基于『直觉表征』『改造』学生经验——《平行与垂直》教学实录与评析

执教/朱孟迪 评析/金 奎

《平行与垂直》是人教版四年级上册“平行四边形与梯形”单元起始课。教材基于“图形分类”的方式编排：在白纸上任意画两条直线——对两条直线的位置关系分类——认识平行与垂直。这种方式有一弊端，学生所画的所谓的“平行线”不能突显其本质，换句话说，平行线很难画，稍一偏差就是相交（教材已取消平行线的作图要求）。教师借助方格纸让学生“直觉表征”，可以激发学生内部动力，通过改造“学习材料”，逐步剥离“错误的”、“偏差的”、“非本质的”经验，进而形成正确的认知。

一、发挥经验，改造经验

师：同学们，这是一张白纸，今天我们要把它看作一个平面，请你展开想象：这个平面可以这样大，这么大，变得（用手比划）……无限大。今天，我们就要在这个平面内，研究直线与直线的位置关系。直线与直线有怎样的关系呢？

1.画出心目中的“平行”与“垂直”。

师：请你先想一想，平行是怎样的？垂直呢？想好了吗？请你在方格纸上分别画出你心目中的平行与垂直。

（学生操作，教师收集作品）

2.交流“平行”——基于经验，改造经验。

师：老师收集了一些作品，我们一起来欣赏一下。

作品一：

师：这位同学这样画，符合你心目中的平行标准吗？你是怎么想的？

生1：平平的线就是平行。

生2：这两条直线的中间都是1 格，像这样即使无限延长后也不会碰在一起。

师：是的，像这样无限延长后也不会碰在一起的两条直线就是平行。

作品二：

生：因为中间都是3 格，所以无限延长后它们仍然不会碰在一起。

师：你们都说无限延长，那我一条这样延长，另一条这样延长，现在你认为它们还是不是平行，为什么？（如下图）

生：直线可以无限延长，长一点短一点都没有关系。

师：（转动方向）这样，你认为还是平行吗？

生：还是。因为它们还是不会碰在一起。

作品三：

师：有人这样画，你觉得它是平行吗？

生：是的。（将作品旋转至水平位置）

师：改变方向，只要不碰在一起，就是平行的。

作品四：

师：刚才同学们画了两条直线，这位同学呢？（1条）你们认为这是平行吗？（不是）如果给它加一条直线变成平行，你会怎么帮助他呢？（学生比划）看来，你们心目中的平行是指两条直线的位置关系。

二、丰富表象，形成平行概念

1.在辨析中丰富表象。

师：①号为什么是平行？

生：无限延长也不会碰头。

师：②号为什么不是平行？

生：两条直线相交了。

师：我们把这样的位置关系称为两条直线相交，相交的点称为交点。

师：③号、④号作品也没有相交，它们应该算平行了吧？

生：③号向左延长后会相交。④号是两条曲线，不是直线。

2.建构平行的概念。

（1）呈现概念。

师：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。想一想，为什么要在“平行”前面加上“互相”两字？

生：只有一条是不够的，是两条直线的一种位置关系。

（2）语言表征。

师：如果老师给一条直线记作直线a，另一条直线记作直线b，于是我们可以这样说——直线a 是直线b 的平行线，直线b 是直线a 的平行线，它们互相平行。谁能像老师一样来说一说？

（3）符号表征。

师：为了表示方便，数学上还给平行规定了符号——a∥b，读作a 平行于b。你看，这个符号多像平行线。请你们在草稿纸上表示出自己作品中的平行，并读给同桌听。

三、基于经验，形成垂直概念

1.在比较中引入垂直。

师：同学们，让我们把目光聚焦到这些相交的情况。你感觉哪两条直线最特殊？为什么？

生：⑤号，因为4 个角都相等，都是直角。

师：要知道是不是直角，我们得借助——三角尺验证。

2.形成垂直的概念。

（1）呈现概念。

师：在数学上，两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线。

（2）语言表征。

师：如果我们给这条直线取名为直线a，这条直线取名为直线b，你会怎么理解这两条直线的位置关系呢？

生：直线a 是直线b 的垂线，直线b 是直线a 的垂线，它们互相垂直。

（3）改变方向。

师：现在老师把这组互相垂直的直线旋转方向，再转动，现在你认为它们还是互相垂直吗？为什么？

生：只要这两条直线相交成直角，它们就是互相垂直。

（4）符号表征。

师：数学上，互相垂直的两条直线还可以用这样的符号表征——直线a 与直线b 互相垂直，记作a⊥b，读作a 垂直于b。

3.判断中深化垂直本质的理解。

师：这是同学们一开始画的“垂直”（一条竖线）。你猜一猜，他当时可能是怎么想的？

生：垂下来的一条直线就是垂直。

师：老师也画了这样的一些垂直，请你快速判断。

师：你有什么新发现？

生：要判定两条直线是不是互相垂直，至少看到一个直角就可以了。

四、拓宽经验，沟通联系

师：学到这儿，现在你认为在同一平面内两条直线的位置关系有几种呢？请你静静地想一想：想好了吗？我们来快速判断。

（课件依次呈现“平行——相交——相交——相交（垂直）——相交”）

师：现在让我们一起来整理一下，我们发现，在同一平面的两条直线只有两种情况：一种是不相交，我们也可以称它为互相平行。另一种是相交，如果相交成直角，它们就互相垂直；如果相交成钝角、锐角，我们就称它们普通相交。

五、应用经验，解释现象（略）

【评析】

一、改造“平行”经验，先体验、再实践、后概念

1.先体验。

课伊始，确定本课的学习范围——在同一平面内。学生根据自己经验尝试画出心目中的“平行”，教师借助学生的“作品”进行“改造”，进而完善对概念本质属性的理解。“改造”中突出以下几点：（1）平行线之间的格数保持不变，突显平行线之间的距离处处相等的本质；（2）改造成“一条线长，另一条线短”的视觉效应，突破平行线的本质实则为“直线”，与画的长短无关；（3）改变平行线的方向，借助旋转变化，

突显“只要两条直线不相交”的本质。一次次的经验改造，一次次的思维冲突，打破非本质因素对概念建构的影响，进而把学生的思维聚焦于本质属性上。

2.再实践。

出示一组“判断素材”，学生借助直观经验，借助讨论辨析找到“平行”，丰富学生对概念本质的理解。

3.后概念。

借助先体验与再实践，学生头脑中已经有了丰富的平行表象，平行的概念呼之欲出，教师只需要顺势利导，呈现概念。

二、改造“垂直”经验，打破思维定势

1.借助判断，突破难点。

一方面，以“垂下来的线”为素材展开辨析，让学生知道数学中的垂直是两条直线的位置关系；另一方面，学生辨别一般的“垂直”几乎没有问题，但对于“丁字型”或“直角型”往往会出现问题。借助直观演示与争论，学生把思维聚焦于“两条直线”，进而很好地说明了问题，突破了难点。

2.沟通联系，形成体系。

以“快速判断”两条直线的位置关系为载体，一方面让学生理解垂直是一种特殊的相交；另一方面形成两条直线位置关系的框架结构，帮助学生在思维上形成体系。