泰勒公式在一类导数问题中的应用

福建省泉州第五中学 (362000) 王文佳 杨苍洲

导数问题中参数范围的确定、分类讨论时界点的寻找，及如何恰当的构造函数是导数部分的难点，也是高考及各级模拟考常考的难点和热点.其中，大多数时候我们对自己所构造的函数有一种“不信任”，即不确定其是否会达到我们所预想的效果.究其原因是忽略了一元函数泰勒展式在解决含参数问题中的重要作用.本文以高频出现的指数函数f(x)=ex为例，说明在一类问题中如何应用泰勒公式快速的确定参数范围，同时阐明此类问题中构造函数的隐含理论支撑之所在.

1.函数f(x)=ex在x0处的泰勒公式

2.用泰勒展开式预测参数的取值范围

例1 (2010新课标全国理科21)设函数f(x)=ex-1-x-ax2.

(Ⅰ)若a=0，求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围.

评注：(ⅰ)关于构造函数g(x)，由于原题目中最高次项为x2，所以只取函数y=ex的泰勒展式前三项，即到二次项；

(ⅱ)关于函数g(x)的值域，由其泰勒展式可知g(x)一定非负，所以可大胆证明g(x)≥0；

(ⅲ)关于参数在另一半取值不合题意的讨论，主要就是寻找导函数零点的问题，然后利用函数单调性说明此种情况不合题意.

例2 (北京四中2018-2019学年高三上学期理科期中考试)已知函数f(x)=e3x-1-3x-ax2，a∈R.

(Ⅰ)当a=0时，证明：当x≥0时，f(x)≥0；

(Ⅱ)当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围

解析：(Ⅰ)略；(Ⅱ)记g(x)=f′(x)=3e3x-3-2ax，则g′(x)=9e3x-2a.

例3 (安徽屯溪一中高二理科期考)已知函数f(x)=ex-1-x-ax2.

(Ⅰ)当a=0时，求证f(x)≥0；

(Ⅱ)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；

(Ⅲ)若x>0，证明(ex-1)ln(x+1)>x2.

解析：(Ⅰ)略；(Ⅱ)与前面例1几乎完全一致，过程略；

综合以上问题我们已经发现：

(ⅱ)泰勒公式为我们提供了用多项式替换超越式的思想及具体方法.

3.结束语

泰勒公式是一个用函数在某点处的信息描述其附近取值的情况的公式，其实是用可导函数的各阶导数值做系数构建多项式来近似函数在某点邻域中的值，高中阶段常用的即为本文开篇提到的函数f(x)=ex在x0处的泰勒公式或它们的变式，在构造函数的过程中老师们也往往较为生硬的告诉学生只有这样构造才能做出来，导致一种学生只知其然，不知其所以然的局面.泰勒公式给我们的启发之一是函数的构造变得不再生硬，有血有肉；启发之二是可以作为讨论参数分界点的一个指导.