所以热流向下传递时，Ⅳ区域的基体阻碍了Ⅰ区域经纱和Ⅱ区域纬纱的热流传播，将经纱和纬纱各分割成了2 部分。为方便建立热阻网格图，依据热阻的概念将各区域定义为rn，根据热流传导方式不同，将Ⅰ区域的经纱划分为r1和r42 个部分，将Ⅱ区域的纬纱划分为r6和r72 部分，Z 向纱为r3，基体部分热阻为r2和r5。

基于热阻网格法中的串、并联关系，可知：r1与r2串联、r4与r7串联、r5与r6串联，且串联后的热阻分别为 R1、R2和 R3，然后将热阻 R1、R2、R3与 r3并联，最后构成Z 向纱方向上的热阻网格图，如图3 所示。

图3 Z 向纱方向（厚度方向）热传导的热阻网格图Fig.3 Thermal resistance grid diagram of heat conduction in Z-direction（thickness direction）

依据Z 向纱方向（厚度方向）热传导时的热阻网格图及所提出的热阻[10]R=Δ χ/（kA）（式中：Δ χ 为热流在该方向上的长度；A 为热流在垂直于该方向上的横截面积；k 为导热系数），可推导出该方向上相关的热阻表达式，具体如下：

式中：k1、k2和k3分别为纱线的横向导热系数、纱线的轴向导热系数及基体的导热系数（W/（m·K））。

通过 R1、r3、R2和 R3之间的并联关系，可得出总热阻 Rf与 R1、r3、R2和 R3的关系式：

同时在单胞Z 向纱方向（厚度方向）上整体的等效热阻为：

Rf可通过式（1）—（6）联立方程组推导得出。

结合工艺参数关系，可推导出在该方向上热传导时整体的等效热传导系数为：

最终简化为：

同理，根据相同的热流传递路径可得出在经纱方向上的热阻网格图，并推导得出在该方向上热传导时整体的等效热传导系数：

简化的最终结果为：

在纬纱方向上热传导时整体的等效热传导系数：

并简化的结果为：

式中：Rj和Rw分别为经纱方向和纬纱方向上的总热阻；nj、nw和 nf分别为经纱、纬纱和 Z 向纱的合股数；λ为纱线的线密度（tex）；ρ 为纱线的密度（g/cm3）；ρj和ρw分别为经密和纬密（根/（10 mm））；Vf为织物总的纤维体积含量。

2 实验部分

2.1 材料与仪器

原料：C 型石英纤维，单丝直径为7.5 μm，线密度为190 tex，纤维密度为2.2 g/cm2，湖北省荆州市菲利华石英玻璃有限公司产品；环氧树脂，天津晶东化学复合材料有限公司产品。

仪器：Hot Disk TPS3500 型热常数分析仪，上海凯戈纳斯仪器商贸有限公司产品。

2.2 试样制备

正交三向石英纤维增强环氧树脂复合材料由天津工业大学复合材料研究所制作，其工艺参数如表1所示。通过树脂传递模塑（RTM）工艺[15]对其进行固化，将固化完成后的样品按照测试要求65 mm×65 mm×22 mm 的规格进行裁切。

2.3 导热系数测试

采用图4 所示Hot Disk TPS3500 型热常数分析仪以瞬态热源法[16]对正交三向石英纤维增强复合材料经纱、纬纱和Z 向纱3 个方向的导热系数进行测试，每个方向测试3 个试样取平均。测试时，选用三维各向异性模块，使用的探头型号为101472，长度59 mm，宽度16 mm。图5 所示为正交三向石英纤维复合材料试样与探头放置位置。

表1 正交三向石英纤维增强复合材料的工艺参数Tab.1 Processing parameters of orthogonal three-directional quartz fiber reinforced composites

图4 Hot Disk TPS3500 热常数分析仪及探头Fig.4 Hot disk TPS3500 thermal constant analyser and probe

图5 试样与探头放置位置示意Fig.5 Schematic diagram of sample and probe placement

2.4 导热系数测试结果

正交三向石英纤维增强复合材料经纱、纬纱和Z向纱3 个方向的导热系数测试结果如表2 所示。

表2 导热系数测试结果Tab.2 Thermal conductivity testing results

3 模型验证

根据单向纤维导热系数的Kingary 理论[17]，推导出石英/环氧复合材料的横向导热系数、轴向导热系数和基体的导热系数分别为0.532、1.097 及0.186 W/（m·K），将工艺参数中的纱线线密度、经纬纱密度以及纤维体积含量，代入所建立的经纱、纬纱和Z 向纱3 个方向上的导热系数预测模型，可得到相应的模型预测值。正交三向石英纤维增强复合材料实验的测试值与模型预测值对比如图6 所示。

图6 导热系数的测试值与预测值对比Fig.6 Comparison between test value and predicted value of thermal conductivity

由图6 可以看出，在相同的工艺参数下，复合材料经纱、纬纱和Z 向纱3 个方向上导热系数的预测值与测试值的曲线趋势大体一致，具有较高的吻合性，且实验测试值略高于模型的预测值。这可能是因为制备复合材料时，为了避免树脂流出模腔，会适当地对模具施加外界的机械压力进行组装，使其密封性良好，以致预制件中的空气部分减少，织物的密实性增加，复合材料的纤维体积含量增大，所以测试复合材料的导热性能时导热系数会略大。

由图6 还可以看出，经纱和纬纱方向的导热系数实验测试值和预测值都极为相近，且两个方向的导热系数都高于Z 向纱方向的导热系数，这与3 个方向的纱线细度以及各方向的纤维体积含量有关。7 个复合材料试样的经纱方向导热系数预测值与实验测试值的误差分别为 7.32%、7.85%、7.08%、8.17%、7.01%、10.35%和6.91%，平均为7.81%；纬纱方向的误差分别为3.93%、4.79%、6.19%、5.00%、6.71%、5.84%和 6.68%，平均为5.59%；Z 向纱方向的误差分别为3.21%、5.89%、5.12%、3.82%、3.84%、4.92%和2.67%，平均为4.21%。在3 个方向上的导热系数预测误差均在10%以下，可认为该模型的预测精度符合要求，可采用该模型对正交三向石英纤维增强复合材料的导热系数进行预测。

4 结 论

（1）借助热阻网格法中电路学模拟的思想，结合正交三向纤维的走向以及经纱、纬纱和Z 向纱3 个方向上的传热路径，对正交三向石英纤维增强复合材料建立了3 个方向上的导热系数预测模型。

（2）通过对比不同工艺参数的复合材料在经纱、纬纱和Z 向纱3 个方向上导热系数的实测值与模型预测值，发现二者具有较高的吻合性，且3 个方向上导热系数的平均误差分别为5.59%、7.81%和4.21%，均在10%以下，表明该模型的预测精度符合要求，可预测正交三向石英纤维增强复合材料的导热系数。