2019年高考全国I卷函数与导数试题分析与备考建议

广东省华南师范大学附属中学(510630) 黎海燕

今年全国I卷“函数与导数”试题题型与往年相比无明显变化，比如幂、指、对函数值的大小比较，函数的图像，函数的性质(包括函数单调性，奇偶性，对称性，周期性等)函数的切线方程，零点问题，极值问题，不等式恒(能)成立等.试题从较为全面地考查了学生的函数的基本知识、综合素养和学生的数学思维能力—“函数”始终贯穿高中数学的函数和方程、分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想方法.今年的试题难度较往年有所下降，试题分布较往年有较大的调整，如何更科学有效地备考? 我们有必要继续研究高考的命题规律和解题策略.[1]

一、2019年高考全国I卷函数与导数试题评析

(一)函数与导数的客观题评析

题目1(全国I卷文、理科第3题)已知a = log20.2，b=20.2，c=0.20.3，则( )

A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.c ＜a ＜b D.b ＜c ＜a

评析本题属基础题，是高考的常考题型，考查幂指对函数值大小比较的通解通法，充分体现基本初等函数幂指对函数在函数中的重要地位.

题目2(全国I卷文、理科第5题)函数f(x)=在[-π,π]的图像大致为( )

评析本题是函数图像的识图问题，这类问题在高考试题中屡屡出现，主要考查函数的奇偶性和单调性和综合运用函数知识分析问题和解决问题的能力.但本题可用排除法和特殊值法巧解，只需考虑函数的奇偶性和f(π)的符号即可解决，属容易题.

题目3(全国I卷文、理科第13题)曲线y =3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为____.

评析函数图像的切线问题是高考的高频考点，考查导数的几何意义是切线的斜率，本题是“已知切点”求切线方程的问题，属基础题.

(二)函数与导数的解答题评析

题目4(全国I卷理科第20题)已知函数f(x)=sin x-ln(1+x).f′(x)为f(x)的导数.证明：

(1)f′(x)在存在唯一极大值点；

(2)f(x)有且仅有2 个零点.

评析本题的函数模型是正弦函数与对数函数组合，考查函数的极值和函数零点问题.本题不同于往年高考压轴题，函数不含参数，无需对参数分类讨论.虽然三角函数在往年全国高考压轴题中从未出现过，但万变不离其宗，函数是学生熟悉的，解题方法和过程也是学生熟悉的，还是用导数研究函数的图像和性质的问题.本题第(1)问难度较往年加大，首先，审题易出错，求的是f′(x)的极值点存在性问题；其次，导数零点不能直接求出，需用零点存在性定理设出零点，是一个抽象的零点，但不管是抽象的零点还是具体的零点，都是一个数，前者需作存在性说明，后者直接求解得到，对往下说明函数极值点的个数并无影响.第二问难度较往年低，要求学生有较好的函数基本功.

(1)的解法一设g(x)=f′(x)，则当时，g′(x)单调递减，而可得g′(x)在有唯一零点，设为α.则当x ∈(-1,α)时，g′(x)＞0，当时，g′(x)＜0，所以g(x)在(-1,α)单调递增，在单调递减，故g(x)在存在唯一极大值点，即f′(x)在存在唯一极大值点.

说明重视“导函数是一个函数”的理解，研究f′(x)的极值，则需对f′(x)求导，判断f′(x)的导函数的符号，从而得到f′(x)的单调性.由于不能直接判断出f′(x)的导函数的符号，需研究f′(x)的导函数的图像，关键是获得f′(x)的导函数的单调性，这里灵活运用减函数+减函数=减函数的性质，快速获得了f′(x)的导函数为单调减函数，避免了对f′(x)的导函数进行求导的过程.

(1)的解法二设g(x)=f′(x)，则令g′(x)= 0，得sin x =令h(x)= sin x，u(x)=其中x ∈因为h(x)在单调递增，u(x)在单调递减，且h(0)＜u(0)，h所以h(x)与u(x)在有且只有1 个交点，设交点的横坐标为α.当x ∈(-1,α)时，h(x)＜u(x)，即u(x)- h(x)＞0，也 即g′(x)＞ 0； 当时，h(x)＞ u(x)，即u(x)- h(x)＜0，也即g′(x)＜0.所以g(x)在(-1,α)单调递增，在单调递减，故g(x)在存在唯一极大值点，即f′(x)在存在唯一极大值点.

说明在判断导函数的符号时，关键是导函数的零点求解或零点存在性说明，将函数零点问题转化为方程问题，并对方程等价转化，通过研究两个函数的交点来研究方程的根的存在性，体现化复杂为简单的转化思想和数形结合的思想方法.

(2)的解法一(i)当时，由(1)知，f′(x)在(-1,α)单调递增，在单调递减，而f′(0)= 0，所以，f′(x)在(-1,α)存在唯一零点x = 0，f′(x)在也存在唯一零点，设为β.因此，当x ∈(-1,0)时，f′(x)＜0； 当x ∈(0,β)时，f′(x)＞0；当时，f′(x)＜0，故f(x)在(-1,0)单调递减，在(0,β)单调递增，在单调递增减.又f(0)= 0，且从而x = 0 是f(x)在的唯一零点.

(iii)当x ∈(e-1,+∞)时，f(x)=sin x-ln(1+x)≤1-ln(1+x)＜1-ln(1+e-1)= 0，所以f(x)＜0，从而f(x)在(e-1,+∞)没有零点.综上，f(x)有且仅有2 个零点.

说明1在(ii)中，可改成(或相应地f(e-1)＜0 可改为f(π)＜0(或在(iii)中，x ∈ (e - 1,+∞)改成x ∈(π,+∞)(或x ∈).

说明2第一问已得到了f′(x)在的大致图像，从而不难得到f(x)在的大致图像及零点的情况，所以本题关键是研究f(x)在的零点情况，由y = sin x 的有界性和y = ln(1+x)的单调性(单调递增)，可得f(x)在(e-1,+∞)没有零点，所以，只需研究在的零点情况，不难发现f(x)在有且只有一个零点.在培养学生分类讨论的思维能力中，应培养学生化整为零的解题习惯，和将新问题与已解决的问题作对比的解题意识，学会“站在巨人的肩膀上看问题”.

(2)的解法二令f(x)= 0，得sin x = ln(1 + x).令h(x)=sin x，v(x)=ln(1+x)，故f(x)有且仅有2 个零点等价于h(x)与v(x)有且只有两个交点.

(i)当x = 0 时，h(x)= v(x)= 0.当x ∈(-1,0)时，因为sin x ＞x ＞ln(1+x)，所以h(x)与v(x)在(-1,0)无交点，从而h(x)与v(x)在(-1,0]只有1 个交点(0,0).

(iv)当x ∈(e - 1,+∞)时，因为h(x)≤1，v(x)＞v(e-1)= 1，所以h(x)与v(x)在(e-1,+∞)无交点.综上，h(x)与v(x)有且只有2 个交点，从而f(x)有且仅有2 个零点.

说明零点问题本质是方程问题，好处是可将函数零点的个数问题转化为方程的根的个数问题，因为对方程进行适当的等价转化后，可数形结合地研究两个简单函数的交点个数来得到方程的根的个数，直观地发现本题的解题思路，体现化复杂为简单的转化思想.

题目5(全国I卷文科第20题)已知函数f(x)=2 sin x-x cos x-x，f′(x)为f(x)的导数.

(1)证明：f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点；

(2)若x ∈[0,π]时，f(x)≥ax，求a 的取值范围.

评析本题的函数模型是正、余弦函数与一次函数组合，考查函数零点问题和含参不等式恒成立问题.第一问难度不大，但审题易出错，求的是f′(x)的零点问题.第二问是含参不等式恒成立问题，考查数形结合的方法，难度不大.

解(1)设g(x)= f′(x)，则g(x)= cos x+x sin x-1，g′(x)=x cos x.当时，g′(x)＞0；当时，g′(x)＜0，所以g(x)在单调递增，在单调递减.又故g(x)在(0,π)存在唯一零点.所以f′(x)在(0,π)存在唯一零点.

说明考查利用导数研究函数的单调性及零点的存在性定理.

(2)的解法一由题设知f(π)≥aπ，f(π)= 0，可得a ≤0.由(1)知，f′(x)在(0,π)只有一个零点，设为x0，且当x ∈(0,x0)时，f′(x)＞0；当x ∈(x0,π)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0,x0)单调递增，在(x0,π)单调递减.又f(0)= 0，f(π)= 0，所以，当x ∈[0,π] 时，f(x)≥0.又当a ≤0，x ∈[0,π]时，ax ≤0，故f(x)≥ax.因此，a 的取值范围是(-∞,0].

说明1恒成立问题，利用一般与特殊的关系，特殊值法缩小参数讨论范围，得到a ≤0 的必要性，只需证明a ≤0 的充分性.

说明2由第一问，f(x)的图像与性质已确定，因此由第二问中不等式两边的函数f(x)和y = ax 的图像可得a 的取值范围是(-∞,0].数形结合的方法直观地判断出a 的取值范围是(-∞,0]，获得了对参数a 的范围讨论的分界点0.

说明3往年高考中，第一问获得的函数图像与性质，第二问常常会用到，所以在问题的转化中需以保留或还原第一问获得的函数为解题的切入点，在2019年广州综合测试(二)文21 也考查了这种化归思想.

(2)的解法二(分离变量法)当x = 0 时，不等式成立.当时，f(x)≥ ax 等价于则令 k(x)=2x cos x + x2sin x - 2 sin x，则k′(x)= x2cos x.当x ∈时，k′(x)＞0； 当时，k′(x)＜0，所以k(x)在单调递增，在单调递减.又k(0)=0，-2 ＞0，k(π)= -2π，故k(x)在(0,π)存在唯一一个零点，设为x1.当x ∈(0,x1)时，h′(x)＞0； 当x ∈(x1,π)时，h′(x)＜0，所以h(x)在(0,x1)单调递增，在(x1,π)单调递减.又limx→0+h(x)= 0，h(π)= 0，所以当x ∈[0,π]时，h(x)≥0.因此a 的取值范围是(-∞,0].

说明不等式进行“参变分离”后，即转化为求一个不含参的新函数的最值问题，再把这个最值与a 进行比较即可[2].求新函数的最值过程中，熟练运用导数研究函数的图像和性质，每一次求导为了获得导函数的符号，从而获得原函数的单调性并作出原函数的大致图像进一步解决问题.

(2)的解法三由题设知f(π)≥πa，f(π)= 0，可得a ≤0.设h(x)=f(x)-ax=2 sin x-x cos x-x-ax.则h′(x)=cos x+x sin x-a-1，h′′(x)=x cos x.当时，h′′(x)＞0；当时，h′′(x)＜0，所以h′(x)在单调递增，在单调递减.又h′(0)= -a ＞0，-a-1 ＞0，h′(π)=-2-a.

当a ＜-2 时，得h′(π)＞0，所以h′(x)＞0，从而h(x)在[0,π]上单调递增，所以h(x)≥h(0)=0；

当-2 ≤a ≤0 时，得h′(π)＜0，所以h′(x)在(0,π)内存在唯一一个零点，记为x1.当x ∈(0,x1)时，h′(x)＞0；当x ∈(x1,π)时，h′(x)＜0，所以h(x)在(0,x1)单调递增，在(x1,π)单调递减.又h(0)= 0，h(π)= -aπ ≥0，所以当x ∈[0,π]时，h(x)≥0.

综上所述，a 的取值范围是(-∞,0].

说明解法三对不等式恒等变形(移项)后，构造新函数来解决问题，虽然没有解法一简便，但由于新函数h(x)= f(x)- ax 的二阶导与f(x)的二阶导相同，所以h(x)= f(x)-ax 的一阶导函数图像是f(x)的一阶导函数图像上下平移所得，类似第一问研究f(x)的函数图像与性质的过程，不难得到h(x)的函数图像的讨论.

二、近三年全国I卷函数与导数试题的考点分析

表1 近三年全国I卷函数与导数试题考点与分值统计表(理科)

表2 近三年全国I卷函数与导数试题考点与分值统计表(文科)

通过对近三年全国I卷函数与导数试题考点分析，可以发现，全国I卷对函数与导数内容的考查总体稳定.客观题考查幂指对的函数值大小比较，函数的图像，曲线的切线方程基本问题，基本方法和通解通法；解答题考查利用导数研究函数的图像和性质的常见题型(函数极值、零点问题、不等式恒成立问题)和常用思想方法(数形结合、分类讨论，转化与化归).与往年不同之处在于，客观题的题号较大幅度地前移，主观题的题号也由往年的21题移至20题，难度大大降低.理科试题由往年的“一大两小共22 分”变为“一大三小共27 分”，文科试题保持“一大三小共27 分”，且文、理科的客观题首次使用一模一样的试题.解答题不同于往年以幂、指、对式和含参的二次三项式、含参的分式组成的函数为载体，首次引进了新的组合元素—三角函数，但不变的是方法，需培养学生解决新问题的心理素质.

三、备考建议

1.认真研究考试大纲，全面备考高考命题的依据是《考试大纲》，不是往年高考真题，复习备考必须把考纲要求的内容都认真复习一遍，不放过任何一个可能考查到的知识点，注意在知识的交汇处设计问题，培养学生综合处理问题的能力.[3]因此，不能将高考函数压轴题考查的函数模型定格在往年高考的模型中，今年全国I卷文理20题的函数模型都引进了三角函数，跳出了以幂指对式和含参的二次三项式、含参的分式组成的函数局限.体现了高考对创新型人才的选拔标准，但变的是形式，不变的是方法.在复习备考中，教师应精选以各种函数模型为载体的函数与导数压轴题进行教学，让学生深刻体会“换汤不换药”、“万变不离其宗”的解题过程，同时，也能开阔学生视野，在高考中习以为常地面对新问题.

2.重视概念教学在函数与导数压轴题中，有很多重要的概念—导数、极值点、函数零点、不等式恒成立、不等式能成立、基本初等函数的图像与性质等.在复习备考中，首先让学生深刻的理解好以上概念，才能更好地解决问题.

导数(1)导数是一个函数，导数的全称是导函数，只是简称导数而已，能理解导数符号f′(x)是一个函数符号，是一个关于x 的函数.(2)导数是原函数图像中任意一点切线的斜率，是原函数图像中切线的斜率关于x 的函数，导数大于零，原函数递增，导数小于零，原函数递减.另外，同一起点的两个函数图像增长的快慢可通过比较两个函数的导函数大小关系，如h(x)= sin x，v(x)= ln(1+x)的图像在的交点情况说明，类似同一起跑线上的追及问题，函数图像增长的快慢，类比加速度的大小，h′(x)＞v′(x)，说明h(x)比v(x)增长地快，h′(x)＜v′(x)，说明h(x)比v(x)增长地慢.

极值点若x=x0是函数f(x)的极值点，需同时满足两个条件：(1)f′(x0)=0，(2)f(x)在x=x0附近导函数异号.极值是f(x)在x = x0附近的局部性质，通过举反例，让学生深刻理解极值的两个条件缺一不可，并在解题中规范表达.

函数零点全面理解函数零点的概念和零点存在性定理，尤其是函数零点与方程的根的相互转化关系，有利于学生在解题中灵活转化问题，化繁为简.判断零点个数问题，除了满足零点存在性定理，还需注意函数单调性说明.

不等式恒成立需让学生从两个维度认识不等式恒成立问题：(1)不等式(2)恒成立.对于不等式，需让学生认识到不等式可以恒等变形，可将复杂问题转化为简单问题，将陌生问题转化为熟悉问题.对于恒成立，应让学生认识到恒成立是一个一般性结论，特殊情况也成立，可代入特殊值缩小参数讨论的范围.也可将恒成立所在的区间划分为若干个区间，对某些区间容易证明不等式恒成立，只需重点讨论其余区间.

不等式能成立需让学生从两个维度认识不等式恒成立问题：(1)不等式(2)能成立.对于能成立，应让学生认识到能成立是个存在性问题，不等式有解的问题.

基本初等函数的图像和性质熟练基本初等函数的图像和性质，以及基本初等函数之间的大小关系.如x ∈(-1,0)时，sin x ＞x ＞ln(1 + x)； x ∈(0,+∞)时，ex＞x+1，ex＞x2(如图1)，ln x ≤x-1 ＜x ＜x2(如图(如图3)，(如图(如图5)； x ∈(-∞,0)时，(如图6).在研究函数趋向性时，常常利用以上函数关系将指数函数和对数函数放缩成幂函数.

图1

图2

图3

图4

图5

图6

3.重视培养学生独立思考能力和解决问题的能力在函数题中，常考查学生转化、数形结合、分类讨论的思想方法.在备考中，除了让学生掌握这些数学思想方法，还要让学生认识到这些数学思想方法在解题中的相互作用，数形结合可让学生直观地理解问题和解决问题，直观地发现分类讨论的区间划分.而在数形结合中，学生擅长画简单的函数图像，所以将问题中的函数类型转化为简单的函数类型是解题的突破点.同时，还要培养学生新旧问题对比、化整为零地解决问题的思想方法和能力.在函数压轴题的备考教学中，建议堂上示范加堂上训练，必要时一题一课，切记“贪心嚼不烂”.给学生足够的独立思考时间，让学生在及时理解思路和发现疑难，反思、总结、优化方法中提升解决问题的能力.

4.重视运算能力熟记求导公式和求导运算法则并做专题的求导运算训练.在高考中，求导正确至少得1 分，在激烈的竞争中，1 分之差在总分排名中常常有几千名的差别.其次，求导正确是解函数题的重要前提和基础，高考中，运算能力弱的学生常常因运算出错而影响解题进度，使解答进入困境.[4]