安培力与洛伦兹力的关系

王鸿博

(内蒙古自治区巴彦淖尔市临河区一中 015000)

安培力和洛伦兹力是高中物理中两个重要的概念，二者之间有着深刻的联系.人教版教材选修3-1这样描述两者的关系：导线中带电粒子的定向运动形成了电流.电荷定向运动时所受洛伦兹力的矢量和，在宏观上表现为导体所受的安培力.这句表述具有很强的可读性和探讨空间，从字面上简单理解，安培力只与运动的电荷有关并且数值上等于运动电荷受到洛伦兹力的矢量和.但是这种理解并没有告诉我们安培力和洛伦兹力的联系机理，有些时候我们会误认为安培力就是洛伦兹力，而这种认识会导致很多明显的悖论，例如洛伦兹力不做功而安培力可以做功.本文从洛伦兹力和安培力的一般认识出发，又介绍了两者的微观联系、做功关系以及影响因素，旨在帮助更多的同学明确洛伦兹力和安培力的联系.

一、洛伦兹力和安培力的一般认识

通常教材对两者描述的一般解读是，在导线与磁场垂直的情况下，一段导线所受安培力等于该段导线内所有电荷定向移动所受洛伦兹力的合力.如图1所示，设导体内带正电粒子的速度为u，带电量为q，单位密度为n，形成的电流为I，导体横截面积为S，两个端面为a和b，导线长为L，磁场与导线垂直，磁感应强度为B.

垂直于磁场的一段导线所受安培力与导线中带电粒子所受洛伦兹力示意图.

安培力F安=BIL，其中I=nquS，则F安=BnquSL.nSL为带电粒子总个数N，考虑到洛伦兹力F洛=quB，得到F安=NF洛，说明在设定条件下安培力为所有带电粒子洛伦兹力的合力.这种结论意味着安培力完全等同于洛伦兹力，那么就无法解释安培力可以做功而洛伦兹力不可以做功的事实.这种讨论情景过于简单，设定导线速度为零，只考虑了内部带电粒子的速度，使得最终结果没有体现出矢量的特性，如果考虑矢量性质，是否可以进一步理解安培力和洛伦兹力的关系呢？下面借助复杂一些的模型来分析两种力之间的关系.

如图2所示，回路中电流大小为I，为方便讨论假设回路中电流由正电荷移动产生，正电荷带电量为q，单位密度为n，形成的电流为I，导体横截面积为S.电荷沿导体棒的运动速度为u，导体棒向右运动的速度为v.对回路中的电荷进行分析，其相对于地面的速度v合为u和v的合速度，方向指向右下，其对应的洛伦兹力f的方向指向右上.对于速度v，其对应的洛伦兹力为f1=qvB，方向竖直向上；而速度u对应的洛伦兹力为f2=quB，方向水平向右.回路中导体棒受到的安培力F=BIL=BLnquS=nLSf2=Nf2，其中考虑了电流的微观表达式I=nquS.式中N为导体棒中电荷的总个数，由此可以得出安培力与洛伦兹力分力相等这一结论.这一结论可以解释安培力和洛伦兹力的做功悖论.对于整个导体棒，洛伦兹力分力f1的功率：P1=-f1uN=-qvBunSL；f2的功率：P2=f2vN=quBvnSL；安培力的功率P=BILv=BnquSLv.P1+P2=0，而P可以不为零，所以洛伦兹力不做功，但是安培力可以做功.

安培力与洛伦兹力分力相等这一结论最重要的意义在于暗示着安培力并不直接等同于洛伦兹力，两者之间可能还有着其他作用从而使二者联系起来.

二、洛伦兹力和安培力的霍尔电场解释

安培力与洛伦兹力分力相等的讨论中仍有一定的瑕疵，只考虑了相对于导体运动的带电粒子受力情况，并没有对整个导体所有带电电荷进行讨论.实际上，导体中真正传导电荷的是电子，另外还有相对于导体静止的正离子，当导体棒运动时，这两类电荷都受到洛伦兹力作用，安培力应该与这两类电荷的洛伦兹力有关.导体棒的运动可以是任意的，做正交分解后可以看成水平(垂直于棒)方向和竖直(沿棒)方向两个运动的合.我们首先讨论水平方向，导体棒有额外速度v的情况，如图3所示.

设导体棒水平运动，速度为v，电子形成稳定电流时其沿棒方向速度为u.电子和正离子均具有的水平速度v使它们具有竖直方向的洛伦兹力qvB，但是两者受力方向相反，导致导体棒上半部分富集正离子，下半部分富集电子，从而形成内建电场，称为霍尔电场.在霍尔电场刚开始建立的时候，霍尔电场力不及竖直方向洛伦兹力，电子将向下运动，使得下方富集电子，继而进一步增强霍尔电场直至霍尔电场力与竖直方向洛伦兹力平衡，即qE=qvB，此时电流达到稳定.当导体棒内电流稳定时，正离子受到向上的洛伦兹力和向下的霍尔电场力，二者平衡，所以正离子在竖直方向上没有受到额外作用.正离子固定于导体内，所以此时导体棒没有受到竖直方向的额外作用，导体棒受到的水平方向的安培力与其水平方向的速度无关.这从微观角度解释了图2模型的结论.

安培力与水平方向(垂直于电子运动方向)的速度无关，是否与竖直方向速度有关呢？考虑图4所示模型，导体棒沿竖直方向运动，速度为v.

设电子相对于导体棒的速度为u，这个速度是形成电流的根本.导体棒竖直运动使得电子的竖直方向合速度为(u+v)，正离子速度为v.二者分别受到方向相反的洛伦兹力，大小分别为q(u+v)B和qvB，与上一讨论相似，导体内部形成了水平方向的霍尔电场，设场强为E.当霍尔电场刚刚建立之时，洛伦兹力大于霍尔电场力使得电子沿水平方向偏转进而增强霍尔电场，直至电子水平方向受力平衡不再增强电场.平衡时，电子霍尔电场力等于洛伦兹力，qE=q(u+v)B.正离子受到的霍尔电场力与电子受到的霍尔电场力大小相同方向相反，但是其受到的洛伦兹力为qvB，两者不等.系统稳定时，霍尔电场力qE大于qvB，使得正离子受到水平方向不为零的合力，合力大小为qE-qvB=quB.正离子相对于导体静止，相当于导体受到了水平方向不为零的合力，宏观表现为安培力.

特别地，每一个正离子受到的合力为quB，意味着安培力的大小只与quB相关，而u是形成电流的根本与导体棒宏观运动速度无关，q和B也与宏观运动速度无关，这就证明了安培力只与电流大小有关而与导体棒宏观运动无关.

综合考虑图3模型和图4模型，我们可以分析导体棒沿任意方向运动的情况，可以得出结论如下：安培力与洛伦兹力之间是通过霍尔电场联系起来的，二者并不是直接对应，安培力大小只与形成电流的带电粒子相对于导体棒的速度u有关，而与导体棒宏观运动速度无关.借助霍尔电场理论，改正了简单将安培力和洛伦兹力等同起来的错误认识，自然也就消除了前面介绍的安培力可以做功而洛伦兹力不能够做功的所谓“悖论”.

通常人们对安培力和洛伦兹力只是作为同一种作用的宏观和微观两个层面的表现来理解，但是这样理解会引发安培力能够做功而洛伦兹力不能够做功这一所谓的悖论.借助霍尔电场理论，发现安培力并不是直接与洛伦兹力对应，它们是通过霍尔电场关联起来，并且安培力的大小只与带电电荷相对于导体的速度有关，即与电流有关，而与导体的宏观运动速度无关.