论求解圆锥曲线的切线及相关问题的常用结论及推导

沈兆益

摘 要：本文探讨过一点求圆锥曲线的切线方程和切点弦的解法推导。若点在圆锥曲线上，可使用隐函数求导的方式得到相对简便且接近的切线方程和切点弦结论。若果点在圆锥曲线外，可以使用二次方程有唯一解，其Δ=0的结论，推导出切线方程。

关键词：圆锥曲线 切线方程 隐函数求导

求解过某一点的圆锥曲线切线方程及相关问题题型，是在高等数学的学习中使用隐函数求导需要解决的常规问题，也是中学的解析几何的常见的较为困难的解题类型。解决这一类性的问题，常用到一个有趣的式子：Amx+B（my+nx）+Cny+D（x+m）+E（y+n）+F，简便起见，把它表示为L（x，y）。

一、已知圆锥曲线上一点，求切线方程

如果已知的是圆锥曲线上一点，求解通过该点的圆锥曲线切线，通常使用隐函数求导的方法，对圆锥曲线求导，得到通过该点的导数，即为切线斜率，而后得到切线方程。这是学习了微积分以后，可以使用的方法。

如：已知圆方程为：（x-a）2+（y-b）2=r2，过圆上一点（m，n）求圆的切线。

使用隐函数求导，得到：2（x-a）+2（y-b）y=0，整理可得：，代入点（m，n），得到切线斜率为：，切线方程为，若（m，n）为具体数值，即可进行化简得到最终切线的方程。但学生若是尚未接触到微积分的知识，就需要使用其他的方法，如：圆心与切点的连线与切线垂直，因此切线斜率为连线斜率的的负倒数，圆心与切点连线斜率为，同样得到切线斜率为，从而求解切线方程。

如果是求解椭圆、双曲线，抛物线的切线，使用隐函数求导同样能够处理，但对于没有学习过微积分知识的学生来说，题目就更难解决了。但若使用隐函数的求导，不难发现圆锥曲线的切线方程结论，是很便于记忆的。

从圆的切线方程中

便不难发现，它可以改变为：

（x-m）（m-a）+（y-n）（n-b）=0（1），

且由于（m，n）为（x-a）2+（y-b）2=r2上的点，

因此有（m-a）2+（n-b）2=r2（2）.

将（1）式加（2）式，提取公因式，得到：（m-a）（m-a+x-m）+（n-b）（n-b+y-n）=r2。

整理可得：（m-a）（x-a）+（n-b）（y-b）=r2同样为圆的切线，并且很容易记忆。将圆方程中的（x-a）2换为（x-a）（m-a），（y-b）2换为（y-b）（n-b）即可。

对于一般类型的圆锥曲线，同样使用隐函数求导的方法，推导过圆锥曲线上一点的切线方程。

设圆锥曲线方程为：Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，圆锥曲线上有一点（m，n）对圆锥曲线方程求x的隐函数导数，2Ax+2By+2Bxy+2Cyy+2D+2Ey=0

得到切线斜率为：，经过（m，n）的切线为：

左右两边乘以分母Bm+Cn+E并移项，得到：

（y-n）（Bm+Cn+E）+（x-m）（Am+Bn+D）=0将和，分别乘以后面的因子，得到：

（Bmy+Cny+Ey）-（Bmn-Cn2+En）+（Amx+Bnx+Dx）-（Am2+Bmn+Dm）=0，

整理可得：

（Bmy+Cny+Ey+Amx+Bnx+Dx）-（Am2+2Bmn+Cn2+Dm+En=0。

由于为圆锥曲线上的点，即有：

（Am2+2Bmn+Cn2+2Dm+2En+F）=0，利用这一结论在式子中配凑，得到：

（Bmy+Cny+Ey+Amx+Bnx+Dx+Dm+En+F）-（Am2+2Bmn+Cn2+2Dm+2En+F）=0

整理可得：Amx+Bmy+Bnx+Cny+Dx+Dm+Ey+En+F=0，

即为：

Amx+B（my+nx）+Cny+D（x+m）+E（y+n）+F=0

L（x，y）=0。

该式可简单记为L（x，y）=0，记忆方法可以采用：

点（m，n）为圆锥曲线Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0上一点，将圆锥曲线一般方程中的x2换为xm，y2换为ym，xy換为my+nx，x换为，y换为，就得到切线方程。

因此，不难得到经过圆锥曲线上一点（m，n）的切线方程情况

圆锥曲线 切线方程

椭圆：

双曲线：

双曲线：

抛物线：y2=2px yn=p（x+m）

抛物线：x2=2py xm=p（y+n）

二、已知圆锥曲线外一点，过该点做两条圆锥曲线的切线，求切点弦所在直线方程

而如果点（m，n）为圆锥曲线Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0外一点，过该点的两条切线的切点弦所在直线方程同样为L（x，y）=0，即Amx+B（my+nx）+Cny+D（x+m）+E（y+n）+F=0。

证明过程为：设过圆锥曲线外一点（m，n）的两条切线与圆锥曲线Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0分别相切于点（x1，y1）和（x2，y2）。

利用由前文的推导，经过（x1，y1）的切线为： Ax1x+B（x1y+y1x）+Cy1y+D（x+x1）+E（y+y1）+F=0。

经过（x2，y2）的切线为：

Ax2x+B（x2y+y2x）+Cy2y+D（x+x2）+E（y+y2）+F=0，

（m，n）为这两条切线交点，即有：

Ax1m+B（nx1+y1m）+Cy1+D（m+x1）+E（n+y1）+F=0，

且Ax2m+B（x2n+y2m）+Cy2n+D（m+x2）+E（n+y2）+F=0，由此可得：（x1+y1）和（x2，y2）都在直线：Amx+B（nx+ym）+Cny+D（m+x）+E（n+y）+F=0上。

即L（x，y）=0为Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0的切点弦所在直线方程。

三、过圆锥曲线内一点所在直线与圆锥曲线两交点作切线，切线交点所形成的轨迹

类似的，若果（m，n）为圆锥曲线Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0内一点，过（m，n）的的直线交圆锥曲线于两点（x1，y1）和（x2，y2），两点的切线交点形成的轨迹同样为L（x，y）=0，即Amx+B（nx+ym）+Cny+D（m+x）+E（n+y）+F=0。

证明过程：设过（m，n）的直线交圆锥曲线于两点（x1，y1）和（x2，y2），经过（x1，y1）和（x2，y2）的切线交点为（x0，y0） （x0，y0）：利用由前文的推导得到，经过圆锥曲线外一点（x0，y0）两条切线的切点弦所在直线方为：Ax0x+B（x0y+y0x）+Cy0y+D（x+x0）+E（y+y0）+F=0，且点（m，n）为切点弦上的一点。因此将（m，n）代入直线方程，即：Ax0m+B（x0n+y0m）+Cy0n+D（m+x0）+E（n+y0）+F=0，可知：（x0，y0）为直线：Amx+B（nx+ym）+Cny+D（m+x）+E（n+y）+F=0上的点，即L（x，y）=0上的点。因此，切线交点形成的轨迹同样为L（x，y）=0。

四、过圆锥曲线外一点的切线方程

（m，n）为圆锥曲线F（x，y）=Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0外一点，过（m，n）的圆锥曲线切线满足方程：

L2（x，y）=F（x，y）F（m，n）。

证明过程为：

已知（m，n）为圆锥曲线F（x，y）

=Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0外一点，设（x，y）为过点（m，n）的圆锥曲线切线上任一点，切线与圆锥曲线的交点可使用定比分点的形式表达为，因为切线与圆锥曲线只有一个交点，因此，的值唯一。将切点坐标代入圆锥曲线方程，即为：

左右两边同时乘以（1+λ）2，得到：A（m+λx）2+2B（m+λx）（n+λy）+C（n+λy）2+2D（m+λx）（1+λ）+2E（n+λy）（1+λ）+F（1+λ）2=0

展开后，有

λ2（Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F）+2λ[Amx+B（my+nx）+Cny+D（x+m）+E（y+n）+F+（Am2+2Bmn+cn2+2Dm+2En+F）=0，即λ2F（x，y）+2λL（x，y）+F（m，n）=0

对λ解一元二次方程，λ只有唯一解，即⊿=0，得到L2（x，y）=F（x，y）F（m，n），且 L2（x，y）=F（x，y）F（m，n）

可分解为两条切线方程相乘的形式，因式分解后得到切线方程。

例如：求过椭圆外一点（4，0）的椭圆切线方程。

解：，，

代入L2（x，y）=F（x，y）F（m，n），得到：

即：，整理得到x2-8x+16-4y2=0

因式分解為：（x-4）2-4y2=0，即（x-4+2y）（x-4-2y）=0

由此可得到切线方程为x-4+2y=0和x-4-2y=0

特别的，通过观察L2（x，y）=F（x，y）F（m，n），可以发现，如果（m，n）在圆锥曲线F（x，y）=0上，就有F（m，n）=0。代入后，L2（x，y）=F（x，y）F（m，n）就会变为L（x，y）=0，与前文所证明的结论一致。

在研究圆锥曲线的切线及其相关问题中，L（x，y），即Amx+B（nx+ym）+Cny+D（m+x）+E（n+y）+F是一个常用而且便于记忆的式子，在求解此类题目中若能灵活使用L（x，y），能够提高此类问题的解题效率。

参考文献

[1]吕林根，许子道.解析几何[M].高等教育出版社.2006.

[2]邱维声.解析几何[M].北京大学出版社.2015.

[3]陈劲松，李世臣.经过圆锥曲线外一点的切线方程[J].数学教学通讯（教师版）.2011.