明确分类标准提升理性思维

2019-10-30 02:50卢芳芳

中国数学教育（初中版） 2019年10期

卢芳芳

（浙江省宁波外国语学校）

分类讨论是数学中的一种重要思想.有关分类讨论的问题具有明显的探索性、逻辑性、综合性，能够训练人的思维条理性和概括性，对理性思维的要求较高.事实上，有的问题结论不能唯一确定，有的问题在解题中不能用统一的形式进行研究.所以，我们在解答这些问题时，按照一定的标准或原则进行分类，然后逐类讨论，再把这几类的结论汇总，最终解决问题，这就是分类讨论.

人的思维一般是从感性思维开始，经过不断的深化、发展、实践、检验，最终得出概念清晰、逻辑严谨的确定性结论，从而形成理性思维.理性思维是人类思维的高级形式.它具有明确的思维方向，能够把握事物或问题的本质和客观规律.初中生的思维在很大程度上还属于经验型，他们的逻辑思维受感性经验的直接影响.随着学习内容的不断加深和抽象概括水平的逐步提高，学生才慢慢学会撇开具体事物，运用概念和假设进行思维活动.

分类讨论问题是提升理性思维良好的载体.分类讨论将复杂的问题分解成若干个简单的问题，不重复又不遗漏，其中最重要的环节就是确定分类标准.本文研究的重点就是探究学生在分类标准方面存在的几大类问题，以及如何用理性思维来解决这些问题.

一、先入为主导致忽视分类讨论

忽视分类是分类讨论问题中最常见也是最致命的错误.造成这个错误的原因很简单，那就是学生还不具备分类讨论的意识，只有在不断跌、倒爬起的过程中，通过理性分析才能建立起对于分类讨论最基本的认知.

例1已知，⊙O的半径为1，△ABC为圆内接三角形，且，求∠A的度数.

大家知道，在题目未给出图形的情况下，解题的第一要务自然是画图.不过，即便画了图，由于对于三角形认识上的先入为主，学生在画圆内接三角形时，会习惯性地画成如图1所示的锐角三角形，然后得出结果.显然，这个解答并不完整.

图1

理性分析：很多几何问题，如果原题没有给出图形，那么问题的解决常常要涉及分类讨论.虽然上面提到的不完整解答是由于学生习惯性地画了一个锐角三角形导致，但问题的根源却不在于是锐角三角形或是钝角三角形，而是在弦BC确定的情况下，其所对的弧有两条，即劣弧和优弧.∠A所对的弧到底是哪一条不确定，或者说点A的位置落在BC哪一侧不得而知，进而导致了如下的分类讨论.

如图2，（1） ∠A1所对的弧是劣弧（点A1在弦BC上方）；（2） ∠A2所对的弧是优弧（点A2在弦BC下方）.

图2

例2已知关于x的方程ax2-x-2=0有解，求a的取值范围.

这是一个经典的“错错得对”问题.如果作为填空题，很多学生可能就轻松过关，但作为解答题，估计看到教师打了叉，学生还一脸茫然.通过计算，这个方程的判别式为Δ=1+8a.因为方程有解，所以1+8a≥0，即得.答案是对的，解答过程却是完全错误的.

理性分析：这个问题需要进行分类讨论来解决.究其原因，学生需要具备对方程概念的理解及对字母系数的敏锐感知.判别式的适用对象是一元二次方程，当二次项的系数是字母时，其取值不能保证不为0，也就不能保证二次项的存在，也就不能确保该方程为一元二次方程，所以我们必须对二次项系数进行如下分类讨论.

（1）当a≠0时，原方程为一元二次方程，由Δ=1+8a，且方程有解，得1+8a≥0，即得.此时，且a≠0.

（2）当a=0时，原方程为-x-2=0，此为一元一次方程，解得x=-2.符合条件，此时a=0.

答案虽然跟之前一样，但是非曲直，一目了然.

【反思】数学学习的过程中，每个公式、定理都有其成立的条件，每一种数学方法都有其适用范围.一般地，当问题涉及以下情形：由数学概念、性质本身引起的分类，或者当某些量的大小或符号不能确定时，又或者图形位置、形状不确定等情况，我们就要考虑分类讨论.表现在具体的问题中，如遇到绝对值问题、字母方程、二次函数最值问题、三角形“高”的问题、有关等腰三角形或圆的问题、动态问题等，分类讨论在所难免.达到了这个认知程度，分类讨论的意识也就慢慢形成了.

二、习惯列举导致分类标准缺失

即便很多学生有了初步的分类讨论的意识，但离学会分类讨论还有一段距离.以列举的形式进行分类讨论是初级阶段的学生经常做的一件事情.这里所说的列举，就是想到一种算一种，直至想不出来为止.

例3要在直角边为3，4的直角三角形的材料中剪出一个正方形，使其顶点落在原三角形的边上，求这个正方形的边长.

首先要确定裁剪方案，由于方案的不确定性，进行分类讨论显得非常自然.但是，很多学生只是经过尝试，得到如图3和图4所示的两种方案，如果问其还有没有其他方案，回答可能是不知道或不确定.因为这种分类只是建立在感性思维的基础上，解答的完成全凭运气和感觉.

图3

图4

理性分析：要使正方形的顶点落在三角形的边上，四个顶点落在三条边上，那么至少有两个顶点落在同一条边上，分类也就由此产生.

（1）当两个顶点落在三角形直角边BC上时，易得正方形的一个顶点与点C重合，如图3所示；

（2）当两个顶点落在三角形直角边AC上时，同（1），略；

（3）当两个顶点落在三角形斜边AB上时，如图4所示.

由于情况相对比较简单，有人会认为这种列举式的分类讨论未尝不可，至少结果是对的.但是这种建立在感性思维上的方式对于数学的学习是很不利的，长此以往，思维的层次得不到提升，错误也像不定时炸弹一样处处存在.请看下面一个例子.

例4如图5，已知四边形ABCD，AD∥CB，AD＜BC，AB=8，CD=10，小明将该纸片叠合，折叠后的图形恰好拼合成无缝隙、无重叠的正方形，试帮忙画出示意图，并直接写出AD，BC的长.

单纯以列举的方式解此题很容易漏解.如果通过理性的分析，情况就会好很多.

理性分析：类似于例3的分析，拼合成的正方形顶点必须落在原梯形的四条边上，可以进行如下分类.

（1）当正方形的每个顶点落在梯形的各条边上时，综合分析，得到如图6所示的拼合形式；

图5

图6

（2）当正方形的两个顶点落在梯形的同一条边上时.

①当正方形的两个顶点落在梯形上底AD上时，此情形不存在；

②当正方形的两个顶点落在梯形下底BC上时，综合分析，此时正方形的一个顶点与点B重合，得到如图7所示的拼合形式；

图7

③当正方形的两个顶点落在梯形一腰AB上时，综合分析，同②，略；

④当正方形的两个顶点落在梯形另一腰CD上时，综合分析，得到如图8所示的拼合形式.

图8

【反思】将漫无目的的寻找转化为理性的分析.不确定分类讨论的标准，以列举的方式进行各种情况的讨论很容易引起情况的重复和遗漏.这种错误的产生，是对分类标准必须先行的意识的缺失或是标准制定困难导致.分类讨论的标准是分类讨论问题中的指引和方向，而方向决定了结果.只有在分类之前明确标准，才能让解决问题变得有的放矢，有根有据，条理清晰，层次分明.

三、模棱两可导致分类标准错误

具备确定分类标准的意识很重要，但是，如果分类标准错误，那问题就严重了.

例5已知∠AOB=90°，将OC绕点O旋转，分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，能否求出∠MON的度数.若能，求出其值；若不能，试说明理由.

这是一个经典的角度计算问题，常见分类如下.（有些参考答案只给出图形，不具体说明分类标准.）

（1）如图9，当射线OC在∠AOB的内部时；

图9

图10

（2）如图10，当射线OC在∠AOB的外部且在边OB的逆时针方向时；

（3）如图11，当射线OC在∠AOB的外部且在边OA的顺时针方向时.

综上所述，得到∠MON恒等于45°，即为∠AOB度数的一半.

图11

乍一看，这个“三合一”的解答堪称完美，但是，这个分类标准是错误的，结论自然也是错误的.

理性分析：如图12，OA为角的始边，OB为角的终边，OB绕着点O按逆时针方向旋转α形成了∠AOB，当 0°＜α≤180°时，∠AOB=α；当180°＜α＜360°时，∠AOB=360°-α.既然α=180°是一个临界状态，那么在给定一个角的情况下，射线在角所在平面绕已知角的顶点旋转时，我们应反向延长角的两边，将角所在的平面分成四个部分.

图12

如图13，此为分类标准.其中一种情况为：如图14，当射线OC在∠EOF内部时，∠MON=∠MOC+∠NOC，.由这个问题也可以得到一般性的结论：当∠AOB=α时，∠MON的度数为.

图13

图14

所以，像这种关于角在平面内的分类讨论问题，绝不可以用“这边或那边”“顺时针方向、逆时针方向”作为分类标准，而应该反向延长角的两边将平面进行准确的划分.是不是很像平面直角坐标系？将这种分类标准与坐标系建立类比关系也是不错的收获.

【反思】分类标准绝不能模棱两可、含糊其辞，这样的后果往往就是出现情况的重复或遗漏.分类思想渗透于整个教材体系中，分类标准如何确立在教材中也一直有所体现.例如，在去绝对值时，根据概念以绝对值里面式子的正负作为分类标准；在三角形分类中，以角或者边作为不同的标准就会引起不同的分类，等等.但实际问题中的分类要复杂一些，分类标准确立以后，如果对某一种情形不能准确归类，则错误必定已然发生.此时，我们应该理性思考，找出问题的根源所在，根据对象本质属性的相同点和不同点，重新确定科学、合理的分类标准.

四、惯性思维导致分类标准欠佳

很多事物都有优劣之分，分类的标准也不例外.如果选择的标准不佳，问题就会变得复杂很多，讨论层次也会随之增加，对于得到的各种情况更是不知所措.所以，我们要先捋顺思路，确定问题的生成状态，才能得到合理的分类.

例6在面积为15的▱ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，AB=5，BC=6，求CE+CF的值.

显然，这是一个涉及到“高”的问题.三角形的“高”不像中线和角平分线那么“规矩”，后两者无论三角形形状怎么变，它们都在三角形形内，而高可以在三角形形内、形上和形外，视三角形的具体形状而定.同样，平行四边形的高也是如此.因此要对“高”的位置进行讨论，这是惯性思维.从两条高的位置出发，经过分析，最终可以得到如图15～图18所示的四种情况.不过，如果想得到正确的解答，还需要在得到四个解之后，通过最后的检查、验证才行，没有这个步骤，很有可能把错误的解留到最后.

图15

图16

图17

图18

理性分析：从此题的条件中，我们可以得到边BC上的高为2.5.如图19，点A可以在与边BC距离为2.5的平行线上找（考虑一侧即可）.在BC确定的情况下确定点A的位置，只要找出以点B为圆心、5为半径的弧与之前的平行线的交点即可.显然，点A有两种情况，分类讨论随着图形的生成自然而生.

图19

根据此题的条件，我们发现边BC上的高2.5恰好为5的一半，因此可以通过角度刻画来确定标准，如用∠B=30°或150°这两种情况进行分类讨论.特别提醒，此时图形被确定下来，故这个问题只有两种情形而不是上面分类中的四种.可想而知，之前的四种分类中有两种情况根本不存在.

（1）当∠B=30°时，如图20所示；

图20

图21

（2）当∠B=150°时，如图21所示.

【反思】在没有图形的基础上，先画图是理所当然的.但是，不考虑图形的生成过程，盲目分类是不可取的.问题的提出有其本身的规律和内涵，根据条件的给出，运用理性思维确定问题的生成状态，掌握问题的发展过程，是进行合理分类的先决条件.事实表明，问题最后的呈现方式也许错综复杂，但是它的生成状态却是明确的，所以从根源和走向出发的分类才是明智的分类.

五、结束语

分类讨论作为贯穿整个初中阶段的重要的数学思想方法，几乎涉及了数学学习的方方面面.分类讨论对于学生理性思维能力的发展和数学素养的提高等都有举足轻重的作用.学会分类讨论，不应轻而易举地“分”，而是千方百计地确定“怎么分”“分几类”.

数学是理性思维的学科，数学教育自然要以理性思维育人.在平时的教学中，教师要注重概念的形成过程，重视过程性教学，让学生能够理清问题的生成状态，抓住问题的本质，学会理性思维，不轻而易举地接受“然”，而是千方百计地弄清楚“所以然”.这样，不管是分类讨论中的问题，还是其他问题，我们都可以理性分析并有效解决.