主元不同，精彩当然不一样！

刘胜军

摘 要：身边的事物，从不同的角度去看，会得到不同的结果，对于同一个问题，用不同的思维去思考，也是如此。文中就结合具体的题目，探讨了从不同的角度去领悟不同的数学美。

关键词：函数;思维;数学美

宋代著名大诗人苏轼曾在《题西林壁》中写道“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”。告诫后人看问题的角度不同，得到的结论可能完全不一样，很多的时候收获的美景更是未曾想过的。正所谓“换个角度去看问题，换种思维去对待身边的事物，生活不就需要我们这种思维转换吗？像沙漠中的一眼清泉，冬天里的一缕阳光，黑夜里的一丝光明，都会给你更多的惊喜”。今天我将带领大家来领略数学中换个角度的数学美，简直精彩绝伦。

精彩之1：一次函数之简洁与朴实

例1：对于满足|p|≤2的所有的实数p，求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。

【分析】在不等式中出现了两个字母x、p，首先考虑的是以谁为主元的问题。若以x为主元，则需要分x=2，x>2，x<2三种情况讨论，然后利用恒成立的知识处理，相对较繁杂。若以p为主元，情况将彻底反转。给人“将计就计，战出不一样的精彩”之感。

【解析】：不等式x2+px+1>2p+x可化为（x-1）p+x2-2x+1>0，记：f （p）=（x-1）p+x2-2x+1，则函数f（p）是关于p的一次函数，由题设要求知：f （p）>0在p∈[-2，2]上恒成立，所以其充要条件是： ，解得：x<-lorx>3。

精彩之2：二次函数之柔和与深邃

例2：已知函数f （x）=3x+a与函数g （x）=3x+2a在区间（b，c）上都有零点，求  的最小值。

【分析】本题的代数式涉及到三个变量，这让很多的学生一筹莫展，毕竟平时很少涉及到三个变元的问题.换个角度和思路，则豁然开朗。若将代数式看成关于a的二次函数去求解，于是可以收到“金蝉脱壳，蝴蝶变凤凰”的华丽转身的效果.

【解析】：设 ，

当a=-（b+c），即a+b+c=0时，有最小值-1。

由，由此可得：b-c

即当a+b+c=0时，，所以的最小值为-1。

精彩之3：根根相传与点到直线距离之完美融合

例3：[2017年福建省高中数学竞赛第8题]若关于x的方程x2+ax+b-3=0（a，b∈R）在[1，2]上有实根，则a2+（b-4）2的最小值为

。

【分析】本题是“函数与方程”搭台，“不等式”唱戏的经典配合. 是一道经典的竞赛题.着重考查学生的分析问题、解决问题的能力，对转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想进行深度的考查。常规方法的分类讨论非常繁杂，对学生的数学功底要求很高。“穷则思变，变则通，通则久”如果视a，b主元，则可以避免多变量的繁杂讨论，更好提升学生的思维品质。给人“豁然开朗，一马平川”之感。

【解析】：视a，b主元“若关于x的方程x2+ax+b-3=0（a，b∈R）在[1，2]上有实根，求a2+（b-4）2的最小值”转化为：求点（0，4）到直线l：xa+b-3+x2=0上的点（a，b）的最小值问题，显然点到直线的距离最小。

当x∈[1，2]，∴ ，

∴a2+（b-4）2的最小值为2。

精彩之4：导数华丽绽放之唯美

例4：（2013年高考全国卷II理科21题）已知函数f （x）=ex-ln（x+m）。

（1）设x=0是f （x）的极值点，求实数m并讨论f （x）的单调性;

（2）当m≤2时，证明f （x）≥0。

【分析】本题是以导数与不等式为载体的压轴题，对学生的自主探索能力，逻辑思维能力，转化与化归的能力及创新意识均有较高的要求，体现出考查学生的学习潜力和高考的选拔功能。常规方法的冗长和放缩方法的巧妙是学生难以掌握的。倘若在第（2）问中以m为主元，将给人以“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村”之震撼。

【解析】：（1）略;

（2）视f （x）=ex-ln（x+m）为以m为自变量的函数g （m）=ex-ln（x+m），

∵函数g （m）在（-∞，2]上递减，∴g （m）min=g （2），

要证：当m≤2时，f （x）≥0g （2）=ex-ln（x+2）>0。

令φ（x）=ex-ln（x+2），φ'（x）=ex-，∵φ'（x）在（-2，+∞）上是递增的，

又∵φ'（-1）=-1<0，φ'（0）=>0，则φ'（x）在（-2，+∞）上有唯一的零点x0，满足φ'（x0）=0即x0+2=e-x0，且x0∈（-1，0），

∴x∈（-2，x0）时φ'（x）<0，x∈（x0，+∞）时φ'（x）>0。

∴φ（x）min=φ（x0）=e-ln（x0+2）=e-lne-=，

故命题得证。

结束语

著名的英国探险家贝尔曾说过“有时需要离开常走的大道，潜入森林，你就肯定会发现前所未见的东西”。换个角度看问题，生命会展现出另一种美。很多的时候，面对枯燥的数学题，一筹莫展……但有时只要打破常规，不走寻常路，你会领略到逆袭带你的狂欢和唯我独尊的快感。不正是“一片落叶，你也许会看到‘零落成泥碾作尘的悲惨命运，但是只要换个角度想，你便会发现它‘化作春泥更护花的高尚节操”的写照吗？

为了更好让学生掌握以上的解题方法，以下三题给予练习。

1.已知函数f （x）=x2+ax+b（a，b∈R）在区间（0，1）内有两个零点，求3a+b的取值范围。

2.设a∈R，求关于x的函数y=（a2+1）x2+ax-1的零点的最大值和最小值。

3.[2007年全国高中数学联赛辽宁赛区初赛试题]若关于x的方程 有实根，则a2+b2的最小值为     。

答案：1.（-5，0）     2.，      3.

参考文献：

[1] 蒋亚军.例谈几类解题方法的妙[J].中学数学（湖北）2016.10.

[2] 蒋亚军，魏定波.探究一道竞赛题，破解一类函数题[J].中学数学研究（广东）2018.3.