城轨线路车底空驶出场路径与时刻表综合优化

王 典，赵 军，钟庆伟，彭其渊

(1.西南交通大学 交通运输与物流学院，四川 成都 611756；2.西南交通大学 综合交通智能化国家地方联合工程实验室，四川 成都 611756)

本文研究城市轨道交通线路车底全日出入场走行安排中的关键环节，即运营时段前车底集中空驶出场路径与时刻表综合编制问题。城市轨道交通线路在运营时段初开行多列列车，它们始发于不同的车站，由于可供车底接续不同列车的时间有限，使得其中几乎所有的列车都需由车场发出的车底担当。由此，运营时段前大量车底集中从车场出发，根据指定的物理路径和时刻表，直接空驶至其担当列车的始发站。车底集中空驶出场安排比较灵活，每个车底既可选择从其始发车场到其担当列车始发站的直达路径，也可选择从其始发车场经1个甚至多个折返站再到其担当列车始发站的折返路径。然而，为确保整个出场活动的安全可行以及列车正点开车，必须保证每个车底的出场路径和时刻表与其他车底的时空无冲突，车场和车站能力满足要求，且出场过程需在其担当列车开车时刻之前完成。

目前国内外在城市轨道交通线路列车运行图和车底运用计划编制方面开展了一定工作。运行图编制方面，更关注时变和随机客流需求下的动态和鲁棒运行图编制模型与算法，见文献[1-4]。对于车底运用问题，文献[5-6]考虑列车编组、车底解编、车底空驶和客流需求等情况，建立车底运用计划鲁棒优化模型。文献[7]分别建立具有多交路共线运行的线路在独立和套跑运用条件下的车底运用计划编制模型。文献[8]提出运营时段前车底集中空驶出场路径优化问题，最小化总空驶距离，构建0-1线性规划模型。第三项相关研究是公交车配属问题，为公交车指派车场，以满足车场能力和路线车数需求。文献[9]考虑总空驶距离最小和最大空驶距离最小目标，提出非支配排序多目标优化算法。文献[10]考虑配属唯一性，提出几个启发式算法。文献[11]引入车场运用均衡性和运营费用目标，设计遗传算法。文献[12]考虑分时段车场能力和路线车数需求，构建多阶段配属模型。

综上，城市轨道交通线路车底集中空驶出场路径与时刻表综合编制尚未获得学术界高度关注。既有列车运行图编制研究通常提前固定列车在线路正线上的运行路径，基于此侧重于优化运营时段内列车在线路正线给定运行路径上途经车站的到发时刻，忽略列车所需车底的出入场走行过程及其出入场路径的多样性(直达路径和折返路径)，且未全面考虑车场检修和出车能力及折返站能力的限制，难以用于确定运营时段前车底集中出场路径与时刻表。既有车底运用计划研究往往设定车底出入场选择直达路径，主要勾画运营时段内的车底交路，不能保证每条获得交路上的车底均可在运营时段前通过直达路径完成出场。文献[8]与本文研究相似，但其只优化运营时段前车底集中出场路径，简单以给定时间内可发出或折返的最大车底数来刻画车场和折返站的能力，未严格满足车底出场时刻表的编制要求，注意，只确定车底出场路径难以确保后续可勾画出时空无冲突且高质量的车底出场时刻表。公交车配属的既有研究一般规定车辆在车场与路线始发/终到站间按指定路径运行，假设车辆在运行途中无时空冲突，且忽略车场和车站能力，不适用于城市轨道交通线路的车底出场安排。

鉴于此，本文根据城市轨道交通线路的运营特点，在文献[8]的基础上，对运营时段前车底集中空驶出场路径与时刻表进行综合优化，同时确定运营时段前车底从其配属车场到其列车始发站的时空无冲突的出场路径与时刻表，通过引入时刻表约束更为准确地描述车场的出车能力及车站的接发车能力和折返能力，从而获得更具有运营可行性的车底出场方案。

1 问题定义

1.1 问题描述

城市轨道交通线路运营时段前车底空驶出场路径与时刻表综合优化包含路径与时刻表优化两个子问题：给定线路运营时段内的列车运行图和车底交路，路径问题在于指派运营时段初各列车需要车底的配属车场及运营时段前从车场到列车始发站的出场路径；给定出场路径，时刻表问题在于确定各车底在选择路径上途经各车场、中间站和折返站的到发时刻。鉴于现场存在多种运营条件的城市轨道交通线路，不失一般性，本文针对复杂的具有多车场、多车型和多列车交路的线路开展研究，该线路可约简为更为简单的线路。

以包含6个车站(含4个折返站)和2个车场的线路为例进行问题描述，如图1所示，其中车站沿下行方向从s1到s6依次编号，车场类似编号为j1和j2，其所在站分别为车站s2和s5。线路沿线设置4个折返站，分别为s1，s3，s5和s6。车站s1为单向站后折返站，可将车底由上行折返为下行。车站s3为双向站前折返站，可折返两个方向车底。车站s5为单向站后折返站，可将车底由下行折返为上行，该站连接车场，通常运营时段前不办理折返作业。车站s6为单向站前折返站，可将车底由下行折返为上行，下行车底直接接入上行正线进行折返。

线路运营2条列车交路，第一条的端点为车站s1和s6，第二条的为车站s3和s6。线路在6：30开始运营，根据提前编制的运营时段内的车底交路计划，运营时段初下行列车i1和上行列车i2和i3需由在运营时段前空驶出场的车底担当，列车i1属于第二条列车交路，列车i2和i3属于第一条列车交路。现需为担当该3列列车的车底指派配属车场、出场路径及时刻表(统称出场方案)，在满足各种运营和能力要求的条件下，减少车底总空驶距离和总空驶时间。

图2提供一些候选车底空驶出场方案，可以看出，若忽略车场检修及出车能力、车站和折返站能力，根据车场和折返站位置以及列车始发站和发车方向，可确定任意列车的所有可行车底出场路径。列车i1的可行车底出场路径有4条，编号为p1～p4，其中，路径p1为直达路径，其他为折返路径，需在途中折返一次，以满足列车的发车方向。简便起见，图2分别仅给出列车i2和i3的最短车底出场路径p5和p6。注意，车站s6为站前折返站，下行车底进站时直接接入上行正线折返，由此使得列车i3的车底只能在列车i2发车后才能开始办理接车作业。此外，理论上存在多次折返出场路径，如路径p7，采用该路径的车底需先后在车站s3和s6折返，但通常其空驶距离较长且额外占用折返站能力，实际运营中不予采纳。

图1 线路示意

图2 车底空驶出场示意

车底同时遵循时空可行的路径和时刻表出场，各条路径的始发车场、途经车站和折返站存在差异，产生不同空驶距离。直达路径往往具有较小空驶距离，但受车场检修及出车能力、车站通过能力、折返站折返能力等限制，直达路径并非总是可行。同时，车站一般不设置到发线，车底到达所担当列车始发站后需停留在正线待发，使得后续同方向车底不能通过该车站，部分车底不得不采用折返路径迂回出场，增加空驶距离。为确保运行安全，必须保证任意两车底出场时在时空上不存在冲突。受列车发车时刻的影响，在一些出场路径上，车底不能在运营开始时到达所担当列车的始发站，如路径p6，车底不能与运营时段内的列车存在时空冲突。即使采用相同的出场路径，不同的车场发车时刻将导致车底空驶时间存在差异，例如，路径p5和p6途经相同车场和车站，但前者在车场发车时刻更早，需要更长的空驶时间。为节约运营成本，在不增加车底总空驶距离的同时应尽量减少总空驶时间。车底空驶出场一般不需要在中间站停车，但因线路能力有限总会产生车站等待时间，在相同的等待时间下可能有许多等价的停站方案，若这些时间随机分布到沿途中间站，将导致额外起停车作业，增加中间站工作负担，故实际运营中应尽量减少车底出场在途经中间站的停留时间，让其快速运行至担当列车始发站待发。

综上，本文问题可描述为：给定线路布置及能力，车场布置及能力、折返站布置及能力以及需由运营时段前集中空驶出场的车底担当的列车等信息，确定所有列车所需车底的配属车场、出场路径及时刻表，使得任意列车由适当车底担当，所有车场检修及出车能力、所有车站和折返站能力均不违背，任意车底和列车在时空上不冲突，且车底出场总空驶距离和总空驶时间最小，并尽量保证车底在所担当列车始发站集中待发。

1.2 问题假设

城市轨道交通线路车底全日出入场走行过程可分为3个阶段，包括运营时段前集中出场，运营时段内分散出入场和运营时段后集中入场。3个阶段相互联系，共同影响车底运用效率，求解车底全日出入场走行方案的理想策略应是集成3个阶段进行协调优化，然而这样的策略对于具有多车场、多车型和多列车交路的线路研究难度大。鉴于车底在运营时段内分散出入场可视为普通列车，允许载客，不产生空驶，同时在运营时段后集中入场不需要占用车站正线待发，安排难度和空驶距离降低显著，本文研究第一阶段的运营时段前车底集中空驶出场路径与时刻表综合编制。为便于后续方法阐述，提出以下假设：

(1)线路运营时段内的列车运行图和车底交路计划已完成编制。

(2)不考虑需在沿途折返2次及其以上的复杂车底出场路径。

(3)为将车场开始上班时间设置在合理水平，引入车场最早允许出车时刻，规定任意车场向两个方向发出车底的时刻不能早于其最早允许出车时刻。

(4)鉴于城市轨道交通线路车底起停车附加时间较短，同时为增加车底集中空驶出场的灵活性，无论车底是否在中间站停车，规定各区间运行时分均包括起停车附加时间。

2 数学模型

2.1 网络抽象

将研究的城市轨道交通线路抽象为有向网络，基于此，提前生成各列需要由车场发出的车底进行担当的列车的所有可行出场路径。

以图1所示线路为例，其抽象网络如图3所示。顶点集由三部分构成，包括车站正线顶点1～11，折返线顶点12和13，车场顶点14和15。各车站下行和上行正线一般情况下各设置1个顶点，各折返站根据其配线情况设置顶点。车站s1为单向站后折返站，车站s3为双向站前折返站，这两类车站同时设置正线和折返线，接发车和折返允许部分平行作业，前行列车进折返线停稳后可办理后行列车接车进路，前行列车出清折返线后可办理后行列车进折返线进路。因此，在车站s1和s3分别设置1个折返线顶点。车站s6为单向站前折返站，在这类车站不设置折返线，下行车底依次接入上行正线办理折返作业，前行列车需出清车站后才可办理后行列车接车进路。由此，只为车站s6设置上行正线顶点6，不设置下行正线顶点16和折返线顶点17。现场折返站还存在站后双折返线折返和站前双渡线折返等配线设置形式，技术上可交替进行两列车底的折返，但为避免进路冲突，确保作业安全，现场一般只固定使用其中的1条站后折返线或1条站前单渡线来办理折返作业。为此，对这两种类型的复杂折返站，本文参照其对应的简单折返站(即图1中的车站s1和s6)在抽象网络中设置顶点。各车场分别设置1个顶点，可向两个方向发车。

图3 网络抽象示意

弧集包含四部分，分别为区间弧、入折返线弧、出折返线弧和出场弧。区间弧表示车底在区间运行，基本位于同方向两相邻车站正线顶点间。在折返站s6，下行列车直接接入上行正线折返，车站s5和s6间的下行区间以从车站s5下行正线顶点5到车站s6上行正线顶点6的弧表示。折返线弧表示车底在折返站正线与折返线间的走行过程，在各折返站，折返线弧根据其折返方向进行设置，入折返线弧连接接车正线顶点与折返线顶点，出折返线弧连接折返线顶点与发车正线顶点。折返站s3可办理两个方向车底的折返作业，尽管任意方向的车底折返物理上不占用相应的车站正线，但此时该正线不能用于接车，即任意方向的车底折返对同方向车站正线构成间接占用，为此，每个折返方向分别引入1条入折返线弧和1条出折返线弧。出场弧表示车底从车场到衔接车站正线的走行过程，在各车场，出场弧根据其发车方向进行设置，对各发车方向，车场顶点通过1条出场弧连接可达的衔接车站正线顶点。为各弧引入长度和时间属性，表示车底在该弧对应物理路径上的走行距离和时间。出场弧的属性取为车底从车场到衔接车站的走行距离和时间，区间弧的属性取为区间长度和运行时间，入/出折返线弧的属性取为车底入线/出线走行距离和时间。

将研究线路基于上述规则抽象为有向网络后，任意列车所需车底的可行出场路径等价于抽象网络中从具备检修功能车场对应的顶点到该列车始发车站对应正线顶点的路径。分别生成每列列车的所有可行车底出场路径，以保证每条出场路径独立，对应唯一的列车和途经顶点集合。所有可行出场路径可在抽象网络中采用深度优先或广度优先等搜索算法确定，便于实施，可先忽略可行性生成所有的出场路径，然后从中删除途经多个折返站或折返线长度小于车底长度的不可行路径。前文已述，运营时段内有部分列车始发时刻在线路运营开始时刻之后，但需要运营时段前从车场发出的车底担当，例如图2中的列车i3，这些列车的车底需同时与运营时段前的出场车底和运营时段初的载客列车时空不冲突。为此，将研究时段结束时刻从运营开始时刻(图2中为06：30)推迟为列车的最晚始发时刻(图2中为Te)。同时，将各列车的可行车底出场路径拓展为两部分：一部分在抽象网络中生成，从该路径的始发车场对应的顶点到列车始发站对应的正线顶点，称为可变部分，车底在这部分路径上途经顶点的到发时刻有待决策；另一部分根据运营时段内的运行图生成，从该路径列车始发站对应的正线顶点到研究时段结束时刻列车途经的最后一个车站对应的正线顶点，称为固定部分，车底在这部分路径上途经顶点的到发时刻由运行图给定，是需要满足的时空约束。

以图2中的列车i1为例，假设车场j1可对该列车的车底进行检修，且运营时段内的运行图规定研究时段结束时刻该列车运行至车站s4，则路径p1为其可行车底出场路径，在图3中表示为(14，2，3，4)，其中顶点14到3的路径基于图3的抽象网络生成，为可变部分，顶点3到4的路径由运行图给定，为固定部分。类似地，对于列车i3，假设该列车的车底可在车场j2检修，且研究时段结束时刻该列车正好在其始发站出发，则其可行车底出场路径p6在图3中表示为(15，5，6)，其中可变部分为顶点15到6，固定部分只含顶点6。

2.2 符号说明

为便于模型构建，首先对将使用的集合、参数和变量进行定义，见表1。

表1 集合、参数及变量定义

表1(续)

表1(续)

2.3 目标函数

日常运营中，车底在运营时段前集中出场一般不允许载客运行，需快速运行至所担当列车始发站。为降低运营成本，提高车底运用效率，应最小化车底出场总空驶距离。同时，在出场路径确定后，车底出场时刻虽不会增加空驶距离，但对车底空驶时间产生影响。不合理的出场时刻可能使得车底过早出场，在途经车站或所担当列车始发站等待较长时间，延长相关人员工作时间，增加运营成本，故还需最小化车底总空驶时间。通常缩短总空驶距离能直接减少运营成本，属于主要目标，模型引入车场最早允许出车时刻可在一定程度上控制车底空驶时间处于合理范围，故总空驶时间为次要目标。复合目标函数表示为

(1)

2.4 约束条件2.4.1 路径唯一性

为保证运营时段初所有考虑列车正常发车，任意列车的车底必须且只能从其候选可行出场路径集中选择1条路径出场，该约束可表示为

(2)

2.4.2 时刻表可行性

各车底在其出场路径上的各顶点和各弧需分别满足最小停站时间和走行时间，即

zps′=yps+tss′·xp∀p∈P；s∈Sp{op}

(3)

yps-zps≥bps·xp∀p∈P；s∈Sp{wp}

(4)

T·xp≤ypwp≤M1·xp∀p∈P

(5)

(6)

(7)

式(3)为车底在出场、区间运行、入/出折返线过程中的走行时间应等于规定作业时间标准。式(4)为车底在途经车站正线、折返线的停站时间不小于规定的最小时间，该约束隐含车底在任意顶点的出发时刻不早于相应到达时刻。式(5)左半部分为任意车底在车场的发车时刻不早于该车场规定的最早允许出车时刻，右半部分与式(2)和式(3)共同保证式(1)中车底出场时刻计算的正确性，若路径p未用于车底出场，其在途经所有顶点s的到发时刻包括在车场的发车时刻均等于0，其中M1取为路径p对应车场在运营时段内首列车底的出场时刻减去对应出车间隔。式(6)、式(7)为车底在路径p固定部分途经各顶点的到发时刻等于图定时刻。

2.4.3 车场检修能力

城市轨道交通线路的车底一般只有一种，但可配置不同的编组辆数，并在线路上混跑，例如4编/6编混跑，6编/8编混跑等，这里将车底根据其编组辆数进行分类。为确保车底运用安全，现场建立严格的车底检修制度，修程包括列检、月检、定修、架修和大修等，规定车底每运营一定时间或里程后需开展相应修程的检修，其中，车底的列检和月检等日常检修作业通常固定在其配属车场进行。受场站功能和规模设计的影响，各车场对各类型车底的日常检修能力是有限的，一般情况下，较短编组的车底可在容纳较长编组车底的停车线上驻留并进行日常检修，反之则不能。因此，在确定车底出场方案时，需满足配属于各车场的各类型车底数不能超过该车场对该类型车底的可用检修能力，可表示为

∀j∈J；f∈F

(8)

式中：左半部分表示车场实际配属的各类型车底数；右半部分表示该车场对该类型车底的可用检修能力，等于该车场对该车型的总检修能力减去用于检修更长车型占用的能力。

2.4.4 车场出车能力

研究线路的车场与其衔接站间通常分别设置1条出场和1条入场联络线，运营时段前两条联络线均只供车底出场使用，为避免进路冲突，两出车方向各占用1条。尽管如此，两条联络线共用同一个咽喉区与车场相连，受场站布置和信号设备的影响，两相邻同方向和反方向的车底间都需满足必要的安全出车间隔。车场在最早允许出车时刻规定下只有有限的出车时段，与出车间隔共同限制其出车能力，该约束可表示为

∀j∈J；p，p′∈Bj|p≠p′

(9)

(10)

(11)

∀j∈J；p，p′∈Bj|p≠p′

(12)

2.4.5 车站能力

城市轨道交通线路一般采用基于通信的列车控制系统(CBTC)，实现移动自动闭塞行车，基于此车底可以足够小的距离追踪运行。然而，车底在车站到发和通过需办理一系列技术作业，包括办理进路、进/出站等，两相邻同方向的列车在车站需满足一定的到达和出发间隔，由于列车运行速度是一样的，不存在区间越行，这里只考虑到达间隔。同样的，车底在车站折返也存在办理进路、入/出折返线等技术作业过程，两相邻办理同方向折返的车底间也需满足必要的到达间隔。由列控系统引起的车站能力约束表示为

∀p，p′∈P|p≠p′；s∈Sp∩Sp′且s∉J

(13)

式中：M3可取为路径p和p′所对应列车始发时刻的较大值。此外，研究线路的车站一般不设置到发线，车底在车站到发和通过只能占用正线，同时，车底在车站折返除需占用正线以外，还需占用折返线。各车站的各条正线和折返线同一时间最多只允许1个车底占用，要求途经同一条车站正线或折返线的两相邻车底应满足必要的发到间隔，即

∀p，p′∈P|p≠p′；s∈Sp∩Sp′且s∉J

(14)

s∈Sp∩Sp′且s∉J

(15)

s∈Sp∩Sp′且s∉J

(16)

∀p，p′∈P|p≠p′；s∈Sp∩Sp′且s∉J

(17)

2.5 两阶段算法

综上，车底空驶出场路径与时刻表综合优化问题可构建为

M式(1)

s.t.式(2)～式(17)

简单的车底空驶出场路径问题可约简为具有顶点约束的多商品网络流问题，后者已被证明为NP-hard问题[8]，由此原问题本质上是NP-hard的。然而，模型M为混合整数线性规划模型，利用主流商业优化软件(CPLEX，GUROBI等)即可快速获得中小规模问题的最优解。通常研究线路的车场和折返站数量较少，且运营时段初需要从车场发出车底进行担当的列车数量也不多，使得所有可行车底出场路径的条数有限，原问题的规模是可控的。同时，线路上的非车场衔接站、非折返站和非列车始发站对车底出场方案无实质影响，提前约简这部分车站不会漏掉最优出场路径，并可进一步减小原问题规模。此外，原问题为战术层面决策，对模型求解无实时性要求，在合理时间内求得最优解即可。因此，借助于所提出的线性模型M，本文直接采用商业优化软件求解原问题。

3 案例分析

以某城市轨道交通线网中最繁忙线路实际数据为例，验证所提出方法的有效性。采用MATLAB 2015b编程所提出优化方法，并调用CPLEX 12.6求解其中的优化模型。所有计算在CPU为Inter Core i5-4590 3.3 GHz，内存为16 GB的64位个人电脑上执行。

3.1 案例描述

测试线路全长54 km，设车站39座，如图4所示，2015年日均客流量达69.8万乘次，全年客流量超2.5亿乘次。全线分别在车站s3和s28附近设置车场j1和j2，车场信息见表2，其中前者只可检修6编组车底，后者可检修6编组和8编组车底。全线沿线共设置8个折返站，折返站信息见表3，所有折返站均为单向折返，其中可将车底从上行折返为下行的折返站3个，将车底从下行折返为上行的折返站5个，目前日常运输组织中启用6个折返站，剩下2个备用。车站s11和车站s32设有渡线，可在特殊情况下分别发挥上行和下行折返站作用。折返站s28为车场衔接站，运营时段前只用于车底出场，不办理车底折返。

图4 测试线路

表2 车场信息

表3 折返站信息

测试线路06：30开始运营，选择该线路某工作日的分号列车运行图进行案例分析。运行图里共有31列列车(编号为1～31)需由运营时段前从车场始发的车底担当，车底出场路径与时刻表有待确定。同时，由问题定义研究时段结束时刻Te取为最晚的列车4的始发时刻06：43：55，在线路运营开始时刻与研究时段结束时刻间，还有5列列车(编号为32～36)直接从车场始发，这些列车在车场的发车时刻及其至研究时段结束时刻的运行路径和途经车站的到发时刻由运行图给定，是在安排前31列列车车底出场方案时需遵守的时空约束。

对于测试案例，现行基于经验编制的车底出场方案如图5所示，结合现场习惯，不展示车底在车场发车和在折返线作业的过程及到发时刻，同时，简便起见，忽略研究时段结束时刻之后不属于研究范畴的运行线。现行车底出场方案的统计信息见表4，其中，第1列为列车编号，第2～4列分别为列车始发站、始发方向及始发时刻，第5列为担当车底在车场的发车时刻，第6列为空驶距离，注意，后续计算结果只对前31列列车进行统计和分析。设两车场最早允许出车时刻为05：00，已知车站到达间隔和发到间隔分别为2.5 min和1.5 min，编号为20、26和31的列车需要8编组车底，其余列车需要6编组车底。

图5 现行车底出场方案

表4 现行车底出场方案的统计

由图5和表4可知，由经验方法编制的车底出场方案中，车场j1和j2分别办理9列和22列车底出场作业，其中，共14列车底采用折返路径出场，17列车底采用直达路径出场。车底总空驶距离为487 143 m，总空驶时间为1 256.58 min，车场发出首列车底出车时刻为5：19：10。因车场出车能力及车站能力限制，列车4需由配属于车场j2的车底采用折返路径出场担当，产生较长空驶距离和空驶时间。

3.2 计算结果

使用两阶段算法求解测试案例，寻找高质量的车底出场方案，共生成车底出场路径173条，从中剔除不合理路径后，剩余可行出场路径110条。所提出算法共耗时1 607 s收敛，其中第一和第二阶段分别耗时1 604 s和3 s。优化车底出场方案如图6所示，相应的统计信息见表5，简便起见，表5仅给出前31列列车的车底出场方案。

图6 优化车底出场方案

表5 优化车底出场方案的统计

由图6和表5可知，从统计结果来看，优化后，车场j1共办理8列车底出场作业，车场j2共办理23列车底出场作业，其中，共14列车底采用折返路径出场，17列车底采用直达路径出场。车底总空驶距离为465 933 m，总空驶时间为1 038.83 min，车场开始办理车底出车作业的时刻为5：28：30。相比于现行方案，优化出场方案中每日车底总空驶距离缩短21 210 m，缩短率为4.35%，预计全年空驶距离节省量将超过7 700 km，同时，车底总空驶时间节省217.75 min，节省率为17.33%，车场可推迟9.33 min开始办理出车作业。

车底出场路径方面，与现行方案比较，优化方案在所有列车中仅对列车4、5、8、11、14和30的车底出场路径进行了调整。列车4、8和14的车底出场路径由原来的折返路径调整为直达路径，共缩短空驶距离29 021 m。列车4的车底出场路径由原始发于车场j2的折返路径调整为始发于车场j1的直达路径，空驶距离缩短13 875 m，占总空驶距离缩短量的65.4%，效果显著。列车8和14的车底出场路径由原始发于车场j1的折返路径调整为始发于相同车场的直达路径，空驶距离均缩短7 573 m。列车5、11和30的车底出场路径由原来的直达路径调整为折返路径，共增加空驶距离7 811 m。列车30的车底出场路径由原始发于车场j1的直达路径调整为始发于相同车场的折返路径，空驶距离增加7 573 m，变化明显，但好处在于使得列车4可由更近车场j1的车底采用直达路径进行担当，缩短了总空驶距离。列车5和11原由始发于车场j1的车底通过直达路径进行担当，但空驶距离均较长，尽管优化方案将这两列列车的车底出场路径都调整为始发于车场j2的折返路径，但代价较小，空驶距离均只增加119 m。

从计算时间来看，第一阶段模型的求解占据绝大多数时间，给定第一阶段的最优解，第二阶段的辅助模型可极快求解。虽然所提出算法求解时间稍长，但原问题为战术层面非实时决策问题，算法求解时间处于合理范围。因此，所提出优化方法能在合理时间内获得实际可行的车底出场方案，具有优良的求解效果，优于目前现场经验方法，可用于辅助现场提高城市轨道交通线路运营时段前车底出场方案的质量，从而减轻工作负担，节约运营成本。

3.3 灵敏度分析

测试案例两个车场的出车间隔有较大不同，使得这两个车场可发出的车底数存在较大差异，由此可能导致部分列车因车场出车能力不足需由较远车场的车底进行担当，增加总空驶距离和总空驶时间。此外，案例中有2个折返站未启用，可能使得部分车底需去较远的折返站办理折返。现采用灵敏度分析方法探讨可能进一步缩短总空驶距离和总空驶时间的措施，分别为通过技术改造缩短车场出车间隔和启用备用折返站。

3.3.1 缩短车场出车间隔

首先探讨车场出车间隔对车底总空驶距离和总空驶时间的影响。测试案例中车场j2的出车间隔小，理论上已难以进一步压缩，因此，考虑只缩短车场j1的出车间隔，同时固定车场j2的出车间隔。根据测试线路信号部门的反馈意见，车场j1的出车间隔共设计以下四种情况：同向12 min，反向6 min；同向9 min，反向4.5 min；同向6 min，反向3 min；同向4 min，反向1.5 min。对于各种情况，保持其他参数设置不变，依次求解优化模型，结果如图7所示，其中，[12，6]表示同向和反向出车间隔分别为12 min和6 min的情况，缩短率和节省率分别表示总空驶距离和总空驶时间相对经验方案的改进比例。

(a)总空驶距离

(b)总空驶时间

由图7可知，随着车场出车间隔的减少，该车场出车能力逐渐增大，更多始发站在附近的列车可由该车场的车底担当，从而可缩短总空驶距离和总空驶时间。当出车间隔由[12，6]缩短为[9，4.5]时，总空驶距离缩短率增量较为显著，由4.35%增加为5.93%，总空驶时间节省率增量较为平缓。当出车间隔由[6，3]进一步缩短为[4，1.5]时，总空驶距离缩短率维持不变，而总空驶时间节省率增量较为明显，由20.43%增长为27.67%。所有情况中两个车场的检修能力均存在富余。可得出结论，车场出车能力对车底总空驶距离和总空驶时间具有较大影响，在一定范围内缩短车场出车间隔能减少总空驶距离和总空驶时间。

车场出车间隔由车场的线路布置、信号条件及行车组织方法等因素决定，缩短车场出车间隔可采用许多技术改造和技术组织措施，不同的措施具有特有的技术条件要求、工程投资和适应性，建议相关部门在设计车场出车间隔缩短方案时，先对候选方案进行技术经济综合比选，评估各候选方案的技术可行性、所需工程投资、以及缩短总空驶距离和总空驶时间所获得的运营节省，再从中选择合理的方案。

3.3.2 启用备用折返站

现探讨启用备用折返站对车底出场方案的影响。测试线路有两个备用折返站s18和s35，均可将下行方向车底折返为上行。分析以下4种情况：不启用备用折返站；启用车站s18；启用车站s35；启用车站s18和s35。对于各种情况，不改变其他参数，求解优化模型，结果如图8所示，其中，{-}表示未启用备用折返站，{s18}表示启用折返站s18。

(a)总空驶距离

(b)总空驶时间

由图8可以看出，单独启用折返站s35可在优化方案基础上进一步缩短总空驶距离和总空驶时间，且对前者的优化效果更为显著，其增量达到8.24%。单独启用折返站s18不能进一步缩短总空驶距离和总空驶时间，尽管同时启用两个备用折返站可进一步提高出场方案质量，但其优化效果是由开通折返站s35所获得的。由此可判断，单独启用折返站s35能进一步改善运营时段前车底出场方案，考虑到开通备用折返站可能存在技术改造和费用支出，建议相关部门在进行技术经济比选后考虑是否启用部分备用折返站。

4 结束语

本文提出城市轨道交通线路运营时段前车底空驶出场路径与时刻表综合优化方法。通过提前生成所有可行车底出场路径，以车底出场总空驶距离和总空驶时间最小为目标，满足若干运营和能力要求，构建混合整数线性规划模型。设计两阶段算法，以最小化车底在途总停站时间为目标，对所得最优解进行二次优化，尽量减少车底在途不必要的起停车作业，以提高获得车底出场方案的实际可操作性。实际案例分析结果表明，所提出优化方法可在合理时间内获得比现场经验方法更优的车底出场方案，可用于辅助实际决策。若技术经济条件允许，适当提高瓶颈车场出车能力或者启用备用折返站可进一步提高车底出场方案的质量。

本文致力于对运营时段前车底空驶出场路径与时刻表进行综合优化，所提出模型对于大规模实际案例需要花费相对较长的时间，未来有必要研究更有效的优化算法，以进一步加快寻找高质量车底出场方案的效率。其次，论文研究宏观的车底空驶出场路径与时刻表问题，以正线和折返线集计表达车站级的基础设施，下一步可以轨道电路为单元更为细致地建模车站的基础设施，进而研究微观的车底出场路径与时刻表综合优化方法。此外，勾画完整的车底交路计划需协调安排车底在运营时段前集中出场、运营时段内分散出入场和运营时段后集中入场3个走行过程，运营时段内考虑车底分散出入场走行的车底交路计划问题以及集成全日车底出入场走行的车底交路计划问题也是将来研究的方向。